APLICACIONES DE DERIVADAS 1. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a. 6 9 b. c. 2 d. 2 e. f. 1 2. Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máximos o mínimos: a. b. c. d. 3. Halla los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de las siguientes funciones: a. b. c. d. e. 3 9 f. 4. Estudia la concavidad, conexión y puntos de inflexión de las siguientes funciones: a. 34 b. 6 c. 2 d. e. f. ln 1 5. Halla el dominio de definición, máximos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a. b. 2
6. Estudia los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de la función dada por: 23 7. Estudia la existencia de máximos y mínimos relativos y absolutos de la función 4 8. Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a. ln2 b. 5 c. 2 8 15 0 2 9. Halla las tangentes a la curva paralelas a la recta 2 0 10. Halla un punto de la gráfica 5 en el cual la recta tangente sea paralela a 38 11. Halla una recta que sea tangente a la curva: 23 y que forme un ángulo de 45º con el eje de abscisas. Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? 12. Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas: a. b. c. 2 13. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 1 en el punto (1,1). 14. Halla el punto de la gráfica de 2 en el que la tangente forme un ángulo de 60º con el eje X. Escribe la ecuación de esta tangente. 15. Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto 3,. Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. 16. Dada la parábola 3, encuentra un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0,0) y (4,48). 17. Halla la ecuación de la recta tangente a la curva 4 2 10 en su punto de inflexión. 18. Halla los puntos de la curva 3 512 en los que la recta tangente a ella pase por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones de dichas tangentes 19. Dada la función : 1, definida por, determina cuáles de las rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máxima pendiente.
20. Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones f(x) y g(x) en el punto de abscisa 2: 2 2 Nota: recuerda que el ángulo de las dos rectas se puede calcular así:, donde m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas. 21. Halla el valor de c de modo que la función Se trata de un máximo, de un mínimo o de un punto de inflexión? tenga un único extremo relativo. 22. Dada la función 3 3, calcula los valores de a y b sabiendo que la función tiene dos puntos de inflexión, uno en x=1 y otro en 1 2. 23. Sea un polinomio que cumple 1 0, 0 2 y tiene dos extremos relativos para x =1 y x = 2. a. Halla a, b, c y d. b. Son máximos o mínimos los extremos relativos? 24. La curva corta al eje de abscisas en 1 y tiene un punto de inflexión en (2,1). Calcula a, b y c. 25. De la función sabemos que pasa por (1,1) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta 3 0. a. Halla a y b. b. Determina sus extremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 26. La función verifica que 1 1, 1 0 y que f no tiene extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c. Nota: si es 1 0 y no hay extremo relativo, tiene que haber una inflexión en x = 1. 27. Sea 5. Halla a y b para que la curva tenga en x = 1 un punto de inflexión con tangente horizontal. 28. La curva corta el eje OX en x = 1 y tiene un punto de inflexión en (3,2). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje OX. 29. Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, cuál es el de área máxima? 30. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. Cuál debe ser el radio de la base? 31. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm 3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima. 32. En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales:
a. Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y di cuáles el dominio de la función. b. Halla el valor máximo de esa función. 33. De todos los rectángulos de área 100 dm 2, halla las dimensiones del que tenga la diagonal mínima. 34. Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 m y la altura relativa a ese lado de 5 m. Encuentra un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima. 35. Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo. 36. Con una lámina cuadrada de 10 cm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado, para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de la caja no puede pasar de 2 dm, cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar? 37. De todas las rectas que pasan por el punto (1,2), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. 38. Calcula la generatriz y el radio que debe tener un bore cilíndrico de leche condensada, cuya área total (incluyendo las dos tapas) es de 150 cm 2, para que su volumen sea máximo. 39. Dos postes de 12 y 18 cm de altura, distan entre sí 30 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? 40. El punto P (x,y) recorre la elipse de ecuación 1. Deduce las posiciones del punto P para las que su distancia al punto (0,0) es máxima y también aquellas para las que su distancia es mínima. 41. En un cuadrado de lado 10 cm, queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 50 cm 2. Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor posible? 42. Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total 54 cm 2. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máximo. 43. Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral, usamos un determinado material, pero para la base debemos emplear un material 50% más caro. Halla las dimensiones de ese envase para que su precio sea el menor posible. 44. En una circunferencia de radio r se traza la tangente en un punto cualquiera C y una cuerda AB paralela a dicha tangente. Obtenemos así, un triángulo ABC cuya área queremos que sea la mayor posible. Demuestra que, pare ello, la distancia C a la cuerda debe ser del radio.
45. Calcula el punto de la curva en el que la pendiente de la recta tangente sea máxima. 46. Se tiene la función: 2 1 1 0. Prueba que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [-2,0] y calcula el o de los puntos en los que se cumple el teorema. 5 1 1 47. Es posible calcular a, b, c para que la función 3 1 cumpla la hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,c] con c > 1? 3 4 48. Calcula a y b para que: cumpla las hipótesis del 10 4 teorema del valor medio en el intervalo [2,6]. Dónde cumple la tesis? 49. Calcula a, b y c para que la función 2 cumpla las 1 2 hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,4]. En qué punto se cumple la tesis? 50. Calcula b para que 43 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,b]. Dónde cumple la tesis? 51. Comprueba que, en la función de proporcionalidad inversa, se tiene que el punto c, que cumple, es precisamente, la media geométrica de a, b y. 52. La función 5 32, cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0,4]? En caso afirmativo, di cuál es el x 0 que cumple la tesis. 53. Comprueba que 18, definida en el intervalo [0,3 2, verifica las hipótesis del teorema de Rolle. Encuentra el valor 0,3 2 para el que 0. 54. La función toma en los extremos del intervalo [0,π] el valor 1. Cumplirá el teorema de Rolle? 55. En cada uno de los ejemplos que se dan a continuación, es f(a) = f(b) y, sin embargo, no hay ningún número z ϵ(a,b) para el que sea f (z)=0. Explica en cada caso por qué el ejemplo no va en contra del teorema de Rolle. a.,, 2,2 b. 1,, 1,1