Examen de Estadística 2 de julio de 2014 Nombre Número Grupo... Titulación... 1. Se dispone de un test para detectar la presencia de contaminantes en una bebida. Dicho test indica presencia de contaminantes cuando efectivamente los hay con probabilidad 0,9. Si no hay contaminantes el test se equivoca e indica que existe contaminación con probabilidad 0,1. Sabiendo que la probabilidad de que no haya contaminantes es 0,95, calcule la probabilidad de cuando el test haya dado positivo (hay contaminantes) los haya realmente. 2. Un examen tiene dos partes. La primera la supera el 60% de los alumnos y la segunda el 50%. Se decide aprobar a aquellos que superen al menos una de las partes, resultando el 80%. a. Qué porcentaje de aprobados habría habido si se hubiera exigido superar las dos partes? b. Qué probabilidad de superar segunda parte tienen los estudiantes que han superado la primera?
3. Unos componentes que forman parte de una máquina tienen una duración en años (variable ) que se distribuye según la función de densidad: Se pide: = para 0 a. Calcular el valor de para que sea, efectivamente, una función de densidad b. Calcular la probabilidad de que un componente dure más de 6 años c. Calcular la probabilidad de que un componente que ya ha durado 6 años dure más de otros 6.
d. Tal como muestra la figura, cuatro componentes independientes de este tipo se ensamblan en paralelo para formar una máquina. Calcular la probabilidad de que el sistema funcione más de 6 años. Nota: El sistema funciona si funciona alguno de los cuatro componentes. 4. Se han tomado 70 valores de los tiempos que tarda un sistema telefónico en llegar a la opción correcta en un Call Center (en segundos). Cada llamada es independiente. A continuación se presentan los resultados del ajuste: Histograma para Datos 15 Distribución Normal 12 frecuencia 9 6 3 0 3,7 4,2 4,7 5,2 5,7 6,2 Datos Normal media = 5,06495 desviación estándar = 0,494746 Pruebas de Normalidad para Llamadas Prueba Estadístico Valor-P Chi-Cuadrado 17,6 0,482281 Áreas de Cola para Datos Distribución Normal X Área Cola Inferior (<) Área Cola Superior (>) 4,0 0,0156783 0,984322 4,5 0,126749 0,873251 5,0 0,447777 0,552223 5,5 0,810394 0,189606 6,0 0,970619 0,0293811 Valores Críticos para Datos Área Cola Inferior (<=) Normal 0,01 3,91399 0,1 4,4309 0,5 5,06495 0,9 5,69899 0,99 6,2159
Se pide a. A la vista de los resultados indicar si el ajuste a una distribución Normal es correcto y por qué. b. Qué normal se ajusta? c. Calcular la probabilidad de que el sistema tarde entre 4,5 y 5 segundos en alcanzar la opción correcta. d. Se considera que el sistema falla si no alcanza la opción correcta antes de 6 segundos. Calcular la probabilidad de que no falle en ninguna de las 10 próximas llamadas. e. El sistema debe repararse si falla en más de una de las próximas 10 llamadas recibidas. Calcular la probabilidad de que deba repararse.
5. Se prueba un medicamento contra el colesterol en un grupo de 20 pacientes obteniendo un descenso promedio en el nivel de colesterol de 50 con desviación típica 15. El grupo de control de 30 personas toma la medicina tradicional y tiene un descenso del colesterol de 40 con desviación 12. P-valor 0,012 (asumiendo igualdad de varianzas). Es mejor el nuevo medicamento? Justificar la respuesta. Datos de la muestra H 0 H 1 Tipo de contraste p-valor Conclusiones 6. Se sabe que si un proceso funciona adecuadamente debe producir como máximo un 2% de artículos defectuosos. Se toma una muestra de tamaño 100 obteniendo cuatro artículos defectuosos, indicar si el proceso funciona adecuadamente sabiendo que el p-valor es de 0,14. Justificar la respuesta. Datos de la muestra H 0 H 1 Tipo de contraste p-valor Conclusiones 7. Para controlar un proceso de producción de hamburguesas, disponemos de 20 muestras de tamaño 5 de su peso (en gramos). Los gráficos de control iniciales son: Gráficos X-bar y R - Hamburguesas Número de subgrupos = 20 Tamaño promedio de subgrupo = 5,0 0 subgrupos excluidos Distribución: Normal Transformación: ninguna Gráfico de Rangos Período #1-20 LSC: +3,0 sigma 19,7213 Línea Central 9,32675 LIC: -3,0 sigma 0,0 1 fuera de límites Gráfico X-bar Período #1-20 LSC: +3,0 sigma 131,105 Línea Central 125,725 LIC: -3,0 sigma 120,345 1 fuera de límites Estimados Período #1-20 Media de proceso 125,725 Sigma de proceso 4,00978 Rango promedio 9,32675 Sigma estimada a partir del rango medio
Gráfico X-bar para Hamburguesas Gráfico de Rangos para Hamburguesas 135 24 132 131,10 20 16 19,72 X-bar 129 126 125,72 Rango 12 8 9,33 123 4 120 0 4 8 12 16 20 5 Las Estadísticas de subgrupos son: 120,35 0 0 4 8 12 16 20 5 0,00 Subgrupo Tamaño X-bar Rango 1,0 5 120,959 7,531 2,0 5 125,449 8,138 3,0 5 125,035 6,135 4,0 5 125,727 4,48 5,0 5 123,834 6,756 6,0 5 127,188 8,839 7,0 5 125,186 12,764 8,0 5 126,78 8,279 9,0 5 126,983 8,282 10,0 5 126,644 * 21,189 11,0 5 124,258 4,687 12,0 5 123,246 9,869 13,0 5 127,853 7,674 14,0 5 122,497 11,145 15,0 5 * 132,4 13,52 16,0 5 127,049 7,374 17,0 5 124,443 10,564 18,0 5 126,443 7,199 19,0 5 125,766 12,295 20,0 5 126,759 9,815 Además se sabe que para n=5, d 2 =2,326 ; D 3 =0 ; D 4 =2,115 y para n=4 d 2 =2,059 ; D 3 =0 ; D 4 =2,282 Se pide: a. Calcular los límites de control para la media y rangos.
b. Si los límites de tolerancia son LTI=118 y LTS=132, calcular la capacidad del proceso y el Índice de Capacidad del mismo. c. Posteriormente se decide monitorizar el proceso con muestras de tamaño 4, calcular los nuevos límites de control para el gráfico de medias y rangos. 8. Los gráficos y regresiones que se presentan al final sirven para explicar los Resultados (Variable dependiente) de una evaluación a distintas sucursales de una empresa en función de sus Ventas, Gastos de personal y Número de personas cualificadas en cada una de las sucursales. En la columna de la derecha se presentan los datos sin transformar y en la de la izquierda los datos transformados a logaritmos. Se pide: a. Hay que transformar los datos? Contesta Sí o No y continúa el ejercicio siguiendo la columna de la opción elegida. b. Escribe la regresión simple de Resultados en función de Ventas. Analiza la significatividad de la variable e indica el impacto que tendría sobre los resultados un incremento de las Ventas.
c. Escribe y analiza la regresión con las tres variables. Indica si tiene algún problema y por qué. d. Elige la mejor regresión de todas las que se presentan en la opción que hayas elegido (con o sin logaritmos). Analízala e indica por qué la has elegido.
Sin Logaritmos Con logaritmos Resultados log(resultados) Ventas log(ventas) Personal log(personal) Cualificados log(cualificados) Regresión- Resultados Ventas CONSTANTE 36,8621 10,0286 3,67571 0,0004 Ventas 0,179525 0,0185613 9,67204 0,0000 R-cuadrada = 46,4149 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 45,9187 porciento Regresión log(resultados) log(ventas) CONSTANTE 0,785119 0,394827 1,98851 0,0493 log(ventas) 0,641992 0,0665869 9,64142 0,0000 R-cuadrada = 46,2571 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 45,7595 porciento
Regresión - Resultados Personal CONSTANTE -178,985 22,7929-7,85264 0,0000 Personal 1,7879 0,134491 13,2939 0,0000 R-cuadrada = 62,069 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 61,7178 porciento Regresión - Resultados Cualificados CONSTANTE -43,0141 27,594-1,55882 0,1220 Cualificados 3,10869 0,518773 5,99238 0,0000 R-cuadrada = 24,9524 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 24,2575 porciento Regresión - log(resultados) log(personal) CONSTANTE -7,85552 1,16688-6,73204 0,0000 log(personal) 2,43947 0,229007 10,6524 0,0000 R-cuadrada = 51,2357 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 50,7842 porciento Regresión - log(resultados) log(cualificados) CONSTANTE -0,155847 0,893232-0,174475 0,8618 log(cualificados) 1,20617 0,227731 5,29645 0,0000 R-cuadrada = 20,6188 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 19,883
Regresión Múltiple - Resultados Personal Cualificados CONSTANTE -172,906 23,2124-7,44886 0,0000 Personal 1,95793 0,188432 10,3907 0,0000 Cualificados -0,663651 0,516735-1,28432 0,2018 R-cuadrada = 62,6448 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 61,9466 porciento Regresión Múltiple - Resultados Personal Ventas CONSTANTE -142,997 22,4634-6,3658 0,0000 Personal 1,34715 0,15786 8,53381 0,0000 Ventas 0,0825712 0,01833 4,50471 0,0000 R-cuadrada = 68,1158 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 67,5198 porciento Regresión Múltiple - Resultados Cualificados Ventas CONSTANTE -35,2353 22,1424-1,59131 0,1145 Cualificados 1,64469 0,456111 3,6059 0,0005 Ventas 0,150921 0,0193129 7,81455 0,0000 R-cuadrada = 52,2209 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 51,3278 porciento Regresión Múltiple - log(resultados) log(cualificados) log(personal) CONSTANTE -7,98718 1,17808-6,77982 0,0000 log(cualificados) -0,214732 0,247888-0,866244 0,3883 log(personal) 2,63041 0,318046 8,27055 0,0000 R-cuadrada = 51,5753 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 50,6702 porciento Regresión Múltiple - log(resultados) log(personal) log(ventas) CONSTANTE -6,15054 1,07101-5,74275 0,0000 log(personal) 1,66139 0,243969 6,80985 0,0000 log(ventas) 0,383233 0,0675718 5,6715 0,0000 R-cuadrada = 62,5068 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 61,806 porciento Regresión Múltiple - log(resultados) log(cualificados) log(ventas) CONSTANTE -1,55025 0,710923-2,18061 0,0314 log(cualificados) 0,715019 0,185541 3,8537 0,0002 log(ventas) 0,56326 0,0659333 8,54287 0,0000 R-cuadrada = 52,8072 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 51,9251 porciento
Regresión Múltiple - Resultados Personal Cualificados Ventas CONSTANTE -138,203 22,7755-6,06805 0,0000 Personal 1,49823 0,202058 7,41485 0,0000 Cualificados -0,569523 0,476919-1,19417 0,2351 Ventas 0,0816028 0,0183116 4,45635 0,0000 R-cuadrada = 68,539 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 67,6486 porciento Residuos de la regresión con tres variables independientes Regresión Múltiple - log(resultados) log(personal) log(ventas) log(cualificados) CONSTANTE -6,19033 1,09016-5,67839 0,0000 log(personal) 1,70994 0,326154 5,24275 0,0000 log(ventas) 0,381163 0,068491 5,56515 0,0000 log(cualificados) -0,0498746 0,221089-0,225586 0,8220 R-cuadrada = 62,5248 porciento R-cuadrado (ajustado para g.l.) = 61,4642 porciento Residuos de la regresión con tres variables independientes. Gráfico de Residuos Gráfico de Residuos 5 4 Rediduo Estudentizado 3 1-1 -3 Rediduo Estudentizado 2 0-2 -5 0 100 200 300 400 500 600 predicho Resultados -4 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 predicho log(resultados)