Matemática I Máximo Común Divisor Ing. Santiago Figueroa Lorenzo Correo: urural.ingenierosantiago@gmail.com
Temas Primera Unidad: Elementos Algebraicos Tema 2: Máximo Común Divisor Máximo Común Divisor
Objetivos Adquirir y sistematizar los conocimientos acerca del máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas.
Álgebra, Baldor A. Bibliografía Fundamentos de Matemáticas Modernas, Mehienbacher L. Álgebra Moderna, Nichols E. Álgebra y Trigonometría, Raymond B. Álgebra Superior, Spiegel M.
Introducción Una vez comprendidos los procedimientos de descomposición factorial se procede a analizar los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo para dar paso a la posterior reducción de fracciones algebraicas.
Factor Común o Divisor Común El Divisor Común de dos o más expresiones algebraicas es una expresión algebraica que está contenida exactamente en cada una de las primeras. Ejemplo: Determine un divisor común para las siguientes expresiones algebraicas a) 2x y x 2 Divisor Común x b) 10a 3 b 2 y 15a 4 b Divisor Común 5a 3 b
Expresión Algebraica Prima Una expresión algebraica es prima cuando solo es divisible por ella misma y por la unidad. a, b, a + b y 2x 1 Son expresiones algebraicas primas Dos expresiones algebraicas son primas entre si cuando el único divisor común que tienen entre ellas es la unidad. Ejemplo: Determine si siguientes expresiones algebraicas son primas entre si a) 2x y 3b b) a + b y a x
Máximo Común Divisor El Máximo Común Divisor de dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de mayor coeficiente numérico y mayor grado que está contenida exactamente en cada una de ellas. Ejemplo: Determine por simple inspección el máximo común divisor para las siguientes expresiones algebraicas. a) 10a 2 b y 20a 3 Máximo Común Divisor 10a 2 b) 8a 3 n 2, 24an 3 y 40a 3 n 4 p Máximo Común Divisor 8an 2
Regla para determinar Máximo Común Divisor 1- Se calcula el máximo común divisor de los coeficientes 2- Se buscan las bases que sean semejantes en cada una de las expresiones algebraicas. 3- Se escriben las letras comunes dando a cada letra el menor exponente que tenga en las expresiones dadas.
Ejemplo: Determine el máximo común divisor para las siguientes expresiones algebraicas a) a 2 x 2 y 3a 3 bx 1- Máximo Común Divisor de los coeficientes es 1 2- Letras comunes a y x 3- Tomamos para ambas letras su menor exponente a 2 y x Máximo Común Divisor a 2 x
Ejemplo: Determine el máximo común divisor para las siguientes expresiones algebraicas b) 36a 2 b 4, 48a 8 b 8 c y 60a 4 b 3 m Se decomponen en factores cada uno de los coeficientes: 36a 2 b 4 = 2 2 3 2 a 2 b 4 48a 8 b 8 c = 2 4 3a 8 b 8 c 60a 4 b 3 m = 2 2 35a 4 b 3 m 1- Máximo Común Divisor de los coeficientes es 2 2 3 2- Letras comunes a y b 3- Tomamos para ambas letras su menor exponente a 2 y b 3 Máximo Común Divisor 12a 2 b 3
de Polinomios Máximo Común Divisor de polinomios Para calcular el máximo común divisor de polinomios se necesita: Descomposición en factores Divisiones sucesivas
de Polinomios por descomposiciones factoriales Regla para determinar Máximo Común Divisor de Polinomios 1- Se descomponen los polinomios dados en sus factores primos. 2- Se buscan los factores que sean semejantes en cada uno de los polinomios. 3- El máximo común divisor es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
de Polinomios por descomposiciones factoriales Ejemplo 1: Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios: a) 4a 2 + 4ab y 2a 4 2a 2 b 2 1- Se factorizan ambos polinomios 4a 2 + 4ab = 4a(a + b) 2a 4 2a 2 b 2 = 2a a 2 b 2 = 2a(a + b)(a b) 2- Se buscan factores comunes: 2 a (a + b) 3- Tomamos para ambas letras su menor exponente a y (a + b) Máximo Común Divisor 2a(a + b)
de Polinomios por descomposiciones factoriales Ejemplo 2: Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios: a) x 2 4, x 2 x 6 y x 2 + 4x + 4 1- Se factorizan ambos polinomios x 2 4 = (x + 2)(x 2) x 2 x 6 = x 3 x + 2 x 2 + 4x + 4 = (x + 2) 2 = (x + 2)(x + 2) 2- Se buscan factores comunes: (x + 2) 3- Tomamos para ambas letras su menor exponente (x + 2) Máximo Común Divisor(x + 2)
de Polinomios por descomposiciones factoriales Ejemplo 3: Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios: a) x 6 x 2, x 5 x 4 + x 3 x 2 y 2x 6 + 2x 4 2x 3 2x 1- Se factorizan ambos polinomios x 6 x 2 = x 2 x 4 1 = x 2 x 2 + 1 (x + 1)(x 1) x 5 x 4 + x 3 x 2 = x 2 x 3 x 2 + x 1 = x 2 x 2 x 1 + x 1 = x 2 (x 2 + 1)(x 1) 2x 6 + 2x 4 2x 3 2x = 2x x 5 + x 3 x 2 1 = 2x x 3 x 2 + 1 x 2 + 1 = 2x x 3 1 x 2 + 1 = 2x(x 1)(x 2 + x + 1) x 2 + 1
de Polinomios por descomposiciones factoriales Ejemplo 4: Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios: a) x 6 x 2, x 5 x 4 + x 3 x 2 y 2x 6 + 2x 4 2x 3 2x 2- Se buscan factores comunes: x x 1 x 2 + 1 3- Tomamos para ambas letras su menor exponente 1 Máximo Común Divisor x(x 1) x 2 + 1
de Polinomios por descomposiciones factoriales Si no se puede aplicar un método de descomposición en factores se emplea el método de divisiones sucesivas. Regla para determinar Máximo Común Divisor de Polinomios 1- Se ordenan ambos polinomios en relación a la misma letra 2- Se divide el polinomio de mayor entre el de menor grado. Si ambos tienen el mismo grado cualquiera puede ser el dividendo 3- Si la división es exacta el divisor es el Máximo Común Divisor 4- Si no es exacta se divide el divisor por el primer residuo y luego por el segundo y así sucesivamente hasta lograr una división exacta.
de Polinomios por descomposiciones factoriales Ejemplo 1: Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios: a) 16x 3 + 36x 2 12x 18 y 8x 2 2x 3
de Polinomios por descomposiciones factoriales Reglas especiales para determinar Máximo Común Divisor de Polinomios 1- Cualquiera de los polinomios dados se puede dividir por un factor que no divida al otro polinomio. Ese factor por no ser factor común de ambos polinomios, no forma parte del máximo común divisor 2- El residuo de cualquier división se puede dividir por un factor que no divida a los polinomios dados
de Polinomios por descomposiciones factoriales Reglas especiales para determinar Máximo Común Divisor de Polinomios 3- Si el primer término de cualquier residuo es negativo, puede cambiarse el signo a todos los términos de dicho residuo 4- Si el primer término del dividendo o el primer término del algún residuo no es divisible por el primer término de algún divisor, se multiplican todos los términos del dividendo o del residuo por la cantidad necesaria para hacerlo divisible
de Polinomios por descomposiciones factoriales Ejemplo 2: Determine el máximo común divisor para los siguientes polinomios: a) 12x 3 26x 2 + 20x 12 y 2x 3 x 2 3x
Tareas Extraclase Ejercicios propuestos en el Sitio Web Tarea Extraclase 4
Conclusiones Se aprendió a determinar el Máximo Común Divisor usando el método de factorización o el de divisiones sucesivas.