Variables separables

Definición: Variables separables Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma: puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. Es decir una ecuación es de variables separables si y solo si se puede escribir de la forma: se La forma de resolver las ecuaciones por variables separables es la siguiente: 1. Operamos por 1/ p( y ) ambos lados de la ecuación por tanto se tiene: 2. Por conveniencia sustituimos h ( y ) = 1/ p( y ), luego 3. Se sigue el paso al otro lado de la igualdad el diferencial dx, entonces se tiene h( y )dy = g(x) dx 4. Se integra ambos lados de la igualdad por lo tanto: 5. Finalmente se obtiene: H (y) = G (x) +C. 6. La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: Solución: Realizamos los pasos anteriores por tanto la ecuación diferencial quedará así: Ahora se integra ambos lados de la ecuación: De aquí se obtiene el siguiente resultado Ln (y-1) = Ln (x+3)+c. Ahora se opera por e ambos lados de la igualdad y se tiene que: e Ln (y-1) Ln (x+3) +C =e Aplicando leyes de logaritmo resultará: y -1= C(x+3), por consiguiente y = C(x+3) + 1, que es la solución de la ecuación diferencial 1

Ecuaciones Homogéneas Ciertas ecuaciones diferenciales de primer orden no son separables, pero pueden llevarse a la forma mediante un sencillo cambio de variables. Estas ecuaciones reciben el nombre de Ecuaciones Homogéneas. Sea la E.D. y' = g(y/x) (1) donde g es una función cualquiera dada de y/x, por ejemplo g(y/x)=(y/x) 3. La forma de la ecuación sugiere que se realice el cambio u=y/x., donde y y u son funciones de x. Entonces y=ux. Ahora se deriva la variable y con respecto a x, se obtiene y' = u + u'x, ahora se sustituye en (1) y obtenemos: u+u'x=g(u) Ahora separamos variables por lo tanto: u + x du/dx = g(u) De esta ecuación se tendrá: Se integra ambos lados: Luego de que se integre se remplaza u por y/x, y se encontrará la solución general de (1). Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: 2xyy' - y 2 + x 2 = 0 Solución: Primero se divide por x 2 para que quede de la forma y/x. y por tanto (1) Sea u=y/x, entonces y = ux. Derivamos con respecto a x entonces y' = u + u'x, se remplaza en (1) por lo tanto se tiene: 2u(u+u'x) - u 2 + 1 = 0 ==> 2u 2 + 2u'xu - u 2 + 1 = 0 ==> 2xu u' = -(1+u 2 ), como u'=du/dx entonces: Ahora se integra ambos lados de la ecuación y resulta, 2

Ln 1+u 2 = - Ln x + c. Operamos por e, entonces:, el logartimo -ln x queda ln x -1. Entonces se tiene: 1+u 2 = c/x. (2) Y remplazando a u=y/x en (2) obtenemos la solución de la ecuación diferencial que es: x 2 +y 2 =cx Ecuaciones exactas La ecuación M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si existe una función u de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal que: y Supongamos que M y N están definidas y tienen primeras derivadas parciales continuas en una región del plano xy. Y por la suposición de continuidad las segundas derivadas parciales son iguales por lo tanto se cumple: Que es condición necesaria y suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy=0, sea exacta. Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta, entonces se tiene una función u(x,y) que se encuentra de siguiente forma: O Ejemplo Resolver (1+x 2 ) dy +2xy dx=0 3

Solución: Vemos que M=2xy, N= 1+x 2. Se cumple que: Ahora hallamos u(x, y). Por tanto, de modo que u(x, y)=x 2 y +k( y ). Para determinar k (y) se deriva u con respecto a la variable y, de aquí se tiene: Igualamos du/dy = N, entonces dk/dy + x 2 = 1+ x 2, De modo que dk/dy=1, entonces integrando con respecto a la variable y se tiene que: k (y)= y + c Ahora se sustituye K en u(x, y)=x 2 y + k (y), entonces tenemos ecuación: u(x, y)= x 2 y + y + c = 0. (Donde c es una constante y puede ser positiva o negativa), Despejamos la variable y en x 2 y + y + c = 0se tiene como solución general a: El factor integrante Algunas ecuaciones de la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy =0 no son exactas, pero pueden serlo si se multiplica por una función adecuada u(x, y). Esta función recibe el nombre de factor integrante. La forma de encontrar un factor integrante es de la siguiente manera: A. Si el factor integrante está en función de la variable x, se usa:, entonces donde u(x) es el factor integrante. B. Si el factor integrante está en función de la variable y, se usa: 4

, entonces donde u(x) es el factor integrante. C. Si el factor integrante está en función del producto de x*y se usa: D. Si, con Z = x*y entonces donde u(xy) es el factor integrante. Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial: (1 x 2 y) dx + x 2 (y x) dy = 0 Solución Tenemos: Como entonces la ecuación diferencial no es exacta. Ahora sea Luego, por tanto u(x) = 1/x 2 Ahora multiplicamos la ED. por el factor integrante que hallamos y tenemos: que es una ED exacta, porque se cumple que: 5

Entonces existe una función f(x,y) talque:. Por lo tanto, entonces integrando respecto a la variable x: a la variable y: (1). Ahora se deriva con respecto, como, entonces N = x + k (y) luego tenemos: y x = x + k (y), por lo tanto y = k (y), de aquí que. Que se remplaza en (1) y tenemos: Y por último la solución es:. Hacemos k= 2c y se tiene: Ley de Newton de Enfriamiento y Calentamiento La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t es proporcional a la diferencial de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante en el tiempo t. Si consideramos a T como la temperatura del cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio circundante y To la temperatura inicial del cuerpo (t=0). Como las variaciones de la temperatura puede ser que aumenta o disminuya. Por tanto de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante la ecuación diferencial: (1) Para aumento o calentamiento (2) Para disminución o enfriamiento 6

Donde K es una constante de proporcionalidad. Y la solución de (1) es: Y la solución de (2) es: Ejemplos Ejemplo 1. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia en la temperatura T del cuerpo y la temperatura Tm del aire. Si la temperatura del aire es de 20 C y el cuerpo se enfría en 2 minutos desde 100 C a 60 C. En cuánto tiempo su temperatura descenderá hasta 30 C? Solución: Sea T= Temperatura del Cuerpo Tm= Temperatura del aire T0 = Temperatura inicial Teniendo en cuenta que es enfriamiento entonces se toma la ecuación diferencial (2). Entonces usamos la ecuación: Donde tenemos Tm= 20 C, T= 60 C, T0 = 100 C y t = 20 minutos. Remplazamos en la ecuación anterior para hallar el valor de k. Luego se tiene que 60 = 20 + (100 20) e 20k De lo anterior se obtiene 40 = 80 e 20k, por lo tanto k = ln2/20 por tanto k es aproximadamente k 0,0347 Ahora con el valor de k se remplaza en la ecuación para hallar el tiempo que solicitan, entonces: T = 20 + 80 e 0,0347t Entonces como están requiriendo el tiempo t para T = 30 C se remplaza en la ecuación anterior entonces se tiene: 30 = 20 + 80 e 0,0347t 30 20 = 80 e 0,0347t 1/8 = e 0,0347t, despejamos a t luego t = ln (1/8) /(0,0347), de aquí que es igual a: Respuesta t = 60 minutos 7

Ejemplo 2. Un termómetro que marca 18 F se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70 F, un minuto después la lectura del termómetro es de 31 F. Determinar las medidas como una función del tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el termómetro cinco minutos después que se lleve al cuarto. Solución Tenemos: T = Temperatura del cuerpo Tm = Temperatura del cuarto T0 = Temperatura inicial t = tiempo Luego: T = 31 F, Tm = 70 F, T0 = 18 F, t = 1 minuto después. Como es calentamiento se tiene en cuenta la ecuación Remplazando los datos en la ecuación anterior se halla el valor de k, se tiene entonces que: 31 = 70 + (18 70)e k 39 = 52e k 39/52 = e k K = ln (3/4) Como ya conocemos k, tenemos entonces la ecuación general: T = 70 52 e t*ln(3/4) Con esta ecuación hallamos la temperatura después de cinco minutos, luego: T = 70 52 e (5)*ln(3/4) T = 58 F Crecimiento y reacciones químicas La rapidez del crecimiento del número de bacterias en una solución es proporcional al número de bacterias presente. Si S representa la masa de una sustancia radiactiva presente en el tiempo t, o el número de bacterias en una solución en el tiempo t, entonces la Ley de descomposición y crecimiento esta expresado por dp/dt= kp para la descomposición y dp/dt= kp para el crecimiento, en donde K es un factor de proporcionalidad. 8

Al resolver la ecuación diferencial dp/dt = kp por el método de variables separables, se obtiene la solución P = P0 e kt, donde P0 representa la cantidad inicial para t=0 Trayectorias Ortogonales Si la ecuación F(x, y, c)=0 representa una curva en el plano xy para cada valor fijo real fijo de C. y si al considerar a c como variable dicha ecuación representa un número infinito de curvas. En ingeniería se representan problemas en los que dada una familia de curvas, se requiere hallar otra familia tal que cada una de sus curvas corte en un ángulo recto a cada una de las curvas de la familia dada. Entonces se dice que las curvas de las dos familias son mutuamente ortogonales, y las curvas de la familia así obtenida son las trayectorias ortogonales, como se observa en la Imagen Ahora dada una familia F(x, y, c)=0, que puede representarse por medio de una ecuación diferencial y'= f(x, y), podemos encontrar trayectorias ortogonales de la siguiente forma: De la ecuación diferencial y'= f(x, y) una curva de la familia dad pasa por un punto (x 0, y 0 ), tiene como pendiente f(x 0, y 0 ). La pendiente de la trayectoria ortogonal en(x 0, y 0 ) debe ser el recíproco negativo de f(x 0, y 0 ), es decir -1/f(x 0, y 0 ). En consecuencia, la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es 9

Ejemplo: Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas y=cx 2 Solución: Se deriva y se obtiene y' = 2xc (2) Para eliminar c, se despeja c de la ecuación original es decir c= y/x 2. Lo sustituimos en (2), entonces queda la ecuación así: y' = 2y/x Luego las trayectorias ortogonales de la familia de parábolas son: Después de hallar y' se sustituye y=ux, y y' = u'x + u en la anterior función, se integra y se obtiene la solución que es: x 2 +2y 2 = c 2 La ecuación diferencial Crecimiento y Decaimiento 1, donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diversos fenómenos que tienen que ver con el crecimiento y decaimiento de una población ya sea de bacterias, animales pequeños o personas. La solución de la ecuación anterior es: P (t) = P0 e kt (para crecimiento) P (t) = P0 e -kt (para decrecimiento o decaimiento) Ejemplo Un cultivo al inicio tiene Po cantidad de bacterias. En t = 1h se determina que el número de bacterias es de 3/2Po. Si la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determinar el tiempo necesario para que triplique el número de bacterias. Solución. 1 Tomado de Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera de Dennis G. Zill y Michael R. Cullen. 10

Como se esta buscando el crecimiento de una población usamos la ecuación P (t) = P0 e kt (1) Primero hallamos el valor de k, para ello usamos el valor para t=1, por lo tanto tenemos P (1) = P0 e k(1) Como P (1)= 3/2P0, entonces 3/2P0 = P0 e k, se cancela P0 en ambos lados de la expresión y tenemos que 3/2 = e k. Se aplica Ln en ambos lados de la ecuación y se tiene Ln(3/2) = k. Por lo tanto se tiene la ecuación: P (t) = P0 e (Ln3/2)t. Ahora para determinar el tiempo necesario para triplicar la población se utiliza la ecuación anterior remplazando P(t) = 3P0 Entonces se tiene 3P0 = P0 e (Ln3/2)t, cancelamos P0, por tanto 3 = e (Ln3/2)t despejamos la variable t y se obtiene: Ln (3) = Ln(3/2) t de aquí que Bibliografia Edwards J, P. D. (1986). Ecuaciones Diferenciales elementales con aplicaciones. Mexico: Calypso S.A. SHEPLEY, R. (1979). Ecuaciones Diferenciales. Barcelona: Reverté S.A. Simmons, G. F. (1993). ECUACIONES DIFERENCIALES, Con aplicaciones y notas historicas. Mexico: McGrawHill. ZILL, D. G. (1997). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado. Mexico: Thomson Editores. 11