MATERIA: Cálculo de Varias Variables CÓDIGO: 08275 REQUISITOS: Cálculo de una Variable, Álgebra Lineal PROGRAMAS: Biología, Ingenierías, Química, Química Farmacéutica. PERÍODO ACADÉMICO: 2016-2 INTENSIDAD HORARIA: 4 Horas por semana CRÉDITOS 4 1 OBJETIVO GENERAL. Al finalizar el curso el estudiante estará en capacidad de identificar modelos matemáticos de procesos físicos, económicos o sociales funciones en varias variables. Además se espera que sea capaz de identificar qué tipo de funciones se pueden representar con series infinitas, y podrá formular y resolver los modelos estudiados. 2 OBJETIVOS TERMINALES Como resultado de aprender adecuadamente los contenidos del curso el estudiante estará en capacidad de: 2.1 Identificar las condiciones bajo las cuales ciertas funciones pueden ser representadas por series de potencias; conocer dicha representación y utilizarla para resolver problemas complejos. 2.2 Conocer distintos sistemas coordenados (rectangulares, polares, cilíndricos y esféricos) e identificar superficies cuadráticas representadas en tales sistemas. 2.3 Identificar los aspectos de las curvas caracterizados por su descripción como la traza de una función vectorial. 2.4 Identificar problemas que involucran funciones de varias variables y cuya solución requiere la derivación parcial como herramienta. 2.5 Identificar problemas cuya solución requiere la integración múltiple como herramienta y aplicar adecuadamente las técnicas de Integración en el caso de varias variables. 3 OBJETIVOS ESPECIFICOS DE FORMACIÓN ACADÉMICA. 3.1 UNIDAD 1: Sucesiones y Series. 3.1.1 Determinar la convergencia o divergencia de una sucesión dada. 3.1.2 Identificar las series geométricas y telescópicas, calcular su suma enésima y determinar su convergencia. 3.1.3 Determinar la convergencia de una serie dada utilizando los distintos criterios: de la divergencia, de la integral, de comparación, de la razón y de Leibnitz para series alternantes. 3.1.4 Determinar el intervalo de convergencia de una serie de potencias dada. 3.1.5 Hallar la representación en series de potencias (geométrica, Taylor o Maclaurin) de una función dada. 3.1.6 Resolver problemas de integrales no elementales utilizando series. 3.2 UNIDAD 2: Cálculo en varias variables. 3.2.1 Identificar el dominio de una función de dos o de tres variables. 3.2.2 Identificar los conjuntos de nivel en el plano o en el espacio de una función de varias variables.
3.2.3 Identificar y graficar algunas superficies notables que son la gráfica de una función de dos variables o la superficie de nivel de una función de tres variables: esferas, elipsoides, cilindros, paraboloides, conos, hiperboloides. 3.2.4 Calcular las derivadas parciales de una función simple de varias variables dada. 3.2.5 Calcular derivadas parciales de funciones compuestas de varias variables, utilizando la regla de la cadena. 3.2.6 Calcular la derivada direccional de una función dada, en un punto particular y con una dirección determinada. 3.2.7 Identificar las condiciones de diferenciabilidad de una función de varias variables y utilizar el gradiente para calcular sus derivadas direccionales. 3.2.8 Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para identificar los puntos extremos y los puntos silla de una función definida en un dominio dado. 3.2.9 Utilizar el método de Lagrange para resolver problemas de optimización con restricciones. 3.3 UNIDAD 3: Coordenadas Polares. Sistemas Coordenados Tridimensionales. 3.3.1 Identificar las curvas coordenadas en el sistema polar y transformar entre coordenadas cartesianas y polares curvas planas notables como rectas, circunferencias, elipses y parábolas. 3.3.2 Describir regiones planas delimitadas entre curvas, utilizando coordenadas cartesianas y polares. 3.3.3 Realizar transformaciones entre coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas para puntos del espacio. 3.3.4 Identificar las superficies coordenadas en los sistemas cilíndrico y esférico y transformar entre coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas superficies notables como planos, esferas, elipsoides, paraboloides, conos y cilindros. 3.3.5 Describir regiones del espacio delimitadas entre superficies, utilizando coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. 3.4 UNIDAD 4: Integrales Múltiples. 3.4.1 Calcular integrales dobles y triples iteradas en coordenadas cartesianas. 3.4.2 Definir y entender el concepto de Jacobiano. 3.4.3 Identificar dominios de integración en el plano y en el espacio para hacer los cambios pertinentes de variables y el cálculo del Jacobiano correspondiente, para calcular integrales dobles y triples. 3.4.4 Calcular áreas y volúmenes utilizando integrales múltiples. 3.5 UNIDAD 5: Cálculo Vectorial. 3.5.1 Identificar el dominio de una función vectorial dada. 3.5.2 Identificar algunas curvas notables en el plano y el espacio que se parametrizan con funciones vectoriales: rectas, circunferencias, elipses, hélices. 3.5.3 Derivar e integrar funciones vectoriales respecto a la variable paramétrica. 4 CONTENIDO: El contenido total del curso se detalla por temas en la parcelación que se adjunta a este programa. 5 METODOLOGIA. 5.1 El enfoque: En concordancia con los propósitos de la Universidad, en desarrollo de este curso se considera que el aprendizaje es el resultado de un proceso que tiene como centro al estudiante y como guía al profesor. Por lo anterior, en la última media hora de cada sesión de clase el profesor presentará a los estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en la siguiente sesión. El estudiante, por su parte, deberá estudiarlos, aprenderlos y aplicarlos para responder las preguntas y resolver los ejercicios que se plantean para la clase siguiente. Esta actividad del estudiante será revisada durante la primera media hora de la clase bien sea individual o colectivamente, para conformar la calificación de preparación para la clase (15%). En la hora restante de clase se trabajarán ejercicios que permitan la apropiación y consolidación de los conceptos y técnicas estudiados, con base en la retroalimentación de la primera parte de la clase.
5.2 Los momentos de la clase: Las sesiones de dos horas de duración tendrán los siguientes momentos: Recordar los objetivos de la sesión de clase. Al inicio de cada clase, el profesor recordará los objetivos específicos de aprendizaje que se trabajarán durante la sesión, y motivará el trabajo individual y colectivo del grupo. Presentación y evaluación de la actividad de preparación desarrollada por el estudiante. Las preguntas y los ejercicios asignados por el profesor en la clase previa serán revisados de manera constructiva al inicio de cada sesión de clase, individual o colectivamente. El propósito fundamental de esta actividad es motivar a los estudiantes para el estudio y la preparación permanentes de los temas asignados, con los consiguientes beneficios en los conocimientos esperados y en las diferentes evaluaciones. No todas estas evaluaciones conllevan una calificación numérica, pero sí algunas de ellas, no anunciadas previamente. Trabajo en clase En esta actividad, la de mayor duración en desarrollo de la clase, se resuelven diversos ejercicios y problemas de aplicación que permitan consolidar el tema asignado. Presentación del tema para la clase siguiente. Como se dijo antes, en la última media hora de clase el profesor presentará a los estudiantes los conceptos y ejemplos de los ejercicios que se trabajarán en la siguiente sesión. Además, asignará los ejercicios para realizar cuando hayan comprendido y estudiado tales conceptos. 5.3 Las actividades del estudiante: Para el logro de los objetivos de aprendizaje, el estudiante debe desarrollar, con total responsabilidad, el conjunto de actividades antes, durante y después de la clase, que se describen a continuación. Se le recomienda encarecidamente utilizar las horas de tutoría de Cálculo, espacios a cargo de profesores del Departamento de Matemáticas y Estadística, para la solución de dudas sobre conceptos y ejercicios sobre el tema. Antes de la clase Estudiar el tema que el profesor explicó para esta clase. Esta actividad incluye el comprender y memorizar los conceptos presentados, establecer relación con conceptos previamente estudiados, hacer los ejercicios que se asignaron y resolver las preguntas que se hayan incluido en los ejercicios por discutir. Es necesaria su disposición y trabajo individual para el éxito en esta primera actividad. Durante la clase Participar activamente en el desarrollo de la clase, presentar inquietudes o aportes que hayan surgido durante el proceso de estudio previo. Abstenerse de distraer la atención del grupo, o parte de él, en actividades que no son propias de la clase, en particular, y no utilizar los recursos tecnológicos en asuntos no pertinentes a la clase. Después de la clase Buscar la consolidación del nuevo conocimiento mediante la solución de ejercicios complementarios, y establecer relaciones con el tema de la siguiente clase. No conformarse con entender, sino profundizar en lo aprendido, para lo cual se sugiere destinar un tiempo en su agenda personal y hacer un seguimiento de su proceso de aprendizaje.
6 EVALUACIÓN. Preparación para la clase 15% Primer Parcial 20% Segundo Parcial 20% Examen Final 25% Todo el contenido del curso Pruebas cortas 20% Por lo menos tres; se elimina la de menor calificación. NO HAY supletorio de pruebas cortas. EXAMEN FINAL: Noviembre 30 de 2016, 9:30 a 12:00 EXÁMENES SUPLETORIOS: Octubre 29 de 2016, 9:30 a 12:00, (exámenes parciales) Diciembre 05 de 2016, 9:30 a 12:00, (examen final) OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Si un estudiante obtiene una nota mayor o igual a 3.3 en el examen final y la nota así acumulada está entre 2.8 y 3.0, la nota final del curso será de 3.0 6 BIBLIOGRAFÍA Texto Guía: CÁLCULO. Purcell, Varberg, Rigdon, PEARSON Prentice Hall, novena Edición. 2007. CÁLCULO. Larson B., Edwards H. McGraw Hill, novena Edición. 2010.
CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES. PERÍODO ACADÉMICO 2016-2. S#: Sesión número. SAE: Sección del texto guía asignada al estudiante para la clase siguiente S# TEMA Ejercicios recomendados para programar la discusión en clase (*1) SAE Ejercicios recomendados para que el estudiante confronte su manejo previo de los temas. Pruebas Cortas 1 PRESENTACIÓN DEL PROGRAMA. INTRODUCCIÓN A LOS CONTENIDOS DE LA SIGUIENTE SESIÓN: Cálculo de límites en infinito. Sucesiones infinitas. 2 Sucesiones infinitas. Series infinitas. 9.1:impares 21 a 30 9.2: 15 a 20,23,24,25,33,41, 45,46 9.3: 33 a 37,40,42,43 9.4: 15,17,25,29,33,35 a 40 9.1 9.2 9.3 9.4 ES OBLIGATORIO EL ESTUDIO DE LOS EJEMPLOS DE CADA SECCIÓN DEL TEXTO 9.1: impares 1 a 20 9.2: impares 1 a 14 9.3: 3,8,12,24,29 9.4: 1 a 10 3 Series positivas. El criterio de la integral. 9.4 Series positivas. Otros criterios. 4 Series positivas. Otros criterios 9.4: 42,43,46 9.5 1,4,10,12 5 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional. 9.5: 17,21,23,27,31 a 39,40 41 9.6 9.7 9.6: 1 a 8 9.7: 1 a 8 6 Series de potencias. 9.6:9,17,24,28,31,34,37 9.7 Operaciones sobre series de potencias. 9.7:8 al 12,15,24,27,29,32,36 9.8 9.8: 1 a 5 7 Operaciones sobre series de potencias 9.7: 9.8 9.8:13,25 a 28,33,34,38,40 9.9 9.9: 1 a 8 Series de Taylor y Maclaurin. 8 Series de Taylor y Maclaurin 9.8: 11.1 6,7,8,9 a 12 La aproximación de Taylor para una función. 9.9:11,16,18,39,49,55,61,62 9 Coordenadas cartesianas en el espacio 11.1:15,21,37,42,43,44 tridimensional. 10 PRIMER PARCIAL: hasta la sesión 8. 11.5 1 a 12 1 11 Funciones con valores vectoriales y movimiento curvilíneo. 11.5: 14,23,28,32,34,40 a 44 11.6 1 a 12 12 Rectas y curvas en el espacio tridimensional 11.6: 14,17,20,21,27,28,29 11.8 Impares 1 a 19 13 Superficies en el espacio tridimensional. 11.8: 8,14,24,25,35,36 12.1 1 al 6 14 Funciones de dos o más variables. 12.1:11,14,15,20,23,27,31,35, 37,41 12.2 12.3 12.2:impares 1 a 15 12.3:impares 1 a 15 15 Derivadas parciales. 12.2:12,20,25,28,30,38,44,46 12.4 Impares 1 a 9 Límites y continuidad. 12.3:10,17,22,30,33,36,37 16 Diferenciabilidad. 12.4:6,10,14,16,17,20,22,24,26 12.5 1 a 8 17 Derivadas direccionales y gradientes. 12.5:12,13,16,19,25,28,30,32 12.6 1 a 6 18 La regla de la cadena. 12.6:9,11,15,20,24,27 a 32 12.7 1 a 8 2 19 Planos tangentes y aproximaciones. 12.7:11,16,18,19,21,24,27,28 12.8 1 a 10 20 Máximos y mínimos. 12.8:13,14,16,20,24,27,28,30 12.8
34,37,39,40,41,54 21 SEGUNDO PARCIAL: hasta la sesión 19. 12.9 22 Máximos y mínimos 12.8: 12.9 1 a 6 23 Método de Multiplicadores de Lagrange. 12.9:9 a 12,13 a 20,24,26,28, 30,31 24 Método de Multiplicadores de Lagrange 12.9: 13.1 13.2 25 Integrales dobles sobre rectángulos. 13.1:15,20,21,26 13.2 Integrales iteradas. 13.2:8,14,21,24,28,32,33,37,40 13.3 26 Integrales iteradas Integrales dobles sobre regiones no rectangulares. 41,42 13.2: 13.3:6,10,17,20,25,27,32,34,40 43,46 13.3 13.1:1 a 8 13.2:impares 1 a 15 13.2: 13.3:impares 1 a 13 27 Integrales dobles sobre regiones no rectangulares (aplicación al área de una región plana sección 5.1-). 28 El sistema de coordenadas polares. Cambio de variable en integrales múltiples. 29 Cambio de variable en integrales múltiples Integrales dobles en coordenadas polares. 13.3: Ejercicios 1 a 9 de 5.1 10.5:13,15,17 a 21 13.9: 17,18,21,22 13.9: 10.5 13.9 13.9 13.4 13.4 13.7 10.5:5 a 8 13.9:7 a 10 13.9: 13.4:1 a 6 13.4: 13.7:impares 1 a 9 3 13.4:7,8,16,19,20,23,26,35, 37, 39 30 Integrales dobles en coordenadas polares Integrales triples en coordenadas cartesianas. 13.4: 11.9 13.8 11.9:3 a 6 13.8:1 a 6 13.7:10,14,18,24,31,38 31 Coordenadas cilíndricas y esféricas. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 11.9:11,13,14,24,30 13.8:8,11,13,15,19 a 24,27 13.8 32 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 13.8: (*1) En el desarrollo de la clase el profesor puede proponer ejercicios y ejemplos adicionales para apoyar y complementar el trabajo con el texto guía. El estudiante debe responder en cada clase, como mínimo, por haber estudiado los ejemplos de las secciones asignadas previamente.