SECCIONES CONICAS CIRCUNFERENCIA 1- Dar la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro C( - 8; 2) r = 5.Graficar. R: ( +8) 2 + ( 2) 2 = 25 2- Dar la ecuación general de la circunferencia de centro C ( 4; - 2) r = 4. Graficar. R: 2 + 2-8 +4 +4= 0 3- Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro C ( -1; 3) sabiendo que la misma es tangente al eje. R: ( +1) 2 + ( 3) 2 = 1 4- Hallar la ecuación general de la circunferencia su forma ordinaria sabiendo que su centro C ( 2; 3) que la circunferencia pasa por el origen de coordenadas. R: 2 + 2-4 6 = 0 5- Encontrar la ecuación general de la circunferencia cuo diámetro es el segmento de la recta de ecuación 4X + 3Y = 12 en su intersección con los ejes coordenados. Graficar. R: 2 + 2 3 4 = 0 6- Responder si el punto de coordenadas ( 4 ; 2) pertenece a la circunferencia del ejercicio 5. Justifique su respuesta en forma analítica. R: Pertenece Matemática II Carrera Arquitectura - 1
7- Se adjunta a continuación un gráfico que pertenece a la planta de una sala de eposiciones, la cual esta conformada por dos circunferencias de las que se conocen los siguientes datos: a- Ecuación de la circunferencia 2) X 2 + Y 2-2OX-12Y+100=0 b- Ambos centros tienen la misma ordenada, que es la de la circunferencia 1) c- El radio de la circunferencia 1) es 2/3 del radio de la circunferencia 2). Y 6 C 1 C 2 X 1 =4 X 2 =? X Conocidos estos datos, se pide: a. Deducir la ecuación de la circunferencia 1) (ecuaciones general ordinaria ). b. Graficar a escala en un sistema de ejes coordenados. R: a) 2 + 2-8 12 +36 = 0 8- Dadas las ecuaciones generales de dos circunferencias concéntricas, a saber: i. X 2 +Y 2 +8X-12Y- 12=0 (Correspondiente a la circunferencia 1)). ii. X 2 +Y 2 +8X-12Y+39,75=0 (Circunferencia 2)). Se pide calcular el área sombreada que representa la superficie cubierta de una galería comercial definida por las mencionadas circunferencias. α = 120º α R: 54,19 m 2 Matemática II Carrera Arquitectura - 2
CIRCUNFERENCIA 9- Cual será el F.O.S. (porcentaje construido) de la planta circular emplazada en un terreno rectangular como el que se que se grafica. Los datos para el calculo solicitado son: la ecuacion de la circunferencia: 2 + 2 100 40 + 2836 = 0 el grafico. 2/5 r 0 r 0;0 Grafico sin escala 0 1/2 r R: El F.O.S es de 10,39% Matemática II Carrera Arquitectura - 3
ELIPSE 10- Dada la ecuación de la elipse a eje horizontal, hallar el valor de la distancia focal, la ecentricidad graficar. Indicar en el gráfico las coordenadas de los vértices. 2 2 + = 1 49 16 R: 2c= 11,48 m e = 0,82 11- Se replantea una pileta de forma elíptica considerando los siguientes datos: Eje focal coincidente con el eje de ordenadas. Eje maor = 12m Eje menor = 8m Se pide: a- Deducir la ecuación de la elipse, graficarla determinar los vértices. b- Si se colocan dos artefactos de iluminación a 4,50m de altura sobre el nivel + 0,00, cua proección en el plano coincide con los focos de la elipse. A qué distancia de los vértices determinados por el eje maor habrá que colocarla? R: a) 2 /16 + 2 /36 = 1 b) =1,53 m 12- Determinar la superficie de un lote rectangular que circunscribe una pista de carrera de forma elíptica cua ecuación es: 144 2 +576 2 = 82.944 Conociendo la superficie que ocupa la pista determinar el porcentaje de terreno que ocupa la misma. R: 78,54% del total del lote. 13- Un local de planta elíptica se replantea en un sistema de coordenadas cartesianas de manera que su centro coincide con el origen del sistema. Los datos son: - Coordenadas de uno de sus focos (0;3) - Ecentricidad e = 1/2 Se pide : a- Deducir la ecuación de la elipse. b- Graficarla. c- Hallar el perímetro de la planta. R: a) 2 / 27+ 2 /36 =1 c) 35,26 m Matemática II Carrera Arquitectura - 4
14- En un volumen de sección elíptica colocan dos pantallas rectas perpendiculares entre sí que pasan por los focos de la figura. La recta 1 representa a la pantalla 1 tiene una pendiente a = 3/2 se sabe que pasa por el foco F 2. Se pide: Encontrar la ecuación de la recta 2 que pasa por el intersección de ambas pantallas. foco F 1 el punto de Por último se pide determinar el valor del lado recto. La ecuación de la elipse es: 2 /36 + 2 /25 = 1 1 2 F 2 F 1 R: 2 = -2/3 + 2,21 Pi = (-1,28; 3,06); Lado recto = 8,33 15- De una planta de forma elíptica (centrada en el origen) se conocen las coordenadas de los vértices A 1 (0;4) A 2 (0; -4). Sabiendo que el punto M (1,5; 2) pertenece a la elipse determine su ecuación grafique. Calcule el ancho el largo de la planta valuados en el punto M. R: Ecuación de la elipse: ( 2 /3)+ ( 2 /16)= 1 Ancho = 3m Largo = 4 m Matemática II Carrera Arquitectura - 5
16- El corte de forma semi-elíptica muestra el perfil de un gimnasio cubierto. Responder: a- Cuál es la altura h a una distancia igual a (1/4) a de los vértices A 1 A 2. b- Cuanto valdrá cuando sea igual a 4?. c- Cuál será la longitud de la cubierta?. A 1 h A 2 ¼ a 2 a = 16 5m R: a) h = 3,30m; b) = 4,80 m c) Long.= 20,96 m 17- Hallar la ecuación de la elipse de centro (-1; -1). Uno de los vértices es A 1 ( 5; -1) la ecentricidad e = 2/3. Se pide: a- Graficar. b- Deducir la ecuación verificar. c- Obtener coordenadas de los focos. R: b) Verifica c) F 1 (-5;-1); F 2 (3;-1) 18- Dados los puntos P 1 (- 5;0) P 2 ( 5;0) que corresponden a los focos de la elipse el punto P A (2;3) que pertenece a la elipse se pide calcular el largo de su eje maor. R: 11,86 cm 19- Se sabe que la superficie de una elipse es de 47,13 m 2 que su eje maor mide 10m. Conocidos estos datos se pide calcular la ecentricidad graficar. R: e = 0,8 Matemática II Carrera Arquitectura - 6
20- En una planta de forma elíptica a eje horizontal, se coloca una plataforma circular según la gráfica. Se pide deducir la ecuación general de la circunferencia que le corresponde Datos: Eje Maor = 14m Eje menor = 10 m 2b F2 C (0;0) F1 2 a Grafico sin escala R: 2 + 2 + 9.80 = 0 21- Calcular la cantidad de columnas distanciadas 3,00 m. una de otra, que limitan una glorieta de planta elíptica. La elipse responde a la ecuación: 2 / 9 + 2/ 36,60 = 1. Graficar a escala. R: 10 columnas 22- Cuál será la superficie (área sombreada) de una galería comercial, cua planta está definida por los perímetros interior eterior de dos elipses centradas en un sistema Coordenado Cartesiano bidimensional. Se proporcionan como datos: La ecuación de la elipse eterior 2/ 64+ 2/ 100 = 1 el gráfico F1 0;0 F2 R: Superficie = 157,08 m 2 10.00 Gráfico sin escala Matemática II Carrera Arquitectura - 7
23- Para construir un salón de usos múltiples de planta elíptica se replantean en el terreno 3 puntos de coordenadas conocidas. F1 F2 Focos de la elipse un tercer punto A perteneciente a la misma. En base a los datos proporcionados calcular la superficie de la planta A F2 F1 R: Superficie de la planta: 59,37 m 2 Matemática II Carrera Arquitectura - 8
PARÁBOLA 24- Hallar el foco, la ecuación de la directriz la longitud del Latus Rectum de la parábola Graficar. La ecuación que corresponde a la parábola es 2 = 8/3. R: Foco: (2/3 ; 0) ; Directriz: = -2/3; Latus Rectum: 8/3 25- Idem para la parábola de ecuación 2 = - 8 R: Foco: (-2 ; 0) ; Directriz: =2 ; Latus Rectum: 8 26- Idem para la parábola 2 = 6 R: Foco: (0 ; 3/2); Directriz: = -3/2 Latus Rectum: 6 27- Idem enunciados anteriores para la parábola de ecuación 2 = - 10 R: Foco: (0; -5/2); Directriz: = 5/2 ; Latus Rectum: 10 28- Una parábola cuo vértice está en el origen cuo eje coincide con el de las pasa por el punto (4; -2). Se pide hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco la ecuación de la directriz. R: 2 = -8 ; Foco: (0;-2) ; Directriz: =2 29- Hallar la ecuación de la parábola cuo vértice es V(3; 4) cuo foco tiene las coordenadas (3;2). Hallar también la ecuación de la directriz. R: (-3) 2 = -8 (-4); Directriz: =6 30- Hallar la altura de un artefacto de iluminación ubicado en un arco de parábola (ver Gráfico). El mismo está adosado al lateral que se indica como punto A, el cual dista 6 m del eje de simetría de la parábola. Se pide también hallar las coordenadas del foco la ecuación de la parábola. V(0; 13,5) 6 m A h (-9;0) (9;0) R: Altura del artefacto = 7,5 m; Coordenadas del foco: (0; 12) ; Ecuación: 2 = - 6(-13,5) Matemática II Carrera Arquitectura - 9
31- Hallar la altura h a la que debe colocarse un artefacto de sonido en un local cuo corte transversal responde a una parábola de ecuación general 2 = - 8. El techo cubre una planta rectangular de 12,50 m de profundidad el artefacto dista 8m del eje de la parábola. Con estos datos se pide: a) Hallar el ancho de la planta. b) Dar las coordenadas del foco. A A 8m h = 10 m NVT Ancho R: a) Ancho de la planta: 17,89 m; Altura del artefacto: 2m b) Coordenadas del foco (0; -2) 32- Dadas las siguientes epresiones analíticas se pide dar coordenadas de los puntos de intersección con los ejes e. Resolver graficar en cada caso. a) = ½ 2 R: (0;0) 2 b) = 3 12 R: (2;0); ( -2;0) ; (0; -12) 2 c) = ½ + 2 R: (0;0) ; ( -4;0) ; (-2; -2) 2 d) = - + 6 R: (0;0) ; ( 6; 0) e) = 8 +12 R: ( 2;0) ; (6;0) ; (0;12) 33- Cuál será el volumen de un local de 12,50 m de profundidad si la cubierta de forma parabólica está determinada por los apoos 1 = 8 2 = - 8 que a = - 1/8? La gráfica nos muestra como fue replanteado. Matemática II Carrera Arquitectura - 10
(0;8) (-8;0) a (8;0) R: Volumen: 1.066,67 m 3 34- Si las raíces de la parábola són 1 = -1 2 = 6 siendo su coeficiente principal a = 1. Cuál será el gráfico que corresponde a esa ecuación? Calcule las coordenadas del vértice. R: = 2 5-6 V ( 2,5; -12,25) 35- Cuál es el ancho a de un Auditorio de corte parabólico, si los datos conocidos se adjuntan en el gráfico? Vértice (0;9) Foco (0;7.5) (0;0) a R: a= 14,70m Gráfico sin escala Matemática II Carrera Arquitectura - 11
36- En una sala de sección parabólica que responde a la ecuación - 2 + 7 =, se ubica un panel informativo de forma triangular sobre la pared. Calcular la superficie del mismo deducir las raíces las coordenadas del vértice de la figura. Graficar a escala Gráfico sin escala (Eje de simetría) 0;0 R: Superficie: 15 m 2, coordenadas del vértice V ( 3,5; 12,25) 2.00 Matemática II Carrera Arquitectura - 12
HIPÉRBOLA 37- La siguiente es la gráfica de una hipérbola. a- Defina hipérbola. b- Indique en la gráfica los elementos de la hipérbola. c- Defina cada uno de los elementos graficados. F F Gráfica sin escala F F son focos de la hipérbola 38- Dados los siguientes gráficos determine en cada caso la ecuación que caracteriza a la hipérbola. Tome en forma genérica los valores del centro de la hipérbola, considerando las variaciones de signos en concordancia con el cuadrante donde se encuentren. X 2 / a 2 2 /b 2 =1 Matemática II Carrera Arquitectura - 13
39- Grafique las siguientes ecuaciones en una escala conveniente. a. 0 = 1+ ( Y 2 /36)- X 2 / 25 b. (X- 1) 2-1= ( Y 2 ) c. + 36 (X+5) 2-36 (Y-2) 2 = 900 d. - (X- 5) 2 /1 + (Y+3) 2 /9 = -1 40- Tomando como datos las ecuaciones del ejercicio anterior calcule en cada caso la ecentricidad de la hipérbola. R: a) e= 1,3017 b) e= 1,4142 c) e= 1,4142 d) e= 3,1623 41- Atendiendo a las ecuaciones del punto 3) determine en cada caso las ecuaciones de las rectas asíntotas. R: a) = (5/6) = (-5/6) b) = -1 = +1 c) = +7 = --3 d) = 3+18 = -3+12 42- Considerando las condiciones que debe cumplir una hipérbola para llamarse equilátera determine si alguno de los lugares geométricos definidos por sus ecuaciones en el punto 3) no las cumple especifique cuales son. Justifique. R: a) No cumple a que los semiejes tienen distinto valor. d) No cumple a que los semiejes tienen distinto valor. 43- Si quisiera que las ramas de la hipérbola de ecuación -X 2 + Y 2 / 4 =1 fueran más cerradas, aproimándose así al eje real Cuales serían los parámetros de la ecuación que debería modificar? Justifique analítica gráficamente. R: Si crece b se abre la curva, si b disminue la curva se cierra aproimándose al eje real. Matemática II Carrera Arquitectura - 14
44- Se desea refuncionalizar una estructura industrial que presenta la forma de un hiperboloide de una hoja. Un corte del mismo sería el representado a continuación corresponde a una hipérbola equilátera. Se pide: a. Determinar la ecuación de la hipérbola. Graficarla a escala. b. Determinar las ecuaciones de las rectas asíntotas. Graficarlas. c. Determinar el valor de la semi-distancia focal. d. Definir el valor de la coordenada del punto A sabiendo que el mismo pertenece a la hipérbola. Graficarlo. e. Determinar la ecentricidad de la hipérbola. Datos: 2a = 14 m A (-9; Y) Respuestas: a) 2 / 7 2 + 2 / 7 2 = 1 b) = - = c) c= 9,8995 d) coordenada A = 11,40 e) e= 1,4142 45- En este ejercicio realizaremos un estudio matemático de la Catedral de Brasilia, obra del arquitecto O. Niemeer. La forma del volumen envolvente corresponde a un hiperboloide de revolución de una hoja. Si realizamos un corte en coincidencia con uno de los planos de simetría del hiperboloide encontramos que su traza es una hipérbola tal como la esquematizada a continuación. Con los datos que se adjuntan se pide: a) Determinar la ecuación de la hipérbola. b) Determinar su ecentricidad. c) Definir las coordenadas de los focos. d) Determinar nuevas ecuaciones de la hipérbola para las siguientes posiciones: Matemática II Carrera Arquitectura - 15
1. Rama izquierda de la hipérbola tangente al eje de ordenadas con eje real coincidente con el de abscisas. Graficar a escala. 2. Centro de simetría de la hipérbola en C(-20; 30). Graficar a escala. 3. Centro de simetría de la hipérbola en C( 45; 225 ). Graficar a escala. 4. Al cambiar la posición del centro de simetría de la hipérbola respecto del origen del sistema coordenado Se modifica su ecentricidad? Justifique. H= 40 m H =27 m 27m Diámetro de la planta: 60 m 60 m 20 m Respuestas: a. 2 /10 2 2 /9,545 2 = 1 b. ecentricidad= 1,38248 c. Coordenadas de los focos: F(13,8248;0); F (-13,8248;0) d. 1) (X-10) 2 /10 2 Y 2 /9,545 2 =1 2) (X+20) 2 /10 2 - (Y-30) 2 / 9,545 2 = 1 3) (X+31,819) 2 /10 2 - (Y+31,819) 2 / 9,545 2 = 1 4) No, porque no se modifican los parámetros que la definen, es decir a c. Matemática II Carrera Arquitectura - 16