Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 1 Tema 2 ÁLGEBRA SUPERIOR 1 Expresar los siguientes sistemas lineales en notación matricial a y 1 = 2x 1 + 3x 2 y 2 = 4x 1 + 2x 2 b y 1 = 10x 1 + 12x 2 y 2 = 25x 1 + 16x 2 c y 1 = 3x 1 + 2x 2 y 2 = 2x 1 + 3x 2 d y 1 = 4x 1 3x 2 y 2 = 2x 1 5x 2 2 Escribir las siguientes ecuaciones matriciales como ecuaciones lineales: a 3 Sabiendo que x y = 2 1 4 6 x y b x y = 3 1 0 2 x y { x = 2t + 3z y = t z { t = 4q 3r z = q 2r { q = 5m + 3n r = 3m n expresar x e y en términos que m y n, usando métodos matriciales 4 Si y B =, hallar las matrices A B y B A 1 6 5 Si, B = 1 6 compararlos y C = 3 1, hallar A B C, A B C y 6 Con las mismas matrices que en el ejercicio anterior, hallar A + B, C A + B, C A + C B Qué conclusión puede obtenerse de esto? 2 1 7 Si, hallar 2A, 3A y na, siendo n un número natural cualquiera 3 3 8 Si 1 6 a b, B = y C = c d 2 0 0 2, hallar A C, C A, B C y C B 9 Con las matrices del ejercicio anterior, hallar A BA + B, A + BA B y A 2 B 2 10 Hallar todas las matrices que conmutan con 2 5 11 Dada la matriz, hallar los valores de a y b para que se verifique la 2 1 ecuación A 2 + aa + bi = 0, siendo I la matriz identidad
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 2 12 a Sabiendo que det A 0 y det C 0, resolver la ecuación A X C = B b Como aplicación, hallar la matriz X siendo 0 3 B = 4 1 4 2 13 Resolver la ecuación matricial en X: AX 1 1 + B = X C = 1 3 sabiendo que 1 3 2 1 1 1 B = 0 4 14 Hallar el determinante de las matrices 2 3 4 6 4 5 2 5 3 2 3 2 15 Si 16 Si 3 7 2 5 4 5, hallar A 1, y comprobar que A A 1 = A 1 I y B = 5 3 4 2, calcular A B 1 y B 1 A 1 17 Hallar la inversa de las siguientes matrices: 7 4 p q 2 5 r s 3 8 1 1 1 1 18 Resolver los sistemas 2x + 3y = 18 3x + 5y = 29 2x 3y = 4 2x + 3y = 6 3x 2y = 5 8x 3y = 30 con el método matricial 19 Dadas y B = 2 5 4 7, hallar A t, B t, A B t, A t B t y B t A t 20 Usando las matrices del ejercicio anterior, comparar los determinantes de A y B con los de A t y B t 21 Expresar en forma matricial el sistema y 1 = 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 y 2 = 5x 1 2x 2 + 3x 3 y 3 = 3x 1 + 2x 2 2x 3
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 3 22 Expresar como un sistema de ecuaciones lineales la ecuación matricial y 1 y 2 y 3 = 6 1 2 4 x 1 x 2 x 3 23 Dadas las matrices P = 1 2 Q = 4 2 2 1 3 1, hallar P Q y Q P 24 Dadas las matrices P = 1 3 Q = 2 1 2 3 R = hallar P Q, P Q R, Q R, P Q R y P R Q 25 Hallar A B y B A si 6 1 2 4 B = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 2 1 3 1, 26 Dadas las matrices 3 1 0 2 0 3 4 B = 2 0 0 3 0 1 1 0 2, hallar A 2, A B, 3A + 8B 27 Obtener la forma de las matrices reales que conmutan con 28 Dada la matriz 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 3 0 1 1 0 0 2, encontrar las matrices de orden 3 que conmutan con ella
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 4 29 Calcular el determinante de las siguientes matrices: 1 1 0 3 4 2 2 2 1 4 2 1 3 3 2 1 1 2 2 4 4 30 Demostrar, sin desarrollar, que 1 a b + c 1 b a + c 1 c a + b = 0 31 Demostrar, sin desarrollar el determinante, que bc a a 2 1 a 2 a 3 ac b b 2 = 1 b 2 b 3 ab c c 2 1 c 2 c 3 32 Determinante de Vandermonde Demostrar que 1 1 1 a b c = b ac ac b a 2 b 2 c 2 33 Calcular x + a b c a x + b c a b x + c 1 1 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 1 1 1 a b c a 3 b 3 c 3 34 Demostrar, aplicando las propiedades de los determinantes, que 1 5 0 2 2 5 2 5 5 es múltiplo de 15 35 Calcular la matriz inversa de cada una de las siguientes: 1 0 3 1 0 2 1 4 3 0 1 3 2 3 0 4 4 2 2 1 3 1 36 Calcular P 1 B P, siendo P = 0 1 1 1 1 1 B = 1 3 3 3 1 3 3 3 1, y a partir de ahí, obtener B n, siendo n un número natural arbitrario
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 5 37 Demostrar que el adjunto de cada elemento de la matriz 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 2/3 2/3 2/3 1/3 es dicho elemento 38 Mediante el método matricial, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: x + 2y + z = 0 3x + 2y + z = 2 2x + 3y + 2z = 2 x + 2y = 5 3x + y + 2z = 1 3x 4z = 9 3x + 2y + z = 16 4x + 2y + 2z = 22 x + 3y + z = 15 39 Lo mismo para los sistemas 2x y z = 0 3x + 2y z = 4 x y + 5z = 3 2x + 3y z = 6 x 5y + 2z = 4 3x + 2y 3z = 6 40 Determinar los autovalores y los autovectores de la matriz 2 1 0 3 41 Dada la matriz 1 0 Determinar los autovalores, los autovectores, diagonalizarla y hallar la matriz A 100 42 Hallar los autovalores y autovectores de la matriz 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 2 1 1 43 Diagonalizar la matriz, hallando autovalores y autovectores, matriz de 0 3 paso P y matriz diagonal D 7 6 44 Dada la matriz, calcular la potencia enésima A 12 10 n diagonalizar 45 Dada la matriz A, 0 1 0 calcular sus autovalores, autovectores y A n,
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 6 46 Diagonalizar las siguientes matrices: 2 3 1 1 3 3 2 1 1 2 2 4 2 1 1 4 47 Hallar las matrices A y B que verifiquen 1 8 9 3A 2B = 6 1 7 12 28 47 5A + 7B = 52 50 22 48 Dadas las matrices: 6 1 D = 4 1 6 8 9 2 E = B = G = 6 3 2 1 2 1 0 3 6 0 0 4 3 2 1 6 4 1, C = 4 0 2 1 1 6 3 8 F = a Determinar qué matrices pueden sumarse, y hallar la suma 2 3 0 6 2 1 8 4 1 6 b Determinar qué matrices pueden multiplicarse, y hallar el producto c Calcular el determinante cuando sea posible 49 Sin desarrollar, calcular los siguientes determinantes: 0 1 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 1 4 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 k 1 1 1 1 k 1 1 1 k 6 4 5 6 2 4 3 2 1 4 5 50 Sin desarrollar el determinante, razónese que su valor es cero: a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a 3 b 3 0 0 0 a 4 b 4 0 0 0 a 5 b 5 0 0 0
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 7 51 Hallar el rango de las siguientes matrices: 4 5 4 4 6 7 3 1 2 3 5 3 6 7 1 4 5 6 0 0 9 0 0 0 0 0 0 1 2 4 3 5 2 5 3 4 1 5 7 12 0 1 5 7 12 0 4 6 2 0 3 8 9 1 0 4 3 0 2 1 5 0 4 2 2 1 7 6 4 5 3 2 4 9 9 5 16 16 17 1 1 1 3 7 1 2 0 1 2 2 4 4 2 12 3 6 7 5 21 1 4 1 1 1 1 1 0 2 6 52 Determinar el rango de las siguientes matrices para los distintos valores del parámetro k: 3 1 1 4 1 1 4 1 k k 4 10 1 4 10 k 2 1 k 5 1 7 17 3 2 2 1 1 10 6 1 2 2 4 k 53 Hallar el rango de las siguientes matrices por el método de Gauss: 1 0 2 0 1 1 4 2 1 5 5 6 1 5 3 1 2 2 0 0 1 0 2 5 3 1 4 3 4 1 4 0 2 1 0 2 7 0 2 1 1 1 3 0 1 1 0 2 1 1 1 54 Discutir los siguientes sistemas: x y z = 1 2x + y z = 2 x + 2y 4z = 3 2x + 2y 4z = 0 2x 5y + 4z + u = 3 x 2y + z u = 5 x 4y + 6z + 2u = 10 2x + 3y z + 5t = 0 7x 3t = 0 4z + t = 0 2x y + 3z + 3t = 0 x + y z + t + v = 2 x 2y + t = 5 x + z + 2v = 3 3y + z 2t = 1 55 Discutir, aplicando el Teorema de Rouché-Fröbenius, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, para los distintos valores de parámetros: mx + y + z = m x + my z = 1 3x + y + nz = 2 x y z = 1 2x + 3y 4z = 1 4x + 6y kz = 2 x + y + kz = 10 ax + by + z = 1 x + aby + z = b x + by + az = 1
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 8 11x + 7y + 17z = 0 x y + mz = 0 2x + my z = 0 2x + 3y z = 0 3x + ay z = 0 x 6y + z = a ax + y z = 1 x ay + z = 4 x + y + az = b 2x + y z = 3 x + 2y + 3z = 2 x y + kz = 1 3x + 2y + 2z = 2 3x + 2y + 6z = 0 2x + y + kz = 0 x 3y 2z = 0 x + y 2z + t = 1 x y + kz t = k 3x + ky z + t = k ax + y + z = 1 x + ay + z = 1 x + y + az = 1 ax + y z = 0 x + 3y + z = 0 3x + 10y + 4z = 0 x + y + z = 1 mx + y + z = 1 x + my + nz = 1 a + 1x + y + z = 3 x + 2y + az = 4 x + ay + 2z = 2 56 Resolver los siguientes sistemas: 2x + y + 3z t = 5 x + 2y z 4t = 2 7x + 8y + 3z 14t = 16 3x + y z = 1 x 3y + z = 9 x y + 4z = 3 x + y + z = 1 ax + by + cz = 1 a 2 x + b 2 y + c 2 z = 1 3x 2y z = 0 x + y 2z = 0 2x y 3z = 0 4x y 2z = 1 x + 3y + z = 2 x y + 3z = 2 57 Resolver los siguientes sistemas mediante el método de eliminación gaussiana: 4x y + 2z = 11 x 3y + z = 6 2x + 2y 3z = 1 58 Discutir y resolver los siguientes sistemas: x y + 2z = 0 2x + 3y z = 5 x + 5y + z = 6 x + y + z + t = 6 x y + z t = 2 3x y + 3z t = 2 7x 5y + 7z 5t = 6 x + y z t = 12 x + y 2z = 15 z t = λ ax + y + z = 0 x + ay = 0 2x + az = 0 5x 11y + 9z = k x 3y + 5z = 2 2x 4y + 2z = 1
Álgebra lineal Curso 2008-2009 Tema 2 Hoja 9 6x + 3y 2z = 48 3x 7y + 7z = 21 2x + y 2z = 8 2x 3y + z = k x + y + z = m + 1 mx + y + m 1z = m x + my + z = 1 59 Una viga está inicialmente deteriorada en un 25 % Por un proceso catalítico se consigue que mensualmente se recupere el 40 % de la zona deteriorada, del que sigue deteriorándose mensualmente un 20 % de la zona buena Cuál es la situación a los 3 meses? Y a los 10 meses? Y al cabo de mucho tiempo?