FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS Dr. Miguel Angel Morales Cabrera E-mail: miguelmorales.uv@gmail.com CONTENIDO 1. Introducción al álgebra 2. Exponentes y radicales 3. Operaciones con Polinomios (Suma, Resta, Multiplicación, División) 4. Factorización
Para saber de qué estamos hablando Es decir, antes de comenzar cualquier discusión debemos estar de acuerdo en los términos. 1. Introducción al álgebra.
Álgebra. Rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. Qué entendemos por aritmética y por algebra? En aritmética las cantidades se representan por números y ellos expresan valores determinados: 20 expresa un solo valor, veinte En algebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores: a puede representar el valor que nosotros le asignemos. 20, mas de 20 o menos de 20 Notación algebraica Los números se emplean para representar cantidades conocidas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d... Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del abecedario: u, v, w, x, y, z.
Signos en álgebra Signos de operación Las cantidades se verifican con las mismas operaciones que en aritmética: suma (+), resta(-), multiplicación (x), división ( ), elevación a potencias (5 n ), extracción de raíces ( ), logarítmos. Signos de relación Se emplean para indicar la relación entre dos cantidades: =,<,>,etc. Signos de Agrupación Indican que la operación colocada entre ellos debe ser prioritaria: paréntesis ordinario ( ), corchete [ ], llaves { } Coeficiente e Es el producto de dos factores, cualquiera de los dos factores es llamado coeficiente del otro factor. Coeficiente numérico: 3a = a + a + a Coeficiente literal: ab = b + b + b + b + b + b + (a veces b) Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad, c equivale a 1c. Valor absoluto y relativo El valor absoluto de una cantidad es el número que representa la cantidad, sin tomar en cuenta el signo o sentido. El valor relativo, eselsentido de la cantidad, representado por el signo. Las cantidades + 7ºC y -7ºC, tienen el mismo valor absoluto pero su valor relativo es opuesto. El primero expresa grados sobre cero y el segundo bajo cero.
Nomenclatura algebraica Expresión algebraica. Representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. Ejemplos: a, 5x, (4a) 1/2, (a +b)c, (5x 3y)a / x 1/2 Término. Expresión algebraica que consta de un solo símbolo o devarios símbolos no separados entre si por el signo + ó. Ejemplos: a, 3b, 2xy Grado de un término. Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales. El grado de un término con relación a una letra es el exponente de dicha letra. Clasificación de las expresiones algebraicas Monomio. Expresión algebraica que consta de un solo término. Ejemplos: 3a, -5b, x 2 y / 4 Polinomio. Expresión algebraica que consta de más de un término. a) Binomio a+b,x-y b) Trinomio a+x y, x 3 +2x 2 +x 7 Grado de un polinomio. Puede ser de dos clases: absoluto y con relación a una letra. El grado absoluto es el grado de su término de mayor grado. Ejemplo: x 3 + 2x 2 + x 7 (Grado absoluto: tercero) El grado de un término con relación es el mayor exponente de dicha letra en el polinomio. Ejemplo: a 6 +a 4 x 2 +a 4 x 2 (Es de sexto grado con respecto a la a yde cuarto grado con respecto a x)
Término semejantes eja Cuando tienen la misma parte literal, es decir, cuando tienen iguales letras afectadas de iguales exponentes. Ejemplos: 2a y a, -2b y 8b, 5a 2 b 2 y -8a 2 b 2 4ab y -6a 2 b no son términos semejantes! Reducción de términos semejantes Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más términos semejantes. CASOS: 1. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo.
2. Reducción de dos términos semejantes de distinto signo. 3. Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos. Valor numérico de expresiones Es el resultado que se obtiene al sustituir las letras por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. Ejemplos:
Formulas Es la expresión de una ley o un principio general por medio de símbolos o letras. Uso y ventajas de las fórmulas algebraicas Las formulas algebraicas son usadas en las ciencias como la geometría, física, mecánica porque: - Expresan una ley o un principio general brevemente - Son fáciles de recordar - Su aplicación es muy fácil, basta sustituir las letras por sus valores en el caso dado. - Porque una formula nos dice la relación que hay entre las variables que en ella intervienen. En geometría Área de un rectángulo a b Área = altura x base A = a x b
En física distancia = velocidad x tiempo d=vt En. Concentración = no. moles / Volumen C = n / V Además, El álgebra no sólo trata de constantes, literales, operaciones y ecuaciones. También es: UN MÉTODO PARA RESOLVER PROBLEMAS!!!
En qué consiste este método? Partimos de un problema, puesto que si no hay problemas, nada tenemos que hacer! y sabemos que la solución es un número, todavía no lo conocemos, pero es un número. El problema nos da las condiciones que debe satisfacer este número en general, ecuaciones. Al resolverlas conoceremos la solución. Problema Queremos demostrarle a un amigo que podemos adivinar un número que está pensando. Para hacerlo le vamos a pedir que haga algunas operaciones: que lo duplique, que le sume 6, que vuelva a sumarle el número, que lo divida entre 3. Si el resultado es 5
Llamese x al número que se desea adivinar Lenguaje común duplicarlo sumarle 6 volver a sumar el número dividirlo entre 3 Como el resultado es 5 El número que pensó mi amigo es 3 Lenguaje algebráico 2x 2x+6 2x+6+x = 3x+6 x+2 5=x+2 x = 3 De lo anterior se deduce que será fundamental que puedas ser capaz de expresar simbólicamente determinadas relaciones y que también adquieras la destreza suficiente en la manipulación" de dichas expresiones algebraicas
Cálculo de un separador flash Caso. S = 2 Taller de ejercicios
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