Introducción a la Matemática Discreta

Introducción a la Matemática Discreta Lógica proposicional y Álgebras de Boole Luisa María Camacho Camacho Introd. a la Matemática Discreta 1 / 25

Introducción a la Matemática Discreta Temario Tema 1. Teoría de Conjuntos. Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole. Tema 3. Técnicas de contar. Tema 4. Recursión. Tema 5. Aritmética entera. Tema 6. Aritmética modular. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 2 / 25

Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole Lógica proposicional. Proposición lógica. Conectores lógicos. Tablas de verdad. Técnicas de demostración. Álgebras de Boole. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 3 / 25

Lógica proposicional. Proposición lógica Una proposición es cualquier enunciado lógico al que se le pueda asignar un valor de verdad (V) o falsedad (F) (pero no ambas). Ejemplos: x + 3 es un entero positivo NO ES UNA PROPOSICIÓN. 15 es un número par SÍ ES UNA PROPOSICIÓN. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 4 / 25

Lógica proposicional. Conectores lógicos Las proposiciones simples pueden combinarse mediante las llamadas conectores lógicos para formar proposiciones compuestas. La negación. La disyunción. o inclusivo. La conjunción. y La implicación. Condicional. La equivalencia. Los paréntesis. p (q r) no es lo mismo que (p q) r Camacho Introd. a la Matemática Discreta 5 / 25

Lógica proposicional. Tablas de Verdad. p verdad (V) si p falso (F) y falso (F) si p verdad (V). p p V F F V p q verdad (V) si al menos uno de entre p y q verdad (V) y falso (F) si tanto p como q falso (F). p q p q V V V F V V V F V F F F p q verdad (V) si p y q verdad (V) y falso (F) si uno de entre p y q falso (F). p q p q V V V F V F V F F F F F Camacho Introd. a la Matemática Discreta 6 / 25

Lógica proposicional. Tablas de Verdad. p q verdad (V) si p y q verdad (V) o si p falso (F) independientemente de q y falso (F) en los demás casos. p q p q V V V F V V V F F F F V p q verdad (V) si p y q toman el mismo valor y falso (F) en los demás casos. p q p q V V V F V F V F F F F V Camacho Introd. a la Matemática Discreta 7 / 25

Lógica proposicional. Tablas de Verdad. Tautología si toma el valor verdad independientemente de los valores de las proposiciones que la componen. Contradicción si toma el valor falso independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Contingencia en los demás casos. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 8 / 25

Relación entre Teoría de Conjuntos y Lógica Proposicional. conjuntos A A B A B A B A = B proposiciones a a b a b a b a b Tablas de pertenencia Sean A y B conjuntos de X. Sea x X. Si x es un elemento de un conjunto dado escribimos un 1 y si x no es elemento del conjunto escribimos un 0. Probar que A (B C) = (A B) (A C). A B C B C A (B C) A B A C (A B) (A C) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 9 / 25

Lógica Proposicional. Aplicaciones Estructura de decisión (o selección) en programación. Si expresion logica Entonces FinSi Sino acciones por verdadero acciones por falso si p entonces A o B, A y B no necesariamente proposiciones lógicas. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 10 / 25

Lógica Proposicional. Aplicaciones Ejemplo if (!(n<8) or (!(m!=2))) n=2*m = p q R. p : n < 8, q : m 2, R : n = 2m (no es proposición). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 11 / 25

Lógica Proposicional. Ejercicios. 1 Verificar que la proposición p (p q) es una tautología. 2 Verificar que la proposición (p q) (p q) es una contradicción. 3 Se pide: 3.1. Demostrar que p implica q y q implica p es lógicamente equivalenate al bicondicional p si y sólo si q ; es decir, (p q) (q p) p q. 3.2. Demostrar que p q ( p q) ( q p). 4 El conector proporcional se llama disyunción exclusiva; p q y se lee p o q pero no ambos. Se pide: 4.1. Construir una tabla de verdad para p q. 4.2. Probar: p q (p q) (p q) (es decir, puede escribirse en términos de los tres conectores originales, y ). Camacho Introd. a la Matemática Discreta 12 / 25

Tema 2. Lógica proposicional y álgebras de Boole Álgebras de Boole. Axiomas. Propiedades. Ejemplos. Aplicaciones a circuitos. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 13 / 25

Álgebras de Boole. Axiomas El álgebra de Boole es un conjunto de elementos, B, que contiene dos elementos especiales 0 (elemento neutro) y 1 (elemento unidad) sobre el que definimos dos operaciones binarias cerradas: +, y una operación unitaria,, que satisfacen los siguientes axiomas: { a + b = b + a Axioma 1: Conmutativa: a b = b a { (a + b) + c = a + (b + c) Axioma 2: Asociativa: (a b) c = a (b c) { a + (b c) = (a + b) (a + c) Axioma 3: Distributiva: a (b + c) = (a b) + (a c) { a + 0 = a Axioma 4: Elementos neutros: a 1 = a { a + a = 1 Axioma 5: Inversos: a a = 0 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 14 / 25

Álgebras de Boole. Propiedades Jerarquía de las operaciones: Primer lugar ( ), segundo lugar ( ) y tercer lugar (+). Si no da lugar a confusión a b = ab. Gracias a la asociatividad se suelen prescindir de los paréntesis: a + b + c, a b c. Existe dualidad entre las operaciones + y y entre los elementos 1 y 0. (Principio de dualidad.) Unicidad de los elementos neutro y unidad y del complementario. La operación unitaria es idempotente, (x ) = x. 0 = 1, 1 = 0. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 15 / 25

Álgebras de Boole. Propiedades. { (x + y)z = xz + yz xy + z = (x + z)(y + z) Ley de idempotencia: { x + 1 = 1 x0 = 0 Ley de absorción: { x + x = x xx = x { x + xy = x x(x + y) = x { x + x y = x + y x(x + y) = xy { (x + y) = x y Ley de Morgan: (xy) = x + y Camacho Introd. a la Matemática Discreta 16 / 25

Álgebras de Boole. Ejemplos Ejemplo 1: Álgebra de conjuntos. El álgebra de conjuntos es un álgebra de Boole, sea X un conjunto, sea P(X) el conjunto de las partes de X. Tomamos B = P(X), el conjunto de elementos, las dos operaciones binarias, la unión y la intersección y la operación unitaria el complementario, siendo su elemento unidad el conjunto universal (el total X) y el conjunto vacío ( ) su elemento neutro: A = A, A X = A, A B A A = X = 1, A = = 0, A B Camacho Introd. a la Matemática Discreta 17 / 25

Álgebras de Boole. Ejemplos Ejemplo 2: Álgebra Proposicional. El conjunto B está formado por dos elementos V y F; las dos operaciones (disyunción) y (conjunción) cuyos elementos identidad son F y V respectivamente. La operación unitaria es la negación,. V F = V, F F = F, (suma) V V = V, F V = F, (producto) V V = V = 1, V V = F = 0, (complementario) Camacho Introd. a la Matemática Discreta 18 / 25

Álgebras de Boole. Ejemplos Ejemplo 3: Álgebra de conmutación. Este álgebra es importante en el análisis de circuitos. El conjunto de elementos, B = {0, 1} las dos operaciones (+) y y la operación unitaria vienen dadas por: + 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 x x 0 1 1 0 Camacho Introd. a la Matemática Discreta 19 / 25

Álgebras de Boole. Circuitos Disponemos de un circuito en serie y dos interruptores A y B Introduzcamos la siguiente notación: 0 significa abierto o no circula corriente 1 significa cerrado o circula corriente representa el conector lógico Camacho Introd. a la Matemática Discreta 20 / 25

Álgebras de Boole. Circuitos Disponemos de un circuito en paralelo y dos interruptores A y B Introduzcamos la siguiente notación: 0 significa abierto o no circula corriente 1 significa cerrado o circula corriente + representa el conector lógico Camacho Introd. a la Matemática Discreta 21 / 25

Álgebras de Boole. Circuitos Disponemos de un circuito con relé y un interruptor A Introduzcamos la siguiente notación: 0 significa abierto o no circula corriente 1 significa cerrado o circula corriente representa el conector lógico Camacho Introd. a la Matemática Discreta 22 / 25

Álgebras de Boole.Circuitos Un circuito está formado de puertas elementales. Las más usuales son: AND equivale a un circuito en serie. El símbolo por el que se representa es: OR equivale a un circuito en paralelo. El símbolo por el que se representa es: NOT da como salida el estado opuesto al de entrada. El símbolo por el que se representa es: Camacho Introd. a la Matemática Discreta 23 / 25

Álgebras de Boole. Ejercicios. 1 Construir un circuito para cada una de las siguientes funciones de conmutación a) x + yz; c) x(y + z); e) (x + y) (z + k); b) xy + zk; d) (x + y) (x + zy ); f) (xy + z) (k + x y). 2 Halla las funciones de conmutación que producen los siguientes circuitos: Camacho Introd. a la Matemática Discreta 24 / 25

Lógica proposicional. Álgebras de Boole. Bibliografía. 1 F. García Merayo, Matemática Discreta. Editorial Thomson, 2 a Edición, 2005. 2 R. P. Grimaldi, Matemáticas discreta y combinatoria. Editorial Addison Wesley Iberoamericana, 1997. 3 K. H. Rosen, Discrete Mathematics and its applications. Editorial McGraw-Hill, 2003. Camacho Introd. a la Matemática Discreta 25 / 25