INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: Campo Eléctrico

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: Campo Eléctico 1.- Inteacción eléctica: Ley de Coulomb.- Campo eléctico: Intensidad del campo y potencial 3.- Campo eléctico: Ley de Gauss 4.- Conducto en euilibio electostático 5.- Teoema de Gauss: Otas aplicaciones 6.- Campo eléctico unifome 7.- Analogías y difeencias ente los campos gavitatoio y eléctico Actividades desaolladas

U IV T 13: Campo Magnético 78 1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA: LEY DE COULOMB La expeiencia, desde antiguo, muesta la existencia en la natualeza de fuezas de oto tipo ue las gavitatoias. Cuepos mateiales, como el vidio o el ámba, fotados con un paño seco, son capaces de atae peueños tozos de papel, epelese mutuamente,... etc. Como esultado de este fotamiento, estos mateiales aduieen una nueva popiedad, ue llamamos electicidad. Los cuepos electizados son capaces de inteacciona ente sí con fuezas mucho más intensas ue las gavitatoias. Las obsevaciones y expeimentos ealizados con cuepos electizados, y las mediciones efectuadas de las fuezas de inteacción, condujeon a Coulomb, en 1785, a fomula una seie de conclusiones: 1) Existe en la mateia una popiedad: su capacidad de electización. Caacteizamos el estado de electización de un cuepo definiendo su caga eléctica, ue epesentaemos po. Así como la masa m caacteiza la inecia y la gavitación de un cuepo, así ahoa la caga caacteiza su gado de electización. ) Los cuepos pesentan dos posibles estados de electización; los llamaemos electización positiva (como la del vidio fotado), y electización negativa (como la del ámba). Les asignaemos caga, positiva o negativa, según su estado. La caga neta de un cuepo es la suma algebaica de sus cagas positivas y negativas: Un cuepo ue tiene igual caga positiva ue negativa se dice ue es elécticamente neuto. 3) Cuepos con la misma clase de electización (positiva o negativa) se epelen; peo si tienen difeente clase de electización (uno positiva y oto negativa), se ataen. 4) En todos los pocesos obsevados, la caga neta de un sistema aislado pemanece constante. 5) La fueza de inteacción ente dos cuepos cagados elécticamente, consideados puntuales (es deci, de dimensiones mucho más peueñas ue las distancias ente ellos), es popocional a sus cagas ( F : : y F : : ) e invesamente popocional al cuadado de la distancia ue los sepaa( F : : 1/ ). + 1 + - - + 1 - De acuedo con estas conclusiones, podemos expesa la inteacción ente dos cuepos cagados elécticamente así: donde: ' F = k ˆ (1) * y epesentan las cagas elécticas de ambos cuepos. * F es la fueza de inteacción ejecida po sobe

U IV T 13: Campo Magnético 79 * es la distancia ente los cuepos cagados, = OP * k es una constante de popocionalidad, cuyo valo depende: + del medio en el ue se ealiza la inteacción. + del sistema de unidades elegido paa medi cagas elécticas. * ˆ es el vecto unitaio o veso adial, ue tiene su oigen en la caga. En el S.I. se toma como unidad de caga eléctica el culombio (C), ue se define así: Un culombio es la caga eléctica ue, situada en el vacío a un meto de distancia de ota igual, expeimenta una epulsión de 9x1 9 N. Consecuentemente, el valo de k paa el vacío, ue llamaemos k, debe se, en este sistema de unidades, k = 9x1 9 N.m.C - () En los demás medios distintos del vacío, k < k. Po azones puamente pácticas (foma más sencilla y abeviada de las expesiones posteioes) se pefiee sustitui la constante k po ota ε denominada pemitividad dieléctica (o constante dieléctica) del medio. La elación ente ambas constantes es: 1 k = (3) 4 π ε Paa el vacío (y paa el aie, apoximadamente), k = 1 4 π ε = 9x1 9 N.m.C - ε = 8 85x1-1 C.N -1.m - (4) Paa otos medios, ε es mayo ue ε. Se define entonces la constante dieléctica elativa del medio po ε = ε / ε. Po ejemplo, paa el agua destilada a ºC vale ε = 8, y po consiguiente: ε = ε ε = 8x8 85x1-1 = 7 8x1-1 C.N -1.m - De acuedo con ello, y suponiendo en adelante (mientas no se indiue explícitamente lo contaio) ue el medio dieléctico en el ue estudiaemos los fenómenos elécticos es el vacío, la expesión (1) se escibe así: F = 1 4 π ε ' ˆ Obsevamos de inmediato ue si y ' son de igual signo, la fueza F aplicada en ' está diigida según el sentido de ˆ (fueza epulsiva); mientas ue si y ' son de signo opuesto, la fueza F aplicada en ' está diigida hacia (fueza atactiva).

U IV T 13: Campo Magnético 8.- CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DEL CAMPO Y POTENCIAL Las fuezas de inteacción ente dos cagas elécticas, y, son fuezas ejecidas a distancia. Vimos anteiomente (Cf. Unidad I, tema 3, nº 1) cómo cabe una nueva intepetación de la inteacción, en téminos de una elemental teoía de campos: la caga cea un campo en el espacio (o en una egión de él); este campo actúa sobe la caga situada en su seno: la acción del campo sobe la caga es la fueza de inteacción. Intensidad del campo eléctico, E (), ceado po una caga puntual. La intensidad del campo eléctico ceado po en un punto P situado a una distancia viene dada po el valo de la fueza de Coulomb expesada en (1) al actua sobe la unidad positiva de caga,( = 1) colocada en dicho punto; es deci: E = F (5) ' Po tanto: E () = k ˆ (6) Como se obseva, en un punto dado, E sólo depende de la caga ceadoa del campo; y es función de la distancia desde ella hasta el punto. El campo E (), al igual ue F, se nos pesenta con dos caacteísticas impotantes: c) Es un campo cental. En efecto, al se geneado po una caga, (ue supondemos puntual y situada en un punto del espacio O, ue llamamos cento ), el campo E () está en todo punto P diigido según la ecta OP ue une el punto con el cento. Toda caga, en el seno de dicho campo se ve, pues, sometida a una fueza F = E diigida también según la ecta OP: es una fueza cental. d) Es un campo consevativo. (Cf. Unidad I, tema 3, nº7). En efecto, el tabajo ealizado po el campo, al lleva la unidad positiva de caga a ecoe un ciclo ceado cualuiea, es nulo. c E.d = k c ˆ.d A d = - k ( 1 ) = - k A A A = teniendo en cuenta (ve la figua) ue ˆ. d = d

U IV T 13: Campo Magnético 81 Potencial eléctico, V(), ceado po la caga. Que el campo E sea consevativo implica ue poviene de un potencial V oiginado también en el espacio po la caga. Llamaemos a este potencial potencial eléctico. Tal y como se vio en la Unidad I, tema 3, nº 13, la expesión ue elaciona el campo E y el potencial V es la fomulada en dicho tema po la ecuación (7), ue aduiee en nuesto caso, según (6), la foma: dv = E d = (k ˆ ). d d = k Paa obtene la función V(), potencial eléctico en un punto cualuiea, aplicamos la expesión integal (7) de la Unidad I, tema 3, nº 13: V() = dv + C = E.d d + C = k + C = k + C La constante de integación C es abitaia. Su valo depende del convenio ue se adopte: en ué punto del espacio consideamos nulo el valo de V. Se acostumba acepta ue V = cuando, o sea, V( ) =. Po tanto, sustituyendo en la expesión inmediata anteio, esulta: V( ) = k + C = C = Así ue, en base a este convenio, podemos escibi el potencial eléctico en todo punto, así: V() = k (7) Nótese ue, en el caso del campo eléctico, V() es positivo o negativo según sea positiva o negativa la caga ue lo cea. Véase en la figua la función V() paa una caga positiva. E (x1-5 V/m) La difeencia de potencial, V A V B, ente dos puntos A y B en el seno del campo eléctico viene dada po: V A V B = V( A ) V( B ) = k A V A V B = k ( A 1 1 - k = k ( - ) B A B 1 1 - ) (8) B (cm) Enegía potencial eléctica.- Tabajo La enegía potencial eléctica de una caga situada en el campo ceado po es: ' E p () = V() (9) Po tanto: E p () = k (1) Esta enegía potencial de es positiva o negativa según sean ambas cagas, de igual signo o de signo contaio, espectivamente. El tabajo ealizado po el campo paa lleva la caga desde un punto A a oto B puede escibise en función de la difeencia de potencial ente ambos puntos, V A V B, pues W AB = - E p = E p (A) E p (B) = V A V B = ( V A V B ) W AB = ( V A V B ) (11)

U IV T 13: Campo Magnético 8 Significado físico del potencial eléctico. Cuál es el significado físico de la difeencia de potencial ente dos puntos, V A V B? De acuedo con (11): V A V B = W AB / V A V B epesenta el tabajo ealizado po el campo eléctico paa lleva la unidad positiva de caga desde A hasta B. Y cuál es el significado físico del potencial eléctico en un punto, V()? Si consideamos ue A es un punto cualuiea P, y B es el punto del infinito,, entonces, ya ue V( ) = : V() V( ) = W P / V() = W P / V() epesenta el tabajo ue el campo eléctico ealizaía paa lleva la unidad positiva de caga desde la posición P hasta el infinito. Supeposición de campos y de potenciales elécticos. Hasta ahoa hemos consideado tanto la intensidad como el potencial del campo eléctico ceado po una sola caga. Paa estudia ambos, intensidad y potencial elécticos, debidos al campo ceado po una distibución de cagas basta aplica el pincipio de supeposición, tanto paa el campo E () como paa el potencial V(). En efecto, ambos son aditivos, el pimeo vectoialmente, el segundo escalamente, del mismo modo ue lo son las fuezas de inteacción eléctica y las enegías potenciales asociadas a ellas. Así pues, dada una distibución de cagas 1,, 3,..., i,..., n, se veificaá: E () = E i ( ) V i p () = V i ( ) i Líneas de campo y supeficies euipotenciales. El campo eléctico se epesenta po sus líneas de campo y po sus supeficies euipotenciales. * La intensidad del campo E () se epesenta po las líneas de campo, tangentes en todo punto al vecto E en él. * El potencial eléctico V() se epesenta po las supeficies euipotenciales. Todos los puntos de una deteminada supeficie euipotencial poseen el mismo potencial. Evidentemente, po cada punto de un campo eléctico pasa una única línea de campo y una sola supeficie de potencial, pues el campo y el potencial en cada punto tienen un único valo. Pues bien, las líneas de campo eléctico y las supeficies euipotenciales se sitúan de foma ue, en cada punto P(x, y, z) del espacio, el vecto intensidad de campo y la supeficie euipotencial coespondiente: i) son pependiculaes ente sí. ii) el campo E dececientes. está diigido hacia potenciales

U IV T 13: Campo Magnético 83 En efecto, consideemos la figua de al lado. Sea P(x, y, z) un punto cuyo potencial es V. Se han dibujado la supeficie euipotencial coespondiente, Σ, y también Σ 1, de potencial V + dv, y Σ, de potencial V dv. Los potenciales son, pues, cecientes en el sentido Σ, Σ, Σ 1. A pati del punto P, desplacémonos sobe la supeficie euipotencial Σ hasta el punto Q. La difeencia de potencial ente P y Q es dv = -E. d Peo puesto ue ambos puntos petenecen a la misma supeficie euipotencial, de valo V, entonces dv = E. d = E d la intensidad de campo E es pependicula a la supeficie euipotencial V. A continuación, desde P, desplacémonos pependiculamente a su supeficie euipotencial V, hasta el punto R peteneciente a la supeficie V + dv (potencial ceciente). Entonces, dv = E. d = E. ds. cos θ > cos θ = 1 θ = π E es de sentido contaio a d el campo E está diigida hacia potenciales dececientes. En el caso del campo ceado po una sola caga, según sea ésta, la figuas anteioes señalan la foma de las líneas de campo (adiales) y de las supeficies euipotenciales (esféicas y concénticas). Véanse también las líneas de campo y supeficies euipotenciales del campo eléctico debido a dos cagas iguales:

U IV T 13: Campo Magnético 84 Ídem en el caso de dos cagas iguales y opuestas:

U IV T 13: Campo Magnético 85 3.- CAMPO ELÉCTRICO: LEY DE GAUSS En la Unidad I, tema 3, nº 15, estudiamos el teoema de Gauss, en geneal, paa un campo C K = ˆ. El campo eléctico es un caso paticula, en el ue K = k. Po lo tanto, su flujo a tavés de una supeficie ceada ue contiene en su inteio la caga es: Φ = 4 π k. Y ecodando (4), paa el vacío, k = 1 / 4πε, esulta: Φ = 4 π k = / ε Si el campo eléctico está ceado po una distibución de cagas puntuales 1,, 3,..., n, unas inteioes y otas exteioes a una supeficie ceada S, entonces el flujo a tavés de ella es: 1 Φ = ε i donde i es la caga total inteio a la supeficie S. Teoema de Gauss : El flujo del campo eléctico E a tavés de una supeficie ceada es Φ = i (1) 1 ε donde el sumatoio i afecta exclusivamente a las cagas dicha supeficie. inteioes a Este teoema puede explicase, paa una sola caga, de un modo sencillo, así: Sea la caga inteio a la supeficie ceada S. Consideemos la supeficie esféica S, inteio a S, de adio y cento en. Todo el flujo ceado po ataviesa ambas supeficies S y S, siendo po tanto el mismo (ve figua). Φ = Φ S = Φ E ds S = En todos los puntos de la supeficie esféica S, el campo E tiene el mismo módulo, E = k ; y está diigido adialmente. Po tanto, E ds = E ds = k ds. Sustituyendo este valo en la integal: 1 Φ = Φ S = Φ S = k ds = S 4πε..4π = ε pues la integal anteio es igual al áea de la supeficie esféica S, o sea 4 π. Así pues, si es inteio a S, Φ =. ε Sea la caga exteio a la supeficie ceada S (ve figua). Una cieta poción de flujo ue pocede de alcanza S. El flujo entante a tavés de la supeficie S 1 (flujo negativo) es el mismo ue el saliente (flujo positivo) a tavés de la supeficie S, y de signo contaio; po tanto, el flujo neto a tavés de S = S 1 + S es nulo. Así pues, si es exteio a S, Φ =. S

U IV T 13: Campo Magnético 86 4. CONDUCTOR EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO Un conducto se caacteiza po dispone de cagas elécticas ue pueden movese libemente po él. En la páctica, estas cagas móviles suelen se electones o iones, ue confieen al mateial su caácte conducto. Un conducto se encuenta en euilibio electostático cuando las cagas móviles, en pomedio, están en eposo. Si no ocue así, habá desplazamiento neto de caga de unos puntos a otos del conducto, dando luga a una coiente eléctica. En un conducto en euilibio electostático, un exceso de electones significa una caga neta negativa: el conducto está cagado negativamente. Un defecto de electones supone una caga neta positiva: el conducto está cagado positivamente. En un conducto en euilibio electostático: el campo eléctico E + en su inteio es nulo. + en su supeficie es pependicula a ella, y vale E = σ / ε donde σ = d/ds es la densidad supeficial de caga. el potencial eléctico V es constante en todos sus puntos (el conducto es un volumen euipotencial). la caga eléctica + en su inteio es nula. + está localizada en su supeficie. Pobaemos las anteioes afimaciones: # En el inteio del conducto en euilibio, E =, pues si no fuea así, dicho campo E actuaía sobe las cagas libes, desplazándolas, conta la hipótesis de euilibio. # En los puntos de la supeficie del conducto en euilibio, E debe se pependicula a ella, pues si no fuea así existiía una componente del campo tangente a la supeficie ue desplazaía las cagas supeficiales, conta la hipótesis de euilibio. # En cuanto al potencial eléctico V, se debeá cumpli paa todo punto del conducto: dv = E.d. Paa puntos inteioes al conducto, dv = E.d = poue en todos ellos E =. Paa puntos de la supeficie, dv = E.d = poue paa ellos E y d son vectoes pependiculaes. supeficie, En ambos casos, pues, dv =, po lo ue el potencial V es constante, y aduiee el mismo valo en todos los puntos del conducto.

U IV T 13: Campo Magnético 87 # Paa demosta ue la caga neta se localiza en la supeficie del conducto, constuyamos una supeficie gaussiana S Gauss, inteio a S, tan póxima a ella como se uiea. En todo punto de S Gauss es E = ; luego el flujo a tavés de S Gauss es nulo: Φ = S Gauss Peo po la ley de Gauss: Φ = S Gauss E.dS = 1 ε i Po tanto: i =, epesentando el sumatoio la caga inteio a S Gauss. E.dS = Si la caga neta del conducto no se halla en el inteio, debe distibuise sobe su supeficie. d Sea σ la densidad supeficial de caga eléctica (caga po unidad de supeficie, σ ). Ésta ds debe se tal ue haga nulo el campo E en el inteio y pependicula a la supeficie en cada punto de la misma. Po ello, la función σ depende de la foma geomética del conducto. # Valo del campo eléctico en los puntos de la supeficie del conducto. Consideemos un elemento de supeficie ds en el conducto en euilibio (en la figua, la pate aya da). Si es σ la densidad supeficial de caga, la caga de este elemento es d = σ ds. Constuyamos una supeficie gaussiana del modo siguiente: una supeficie cilíndica, imaginaia e infinitesimal, con el contono del elemento de supeficie ds y geneatices pependiculaes a la supeficie del conducto; la base exteio está inmediatamente póxima a la del conducto, y la inteio está fomada po puntos inteioes. El flujo total elemental a tavés de esta supeficie gaussiana elemental vale: po un lado: dφ = dφ(supeficie lateal) + dφ(sup. base inteio) + dφ(sup. base exteio) = = + + E ds dφ = E ds d σ ds po oto lado, aplicando la ley de Gauss: dφ = = ε ε Igualando, esulta: E ds = σ ds ε Y po lo tanto: E = Capacidad de un conducto: σ ε (13) A continuación, podemos peguntanos: Cuál es el potencial V de un conducto en euilibio electostático?. La espuesta es: Depende de la caga neta del mismo y de su foma geomética. En efecto, se puede poba ue si se caga un conducto con cagas sucesivas 1,, 3,..., i,..., n, los potenciales aduiidos po el mismo son, espectivamente, V 1, V, V 3,..., V i,..., V n, tales ue: 1 3 i n = = =... = =... = = cons tan te V V V V V 1 3 i n

U IV T 13: Campo Magnético 88 Llamando C a la constante de popocionalidad, esulta: C V (14) Esta constante se denomina capacidad del conducto, y depende fundamentalmente de su foma geomética. Se mide en faadios (F); un faadio es la capacidad de un conducto ue aduiee un potencial de un voltio al cagalo con un culombio. El faadio es una unidad de capacidad muy gande, poco útil po tanto; se pefiee usa los submúltiplos de dicha unidad: el micofaadio (µf), el nanofaadio (nf) y el picofaadio (pf). Enegía de un conducto cagado. Un conducto en euilibio ue posee una cieta caga y se encuenta a un potencial V, posee po ese mismo hecho una enegía eléctica: es el tabajo ue ha habido ue ealiza en conta del campo eléctico paa situa dicha caga en el conducto. Paa halla el valo de dicha enegía, supongamos ue, en un deteminado instante del poceso de caga, el conducto ya posee una caga y un potencial V; se veifica, po tanto, V = /C. A continuación, y en conta de las fuezas del campo, vamos a tanspota una caga elemental d desde el infinito (V =, sin enegía) hasta el conducto. El tabajo elemental dw, en conta del campo, es: dw = - dw e = - d (V - V) = V d donde po dw e expesamos el tabajo elemental de las fuezas del campo. Y ya ue dw e = - de p, esulta finalmente: dw = de p = V d El tabajo total ealizado en el poceso de caga, y po tanto la enegía eléctica acumulada po el conducto cagado, seá: W = E p = 1 V.d = d = V C C = donde V = /C, siendo C la capacidad del conducto. Así pues, E p = 1 1 1 = V = C V C (15) V d

U IV T 13: Campo Magnético 89 5. TEOREMA DE GAUSS: OTRAS APLICACIONES A) Esfea conductoa, en euilibio electostático.- Sea una esfea conductoa, de adio R y caga eléctica, en euilibio electostático. Vamos a calcula el campo y el potencial ceado po ella en todos los puntos del espacio. a) Paa > R.- Campo eléctico ceado po la esfea. Aplicamos el teoema de Gauss a una supeficie gaussiana concéntica de adio (coodenada adial del punto P, exteio) Po un lado, E.dS Φ = S G = S G E.dS = E ds = E.4π S G Teniendo en cuenta ue + po azón de la simetía, E (módulo) tiene el mismo valo en todos los puntos de la supeficie gaussiana S G. + el vecto campo eléctico E, adial, es paalelo en todo punto de S G al vecto ds. Po oto lado, 1 Φ = int = ε ε Igualando: E 4π 1 = E = = k ε 4πε E() = k ˆ Potencial eléctico ceado po la esfea. ˆ.d V() = E.d + C = k + C = k + C El convenio V( ) = C = Po lo ue: V() = k Se puede afima, pues, ue paa puntos exteioes a la esfea, el campo y el potencial son los mismo ue coesponden a una caga puntual colocada el su cento b) Paa = R.- Po continuidad, E(R) = k ˆ R y V(R) = k R c) Paa < R.- Al se la esfea un conducto en euilibio electostático, E () = y V() = k R

U IV T 13: Campo Magnético 9 B) Hilo conducto, en euilibio electostático.- Sea un hilo conducto, ecto e indefinido, con una densidad lineal de caga eléctica unifome λ ( λ culombios po meto de longitud), en euilibio electostático. Po simetía de la distibución de cagas, el campo eléctico en cualuie punto tiene la diección adial, dependiendo únicamente de la distancia del hilo al punto consideado. Paa calcula el campo eléctico debido al hilo, conviene toma como supeficie gaussiana un cilindo coaxial con el conducto, de longitud L y adio. Aplicando el teoema de Gauss, po un lado: E.dS Φ = S G = E Lateal = Φ Bases + Φ Lateal = + E.dS = Lateal ds = E.π.L 1 λ.l Po oto lado, Φ = int = = ε ε ε Igualando : λ.l 1 λ E.π.L = E = = k λ ε πε λ Y vectoialmente: E() = k û donde û es el vecto unitaio adial (coodenadas cilíndicas) El potencial eléctico se calcula en la foma acostumbada: û.d d V() = E.d + C = kλ + C = kλ + C = k λ. ln + C Se acostumba a toma como convenio V(1) =, con lo ue C = Entonces: V() = - k λ ln C) Placa plana conductoa, en euilibio electostático.- Sea una placa plana conductoa, con densidad de caga eléctica unifome σ (σ es la caga de la unidad de supeficie en dicha placa). Vamos a supone la placa de muy gandes dimensiones (teóicamente indefinida). Entonces, po simetía, el campo eléctico geneado en cualuie punto debe tene diección pependicula a la placa, y su sentido alejándose de ella si σ >, o hacia ella si σ <. Paa calcula el campo eléctico debido a esta placa, conviene toma como supeficie gaussiana un cilindo con el eje pependicula a la placa, de altua (ve figua) y siendo S el áea de cada base. Aplicamos el teoema de Gauss a este cilindo gaussiano. en cada supefi- Po un lado, y teniendo en cuenta las diecciones de los vectoes cie de las ue componen el cilindo: E y ds

U IV T 13: Campo Magnético 91 Φ = S G E.dS = Φ Bases + Φ Lateal = = Φ Base + Φ Lateal = Base Po oto lado, Φ = 1 ε int = ε E.dS + = E S = σs ε σ Igualando, E = ε Se obseva ue este campo es constante, no dependiendo de la distancia de cada punto a la placa. D) Dos placas planas conductoas, paalelas: campo eléctico.- Como conclusión, consideemos dos placas planas, paalelas, teóicamente indefinidas, cagadas elécticamente con igual caga peo de signo contaio: densidades supeficiales de caga +σ y - σ. A este sistema se le suele denomina condensado plano. Paa puntos A del exteio al ecinto limitado po las placas, el campo eléctico es nulo. En efecto, el campo ceado po cada placa, σ/ε, es independiente de la posición del punto el campo ceado po la placa positiva se encuenta neutalizado po el ue cea la placa negativa. En cambio, en el inteio limitado po las placas, ambos campos se supeponen aditivamente (ve sus sentidos). Po ello, su valo es: σ E = ε

U IV T 13: Campo Magnético 9 6. CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Se dice ue un campo eléctico es unifome, en una egión del espacio, cuando su intensidad E pesenta el mismo valo en todos sus puntos. Este valo puede vaia de un instante a oto, pudiendo se función del tiempo (campo unifome, no estacionaio); o puede mantenese constante a lo lago del tiempo (estacionaio y unifome campo constante) Que E sea constante, significa posee en todo punto el mismo módulo, diección y sentido. Po consiguiente: + Las líneas de campo son ectas paalelas, igualmente espaciadas. + Las supeficies euipotenciales son planos pependiculaes a dichas ectas. Tomando un sistema de coodenadas en el ue el eje OX coincida con la diección del campo eléctico, podemos calcula la difeencia de potencial (ddp) ente dos puntos A y B, siguiendo una línea de campo, como señala la figua: + po un lado se tiene: W AB = ' (V A - V B ) = -. V + po oto lado: W AB = F. x = ' E. x = = '. E x = ' E (x B - x A ) Po tanto, V A - V B = E (x B - x A ) = E. x (16) O bien, E = V V = x x A B (17) B V x A Obsevemos cómo el signo negativo expesa ue el campo E se oienta hacia potenciales dececientes. Notemos, además, ue si expesamos la ddp en voltios, el campo eléctico puede expesase en voltios po meto (V/m); en efecto: VA VB voltios julios / culombio newtons x meto newtons E = V/m = = = = = N/C x x meto meto culombios x meto culombio B A Son pues dos fomas difeentes de expesa la intensidad de campo eléctico en el S.I.: en N/C o en V/m. Esta segunda foma es la de uso más coiente. Un caso conceto, de inteés, en el ue se dispone de un campo unifome es el espacio inteio ente dos láminas planas paalelas conectadas a una bateía, pila, o geneado de coiente continua (condensado plano); su ddp es la misma ue la de los bones de dichas fuentes. En el inteio (figua) se sitúa un campo constante, E = V AB /d, siendo d la sepaación de las láminas.

U IV T 13: Campo Magnético 93 El tabajo ealizado po el campo paa lleva la caga desde una posición A a ota B, uedó dicho, es W AB = (V A V B ) =. V AB. Pues bien, si la caga eléctica es la caga elemental, = e = 1 6x1-19 C y la difeencia de potencial es un voltio, V AB = 1 voltio, el tabajo del campo es: W AB =. V AB = 1 6x1-19 culombios x1 voltio = 1 6x1-19 julios Este tabajo es igual a la vaiación de enegía potencial expeimentada po la caga elemental, (po ejemplo, un electón) bajo la ddp de un voltio. Recibe el nombe de electonvoltio (ev). 1 ev = 1 6x1-19 J El electonvoltio es una unidad de enegía apopiada cuando se estudian los movimientos de las patículas fundamentales (potones, electones, patículas α, iones...). Aunue hemos definido esta unidad a pati de la enegía potencial eléctica, se utiliza paa cualuie oto tipo de enegía.

U IV T 13: Campo Magnético 94 7. ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO Analogías 1.- Son campos centales y consevativos. Po tanto llevan asociados una función escala, llamada Potencial.- Los campos ceados en un punto po una masa o una caga puntual disminuyen con el cuadado de las distancias a ese punto desde la masa o caga (popocionalidad con 1/ ) 3.- Se epesentan gáficamente po sus líneas de campo y sus supeficies euipotenciales. CAMPO GRAVITATORIO Difeencias CAMPO ELÉCTRICO 1.- Es una petubación del medio geneada po masas 1.- Es una petubación del medio geneada po cagas elécticas.- Su intensidad en un punto es la fueza ue actúa sobe la unidad de masa situada en él..- Su intensidad en un punto es la fueza ue actúa sobe la unidad de caga eléctica positiva situada en él. 3.- Las fuezas gavitatoias son siempe atactivas 3.- Las fuezas elécticas pueden se atactivas o epulsivas, dependiendo del signo de las cagas ue inteaccionan 4.- Paa masas puntuales, las líneas de campo son adiales y diigidas hacia ellas, 4.- Paa cagas puntuales, las líneas de campo son adiales y salen de las cagas positivas y se diigen hacia las negativas. 5.- La constante G es una constante univesal. No depende del medio. 5.- La constante k depende del medio, siendo su máximo valo en el vacío. 6.- El potencial gavitatoio en un punto es siempe negativo. 6.- El signo del potencial eléctico en un punto es el de la caga eléctica ue lo oigina. 7.- El campo gavitatoio no es unifome (sólo a veces se toma como tal, po apoximación). 7.- El campo eléctico puede se unifome en egiones peueñas del espacio: ente dos láminas paalelas cagadas, en el inteio de conductoes en euilibio electostático.

U IV T 13: Campo Magnético 95 8.- El campo gavitatoio solo se anula en el infinito. 8.- Hay egiones en las ue la intensidad del campo es nula: en el inteio de conductoes en euilibio electostático, y en el infinito.

U IV T 13: Campo Magnético 96 ACTIVIDADES DESARROLLADAS 1.- Dadas las dos cagas de la figua, calcula la intensidad del campo eléctico en A. Halla el tabajo ue ealiza el campo paa desplaza una caga = - 3 nc. desde A hasta B. Campo eléctico en A, E = E 1 + E A A A E 1 6 1 A1= k ĵ = 9x1 9 ĵ 9 = 1 ĵ (N/C) OA 6 x1 E A = k = 9x1 9 5 = 7 N/C E A = MA E Ax = E A.cos α = 7x,8 = 576 N/C E Ay = E A.sen α = 7x,6 = 43 N/C E Ax î + E Ay ĵ = 576 î 43 ĵ (N/C) El campo en A es: E A = E A1+ E A = 576 î + 568 ĵ (N/C) o bien: E A = 89 N/C 568 β = ac tg( ) = 44º 36 576 Tabajo ealizado po el campo : W AB = (V A V B ) V A = V A1 + V A = k 1 OA V B = V B1 + V B = k 1 OB + k = 9x1 9 MA 1 6 3-9x1 x1 9 5 6 = 3 36 = - 6 voltios + k = 9x1 9 1 6 6 MB 5-9x1 x1 9 3 = 18 6 = - 4 voltios W AB = (V A V B ) = - 3x1-9 (-6 + 4) = -1 8x1-5 julios < el tabajo ha de ealizase en conta del campo eléctico..- Dos peueñas bolas, de 1 g de masa cada una de ellas, están sujetas po hilos de 1 3 m de longitud, suspendidas de un punto común. Si ambas bolitas tienen la misma caga eléctica y los hilos foman un ángulo de 15º, calcula el valo de la caga eléctica. Puedes detemina el tipo de caga? Euilibio de fuezas: T + mg + F = T.cosα = mg F = mg tgα T.senα = F 1 Po oto lado, F = k = k (.L.senα) Igualando y despejando, esulta:

U IV T 13: Campo Magnético 97 = ±.L.senα mg.tgα ' 1x9' 81xtg( 7, 5º ) = ± x1 3xsen(7,5º) 9 k 9x1 = ± 4 45x1-7 C = ± 445 nanoculombios 3.- Dos cagas positivas e iguales, de µc. cada una, están situadas a 4 cm. de distancia en eposo. Desde una distancia muy gande (teóicamente, desde el infinito), y a lo lago de la ecta OP, se lanza una tecea caga de 15 nc de caga eléctica y de g de masa, con una velocidad suficiente paa ue uede en eposo en el punto P situado en medio de las otas dos cagas. Cuánto vale esa velocidad? En el punto O (infinito): E p (O) = E c (O) = ½ m v = 1-4 v E m (O) = 1-4 v En el punto P: E p (P) =.E p1 (P) = k E c (P) = ' ' ' = k = 4 k = 4x9x1 9 d/ d 6 x1 x15x1 ' 4 9 = 7 julios E m (P) = 7 julios No hay más fuezas ue las elécticas, consevativas. Po tanto, E m (O) = E m (P) 1-4 v = 7 v = 16 43 m/s Oto método: Po un lado, W OP = (V O V P ) donde V O = y V P = V P1 = k = k = 4 k = 4x9x1 9 x1 d/ d ' 4 po tanto, W OP = (V O V P ) = 15x1-9 ( 1 8x1 6 ) = - 7 julios 6 = 1 8x1 6 voltios Po oto lado, W OP = E c = E c (P) E c (O) = ½ m v = ½ m v = - 1-4 v Igualando las expesiones de W OP, esulta 1-4 v = 7 v = 16 43 m/s 4.- Consideando ue el átomo de hidógeno está constituido po un potón y un electón ue gia en una óbita en tono al potón y despeciando la contibución de la fueza gavitatoia, calcula la elación ente el adio de la óbita del electón y su velocidad. La enegía de ionización del átomo de hidógeno es 13 6 ev. Halla el valo del adio de dicha óbita (adio de Boh), el de la velocidad obital así como el peiodo y la fecuencia del movimiento obital. Qué intensidad de coiente eléctica constituye el electón en su movimiento en tono al núcleo? Datos: caga elemental, e = 1 6x1-19 C.- Masa del electón, m = 9 1x1-31 kg.- k = 9x1 9 N.m.C - De modo análogo al estudio del movimiento obital de un satélite, en este caso aplicamos la ª ley de Newton al movimiento del electón bajo la acción de la fueza cental de atacción culombiana: F = m.a n donde F = k ' e v = k, y donde m.a n = m., esultando las elaciones:

U IV T 13: Campo Magnético 98 v = ke 1/ m = 15 91 1/ (m/s) = ke m v = 53 v (m) La enegía de ionización es la ue hay ue comunica al electón paa extaelo del pozo de potencial en el ue se encuenta (electón ligado). E ionización = - E ligadua = -(E c (obital) + E p (obital)) = - (½ m v + k ' ke e e ) = - ( ½ m k ) = ½ k m 9 19 e k.e 9x1 x( 16 ' x1 ) E ion. = ½ k = = = 5 9x1-11 m = 53 Å ue 19.E ion. x13' 6x16 ' x1 coincide con el valo del adio de Boh (véanse tablas de constantes), a = 5 917x1-11 m. La velocidad v puede calculase también de la elación E ion. = ½ m. Eion. x13' 6x16 ' x1 v = = 31 m 91 ' x1 El peiodo y la fecuencia del movimiento valen: T = π v 19 v. = 187x1 6 m/s = 1 5x1-16 s f = T 1 = 6 57x1 15 Hz. Intensidad de coiente constituida po el electón en su óbita: En el tiempo t = T pasa po un punto de la óbita una caga eléctica = e. Po tanto: 19 e 1'6x1 3 I = = = ampeios = 1'5x1 ampeios = 1 5 miliampeios 16 t T 1'5x1 5.- Ente dos placas conductoas existe un campo eléctico poducido po una difeencia de potencial de 5 voltios. Un electón en eposo ( e = - 1 6x1-19 C; m = 9 1x1-31 kg) pate de una de las placas. a) Halla la velocidad con la ue llega a la ota placa. b) Si la distancia ente las placas es de cm y el campo es unifome, detemina el tiempo ue tada en dicho desplazamiento. Sea el campo unifome E V = - E ĵ = - ĵ. d Entonces la fueza ue actúa sobe el electón es: F = E = ( e)( V e. V e ĵ ) =. ĵ d d así ue el electón se mueve aceleadamente según el eje Y, desde la placa A a la placa B. El tabajo del campo es: W AB = F. d = e V Este tabajo es igual a la vaiación de la enegía cinética: W AB = E c = ½ m v Po lo tanto: ½ m v = e V v =. e. V m = 4 19x1 6 m/s Paa calcula el tiempo ue tada el electón en llega a la placa B, apliuemos la elación: m.v m.v m.v mvd F. t = (mv) F.t = m.v t = = = = = 9 54x1-9 s = 9 54 ns F e.e e. V / d e. V

U IV T 13: Campo Magnético 99 6.- La difeencia de potencial ente dos placas planas, paalelas, sepaadas d = 1 cm, es V A -V B = 1 V. Un electón peneta paalelamente a las placas con una velocidad v o = 1 7 m/s. Halla la desviación vetical expeimentada po el electón, y el ángulo de salida, si la longitud de las placas es l = cm. Dato: paa el electón, e/m = 1 7588x1 11 C/kg. Sea el campo unifome (figua): E V 1 = - E ĵ = - ĵ = - Ĵ = 1. ĵ d 1, La fueza ue actúa sobe el electón es: 19 F = E = ( e)( E.ĵ) = 16 ' x1 x1.ĵ = 16 ' x1 e 17 ĵ El electón, ue peneta en la egión del campo pependiculamente a él, se mueve con un MRU según el eje X y con un MRUA según el eje Y tayectoia paabólica en el plano OXY. Eje X: a x = v x = v = 1 7 x = v t = 1 7.t 17 F 16 ' x1 Eje Y: a t = = 13 = 1758 ' x1 m 31 91 ' x1 v y = a y t = 1 758x1 13. t y = ½ a y t = 8 791x1 1.t Ecuación de la tayectoia del electón (despejando t en la ecuación de x y sustituila en la de y); esulta: y = 8 791x1 - x Desviación vetical del electón: calculemos el valo de y paa x =, m: y = 3 5x1-3 m = 3 5 mm Paa calcula el ángulo α de salida (desviación angula), patimos de las componentes de la velocidad, paa x = cm. x, 8 t = = = x1 v 7 7 x = 1 7 v y = 1,758x1 13. t =1,758x1 13 xx1-8 = 3,516x1 5 1 1 v 5 y 3' 516x1 tg α = = = 3' 516x1 α = 1397º = º 5 7 v 1 x