Algoritmo de Euclides No es necesario realizar ensayo y error para determinar el inverso multiplicativo de un entero módulo n. Si el módulo que está siendo usado es pequeño hay algunas pocas posibilidades para chequear, ensayo y error puede ser una buena alternativa. Sin embargo algunos modernos sistemas criptográficos de clave pública usan módulos muy grandes y requieren la determinación de inversos. Ahora examinaremos un método que puede ser usado para construir inversos multiplicativos módulo n (cuando existen). Los elementos de Euclides, sumado a la geometría contienen una gran cantidad de teoría de números, propiedades de los enteros positivos. El Algoritmo de Euclides es la proposición II del libro VII de Los Elementos de Euclides. La pregunta fue esta: dadas dos longitudes (las cuales son números enteros positivos), cual es la mayor (entero) longitud que puede usarse para medir ambos. Por ejemplo si tenemos dos longitudes de 14 y 21, la mayor longitud que las mide a ambas es 7. Si las longitudes son 7 y 25, la máxima común medida es 1. Etc. Euclides, describe un proceso para determinar la máxima común medida de dos longitudes. En términos de la teoría de números, el describe como encontrar cual es el ahora llamado máximo común divisor (MCD) de dos enteros positivos. El Algoritmo de Euclides para encontrar el MCD Comencemos con dos enteros positivos, por ejemplo 13566 y 35742 Dividimos el mayor por el menor 35742 : 13566 = 2 8610 Y tenemos 35742 = 13566x2 + 8610 Ahora dividimos el divisor anterior por el resto 13566 : 8610 = 1 4956 13566 = 8610x1 + 4956 Nuevamente dividimos el divisor por el resto 8610 : 4956 = 1 3654 8610 = 4956x1 + 3654 Repetimos el proceso 4956 : 3654 = 1 1302
4956 = 3654x1 + 1302 nuevamente 3654 : 1302 = 2 1050 3654 = 1302x2 + 1050 1302 : 1050 = 1 252 1302 = 1050x1 + 252 1050 : 252 = 4 42 1050 = 252x4 + 42 252 : 42 = 6 0 252 = 42x6 + 0 El proceso se detiene cuando el resto es cero (0) El máximo común divisor es el resto anterior es decir 42 MCD(13566, 35742) = 42 Ahora tenemos que ver que efectivamente es el máximo común divisor. Para hacer esto mostraremos que 42 puede ser escrito en términos de 13566 y 35742 Comenzamos con el penúltimo resultado: 1050 = 252x4 + 42 42 = 1x1050-4x252 Pero 252 = 1302 1x1050 Reemplazando este resultado, 42 = 1x1050 4x(1302-1x1050) 42 = 1x1050 4x1302 + 4x1050 42 = 5x1050 4x1302 Pero 1050 = 1x3654 2x1302 42 = 5x(1x3654 2x1302) -4x1302 42 = 5x3654 10x1302 4x1302 42 = 5x3654-14x1302 Pero 1302 = 4956-1x3654 42 = 5x3654 14x(4956 1x3654) 42 = 5x3654 14x4956 +14x3654 42 = 19x3654 14x4956 Pero 3654 = 8610 4956x1 42 = 19x(8610 4956x1) 14x4956
42 = 19x8610 19x4956 14x4956 42 = 19x8610 33x4956 Pero 4956 = 13566 8610x1 42 = 19x8610 33x(13566 8610x1) 42 = 19x8610-33x13566 + 33x8610 42 = 52x8610 33x13566 Pero 8610 = 35742 13566x2 42 = 52x(35742 13566x2) 33x13566 42 = 52x35742 104x13566 33x13566 42 = 52x35742 137x13566 Lo importante acá es señalar que el MCD de 35742 y 13566 puede ser expresado como una combinación lineal de ellos mediante un proceso inverso del algoritmo de Euclides PRIMOS RELATIVOS Un par de enteros positivos se dice que son primos relativos si su máximo común divisor (MCD) es 1. Por ejemplo los números 3 y 5 son primos relativos porque MCD(3,5) = 1. Encontrando inversos multiplicativos modulo n Cualquier entero positivo, menor que n y primo relativo con n tiene un inverso multiplicativo modulo n. Esta es una consecuencia del algoritmo de Euclides. Veremos en el siguiente ejemplo por qué esto debe ser asi. Algun entero positivo menor que n y que no es primo relativo con n no tiene inverso multiplicativo modulo n. MCD(15, 26) = 1, por lo tanto 15 y 26 son primos relativos. Luego 15 tiene inverso multiplicativo módulo 26. Usando el algoritmo de Euclides podemos construir el inverso multiplicativo de 15 módulo 26. Usamos el algoritmo de Euclides para encontrar el MCD(15,26) 26 : 15 = 1 26 = 15x1 + 11 11 15 : 11 = 1 15 = 11x1 + 4 4 11 : 4 = 2 11 = 4x2 + 3 3 4 : 3 = 1 4 = 3x1 + 1 1
3 : 1 = 3 0 Por lo tanto MCD(15,26) = 1 Ahora expresaremos 1 como combinación lineal de 15 y 26 retrocediendo en el algoritmo de Euclides. 1 = 4 3x1 Pero 3 = 11 4x2, reemplazando 1 = 4 (11 4x2)x1 1 = 4 11 + 4x2 1 = 4x3 11x1 Pero 4 = 15x1 11x1, reemplazando 1 = (15x1 11x1)x3 11x1 1 = 15x3 11x3 11x1 1 = 15x3 11x4 Y como 11 = 26 15x1, tenemos 1 = 15x3 (26 15x1)x4 1 = 15x3 26x4 + 15x4 1 = 15x7 26x4 Finalmente, tenemos que 26 0 (mod 26) Y la ecuación 1 = 7x15 4x26 Se convierte en la congruencia 1 7x15 (mod 26) Por lo tanto el inverso de 15 módulo 26 es 7 (y el inverso de 7 módulo 26 es 15). MCD(6,26) = 2, por lo tanto 6 y 26 no son primos relativos, por lo tanto 6 y 26 no son primos relativos, de ahí que 6 no tiene inverso multiplicativo módulo 26, entonces si suponemos que si existe y suponemos que existe el inverso multiplicativo de 6 módulo 26, llamémoslo m, entonces debe tenerse que: 6m 1 (mod 26) Esto significa que 6m es igual a 1 más un múltiplo de 26: 6m = 1 + 26k Pero, 2 divide a 6 y 2 divide a 26 por lo tanto si la ecuación fuera correcta 2 debería dividir a 1. De hecho esto es falso, por lo tanto, el hecho de suponer que 6 tiene un inverso multiplicativo módulo 26 es falsa. 1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 son primos relativos con 26 por lo tanto tienen inversos multiplicativos módulo 26. 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24 no son primos relativos con 26, por lo tanto no tienen inversos multiplicativos módulo 26.
Práctica (1) Determine en cada caso el MCD, no es obligación usar el algoritmo de Euclides para encontrarlo. Cuál de los pares son primos relativos? a) MCD(6,15) b) MCD(6,16) c) MCD(8,17) d) MCD(6,21) e) MCD(15,27) (2) Determine en cada caso el MCD y cuál(es) de los pares son primos relativos. a) MCD(37,3120) b) MCD(24,138) c) MCD(12378, 3054) d) MCD(314, 159) e) MCD(306,657) (3) Para cada uno de los MCD hallados en la pregunta 2) exprese el MCD encontrado como una combinación lineal de los dos enteros dados. (4) Encuentre el inverso multiplicativo módulo 3120 de 37 (5)Encuentre el inverso multiplicativo de 19 módulo 26 (6) Tiene 24 inverso multiplicativo módulo 138?. Explique (7) Qué enteros módulo 16 tienen inversos multiplicativos. Determine los inversos. (8) Qué enteros módulo 7 tienen inversos multiplicativos. Determine (9) Qué enteros módulo 14 tienen inversos multiplicativos. Determine (10) Qué enteros módulo 9 tienen inversos multiplicativos. Determine