ÁLGEBRA LINEAL EXAMEN FINAL 8 de Enero de Apellidos y Nombre: Duración del examen: 3 horas Publicación de notas: enero Revisión de Examen: feb Ejercicio. ( puntos a (, puntos Estudia si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando debidamente la respuesta. Sean A n n y B n n dos matrices de n n tales que se verifica que A B. Si A es diagonalizable con autovalores no nulos λ,, λ n, entonces B es diagonalizable con autovalores λ,, λ n. Respuesta: FALSO: Sea λ R un autovalor de A, y v R n el autovector asociado a λ, es decir Av λx. Si multiplicamos la expresión anterior por, se obtiene Av λx Bv λx los autovalores de B son de la forma λ, y λ λ pues λ. b (, puntos Estudia si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, justificando debidamente la respuesta. Sea T : R 3 R una aplicación lineal. Si la matriz asociada a T en las bases canónicas tiene 3 columnas pivote, entonces T es inyectiva. Respuesta: VERDADERO: dim(nult + dim(imt 3 como dim(imt 3 número de columnas pivote dim(nult inyectiva.
c (, puntos Sea A 3 3 una matriz de 3 3 tal que det(a 7. Calcula det(a 3 y det(3a. Respuesta: det(a 3 7 3 33 y det(3a 3 3 7 89. [ ] 3 d (, puntos Dada la matriz A, calcula el valor de a y b si λ y λ a b son valores propios de dicha matriz. Respuesta: Si λ y λ son valores propios de la matriz dada entonces, su polinomio característico será: p(λ λ 3 a b λ (λ (λ λ ( + bλ + (b 3a λ 6λ + Igualando coeficientes obtenemos a y b Ejercicio. ( puntos Sabiendo que 3 6 6 3 A 3 3 7 8 8 9 3 9 9 6 donde el simbolo denota que las dos matrices son equivalentes por filas, calcula: a (, puntos la forma escalonada reducida de A. Respuesta: Sumando a la a fila, la 3 a se obtiene 3 6 6 3 3 A 3 3 7 8 8 9 7 3 9 9 6 b (, puntos Rango A (dimensión del espacio generado por las columnas de A. Respuesta: Rango A 3 ya que A tiene tres posiciones pivote.
c (, puntos una base de Col A (espacio generado por las columnas de A. Respuesta: Como las columnas pivote de A son la a la a y la a, entonces las columnas a, a y a de A, 3 3 3, 7, 8 3 9 6 forman una base de Col A. d (, puntos la dimensión de Nul A (espacio núcleo o nulo de A Respuesta: dim Nul A 3 ya que Rango A 3 y dim Nul A+ Rango A 6 e (, puntos una base de Fil A (espacio generado por las filas de A. Respuesta: Como el espacio generado por las filas de dos matrices equivalentes por filas es el mismo, las filas a, a y 3 a de la forma escalonada reducida de A, [,,, 3,, ], [,,,,, 7], [,,,,, ] son una base de Fil A. Ejercicio 3. ( puntos a ( punto Sea T : M R una transformación de las matrices cuadradas en R, definida como: a + b (( a b T b + c c d c + d d + a Sabiendo que la base canónica de M está formada por: {( ( ( ( } B,,,. (utilizando la base en este orden, determina la matriz de la transformación T respecto de la base B y la base canónica de R. 3
Respuesta: ( T (, T (, T (, T, de donde se deduce que la matriz de la transformación T respecto de la base B y la base canónica de R es b ( punto Sea T : R R 3 una transformación lineal definida como: (( x + y x T y x y x Calcula la matriz canónica de T. Es T inyectiva? Justifica la respuesta. Es T suprayectiva? Justifica la respuesta. Respuesta: T ((, T (( de donde se deduce que la matriz canónica de T es La transformación T es inyectiva pues las columnas de la matriz canónica son linealmente independientes, y no es supreyectiva pues las columnas de la matriz no generan todo R 3.
Ejercicio. ( puntos a (, puntos Diagonaliza la matriz:. Respuesta: El polinomio característico es : ( λ(λ λ de donde se dedude que los autovalores de la matriz son: λ, λ +, λ 3. Por tanto, como son distintos se tiene que la matriz es diagonalizable. Calculamos los autovectores asociados v, v, v 3 a λ, λ, λ 3, respectivamente: v, v, v 3 Entonces, se tiene que la matriz es diagonalizable con D +, P b (, puntos Determina la solución general del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: x (t x(t y (t x(t + y(t + z(t z (t x(t + y(t + z(t Respuesta: La soluciòn general viene dada por la combinaciòn lineal: es decir: C e t + C x(t C e t e(+ y(t e t (C + C e t C 3 e t z(t e t (C + C e t + C 3 e t t + C 3 t e(
c (, puntos Determina la solución del sistema del apartado b con valor inicial x( y( z( Respuesta: Evaluando en la solución general en t y despejando las constantes se obtiene C /, C /, C 3 /, de donde se concluye que la solución es x(t e t y(t e t + ( e(+ t ( e( t z(t et + ( e(+ t ( e( t. Ejercicio. ( puntos Sea V el subespacio de R generado por v (,,, y v (,,,. a (, puntos Calcula el vector de V más cercano a (,,, (es decir proy V (,,,. Respuesta: Como los vectores v y v son ortogonales se tiene (,,, (,,, (,,, (,,, proy V (,,, (,,, + (,,, (,,, + ( 3 (,,,,, 3,. b (, puntos Encuentra v V y w V tales que se verifique (,,, v + w (es decir, la descomposición ortogonal de (,,,. ( 3 Respuesta: Se tiene v proy V (,,,,, 3, y ( 3 w (,,, proy V (,,, (,,,,, 3, (,,, c ( punto Sea U el espacio generado por v, v y v 3 (,,,. Calcula el vector de U más cercano a (,,,. 6
Respuesta: Una base ortogonal de U, está formada por v, v y [ (,,, (,,, (,,, (,,, ] v 3 proy V v 3 v 3 (,,, + (,,, [ v 3 (,,, + ] ( (,,, v 3,, (,,,,, o también por v, v y (,,,. Entonces proy W (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, (,,, + (,,, (,,, (,,, ( 3 + (,,,,, 3, + (,,, (,,,. 7