º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 Objetivo.- Usar las reglas de equivalencia para despejar variables en fórmulas Reglas de equivalencia. Para despejar una letra en una ecuación o fórmula se usan principalmente dos reglas: ) Transposición de términos: Se pasan los términos de un miembro a otro cambiándoles de signo. s: a) Solución: b) 9 9 Solución: a) ) Despeje de la incógnita: La letra se despeja teniendo en cuenta que lo que multiplica a la letra pasa dividiendo al otro miembro de la igualdad y lo que divide pasa multiplicando. s:. b) Solución: Solución: c) PV nrt, despejar T. Como nr está multiplicando, pasa dividiendo V V P P d) PV PV T, luego T nr nr, despejar V. Por la propiedad de las fracciones equivalentes, PV P V ; despejando, V e) a P V P v v, despejar t. Como t está dividiendo, pasa multiplicando at v ; despejando, t t a También podemos usar las dos reglas en la misma fórmula o ecuación s: a) y z t, despejar y. El término y lo pasamos al º miembro y el al er miembro: z t y z t y Ahora despejamos y pasando el dividiendo: z t z t y ; luego y b) ( y) (y z) 0, despejar y Usamos la propiedad distributiva y reducimos términos: y y z 0 y z 0 Pasamos los términos, z al º miembro: y z c) e vt at despejar a. pasamos, t al er miembro: Pasamos vt al er miembro: e vt at ; e vt t a ; luego a e vt t d) A π R (R g), despejar g Usamos la propiedad distributiva: A π R π Rg ; pasamos π R al er miembro: A π R π Rg Pasamos π R al er miembro: A πr A πr g ; luego g πr πr Despeja la letra que se indica en cada fórmula o ecuación: a) C V A, despeja V e) V V, despeja T T T i) v d, despeja d y t t l) Cf C0 ( i), despeja i f) b) F m a, despeja a a c, despeja d b d c) A g) M a b c, despeja a 0 j) M NP, despeja P m) S 80(n ), despeja n -- bh, despeja h d) I Crt, despeja C 00 h) v v0 at, despeja a k) y ( ) z 0, despeja n) v v0 ( t), despeja t
º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 Objetivo.- Resolver ecuaciones de primer grado (con paréntesis y denominadores) Concepto de ecuación. Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números, letras y operaciones entre ellos. Las letras se llaman incógnitas. Por ejemplo,, 0, y son ecuaciones. Resolver una ecuación es averiguar lo que tiene que valer la incógnita para que se cumpla la igualdad. Las ecuaciones que son ciertas para cualquier valor de la incógnita se llaman identidades. Por ejemplo, es una identidad pues se cumple para todos los valores de la. Ecuaciones de primer grado o lineales. Son ecuaciones en las que la incógnita está elevada a. Por ejemplo, es una ecuación de primer grado. Para resolver ecuaciones de primer grado efectuamos los paréntesis y denominadores, si los hubiera. Después reducimos los términos semejantes y traspasamos los términos de a un miembro y los números al otro. Por último, despejamos la incógnita. Si al resolver la ecuación se llega a una identidad, por ejemplo 0 0, entonces hay infinitas soluciones. Si se llegara a una contradicción, por ejemplo 0, entonces la ecuación no tiene solución s: a) 0 8 8 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 8 8 8. Primero se efectúan los paréntesis: 8 ) ( ) ( ) ( c). Se calcula el MCM de los denominadores, MCM(,,8) 8... 9 Se multiplican todos los términos por dicho MCM, o sea por. Se efectúan las divisiones de entre cada denominador; así se llega a una ecuación del tipo del b) ( ) 9 ( ) ( ) Se resuelve la ecuación igual que se hizo en el ejemplo b) 9 8 9 0 8 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9 0 0 8 8 b) d) ( ) ( ) ( ) f) e) g) -- c) ( ) ( ) ( ) ( -) ( ) ( ) 8
º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 Objetivo.- Resolver ecuaciones de º grado completas e incompletas. Concepto de ecuación de º grado. Son ecuaciones en las que la incógnita está elevada a. Estas se pueden escribir de la forma a b c 0, con a 0 y pueden ser completas (si aparecen todos sus términos) o incompletas (si falta algún término, el de la, el término independiente o ambos). s: 0 es completa, 0, 90, 0 son incompletas. c a a b ± b Ecuaciones de º grado completas a b c 0. Para resolverlas usamos la fórmula Para resolver una ecuación de º grado completa es conveniente seguir los siguientes pasos: º) Pasar todos los términos a un solo miembro ordenándolos de mayor a menor grado hasta tener la ecuación de la forma a b c 0 º) Sustituir en la fórmula y obtener las soluciones. En algunos casos puede ocurrir que: - Nos quede 0. Entonces hay una única solución (doble) - Nos quede la raíz cuadrada de un número negativo. Entonces la ecuación no tiene solución 0, a, b, c..() 9. Las soluciones son 8, Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9 b) 0 0 0 c) 00 000 00 0 d) 0 Ecuaciones de º grado sin término de : a c 0 Para resolverlas es conveniente seguir los siguientes pasos: º) Despejamos º) Hallamos la raíz cuadrada tomando los dos valores de la raíz (el positivo y el negativo). En algunos casos puede ocurrir que: - Nos quede 0. Entonces la solución es 0 - Nos quede la raíz cuadrada de un número negativo. Entonces la ecuación no tiene solución 0 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9 0 -- b) 9 0 c) 0 d) 0
º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ecuaciones de º grado sin término independiente: a b 0 Para resolverlas es conveniente seguir los siguientes pasos: º) Pasar todos los términos a un solo miembro hasta tener la ecuación de la forma a b 0 º) Sacar factor común. Nos quedaría (a b) 0 º) Igualar a cero cada factor. Nos quedaría 0, a b 0 º) Despejar Observa que estas ecuaciones siempre tienen soluciones y una de ellas es 0 0 d) 0 0 ( ) 0 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 0 0 b) c) 9 0 d) 0 e) 0 Objetivo.- Resolver ecuaciones reducibles a primer o º grado mediante operaciones combinadas de suma, resta y producto. Para resolver ecuaciones con operaciones combinadas, se realizan las operaciones y luego se resuelve la ecuación. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( ) ( ) 8 b) ( )( ) d) ( )( ) ( ) c) ( )( ) e) ( )( ) ( ) 0 ( )( ) Objetivo.- Usar los métodos de sustitución y reducción para resolver sistemas de ecuaciones. Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella que se puede escribir de la forma a by c. Por ejemplo, y es una ecuación lineal con dos incógnitas. Una solución de la ecuación es una pareja de valores, uno para la y otro para la y, que cumpla la ecuación. y y 9 Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales. : Una solución de un sistema es una pareja de valores, uno para la y otro para la y, que cumple las dos ecuaciones a la vez. Si al resolver el sistema se llega a una identidad, por ejemplo 0 0, entonces hay infinitas soluciones. Si se llegara a una contradicción, por ejemplo 0, entonces el sistema no tiene solución Los métodos más usados para resolver sistemas son el método de sustitución y el de reducción. Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. De esta forma se llega a una ecuación con una incógnita. 8 y 0 y 0 y ; sustituimos: ( y) y 8 y y 8 y 8 y y y 8 y ; Hallamos : -- ( )
º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 y 0 y Resuelve por sustitución los siguientes sistemas: a) y 0 y b) y y c) Método de reducción: Consiste en buscar otro sistema equivalente en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos. Después se suman las ecuaciones, llegándose así a una ecuación con una incógnita. y 8 ( y 8). y ; sumamos las ecuaciones: 8 y ( y ). y Sustituimos, por ejemplo en la ª ecuación:. y y y 8 Resuelve por el método de reducción: y y a) y y 0 y 8 y b) y c) y y 0 d) 9y 0 y 8 e) y (y ) 8 (y ) 9y (y ) ( ) (y ) 0 f) g) A veces, se usa también el método de igualación que consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar las epresiones obtenidas. Objetivo.- Plantear y resolver problemas con ecuaciones de primer y º grado o sistemas de ecuaciones lineales. Para resolver un problema usando ecuaciones o sistemas es aconsejable seguir los siguientes pasos: º) Lee el enunciado del problema hasta comprenderlo º) Elige la(s) incógnita(s) y escribe los datos del enunciado del problema º) Encuentra la ecuación o sistema que relaciona los datos y la(s) incógnita(s) º) Resuelve la ecuación o sistema º) Comprueba que la solución de la ecuación o sistema es solución del problema s a) Alejandra tiene años más que su hija Carmen. Dentro de 8 años, la edad de Alejandra doblará a la de Carmen. Cuántos años tiene cada una? Dentro de 8 años Alejandra: Alejandra: Carmen: Carmen: 8 Dentro de 8 años ( 8) 9. Carmen tiene 9 años y Alejandra años --
º ESO REFUERZO DE MATEMÁTICAS UNIDAD.- ECUACIONES Y SISTEMAS CURSO 0/0 b) Dos pueblos A y B distan km. Juan sale caminando de A hacia B a una velocidad de km/h. Al mismo tiempo Roberto sale de B hacia A a km/h. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse y la distancia a cada pueblo. t t 9t t. Tardan h en encontrarse. Distancia al pueblo A:. km ; Distancia al pueblo B:. 0 km c) En una papelería una persona compra libretas y rotuladores por un total de. Otra persona compra libretas y rotuladores por. Cuánto cuesta cada libreta y cada rotulador? precio de una libreta, y precio de un rotulador y y y y ( y ).() 0y Sumando las ecuaciones: y y Sustituyendo y en la primera ecuación:. La libreta vale y el rotulador ES 9 Resuelve los siguientes problemas usando ecuaciones: a) Halla dos números pares consecutivos cuya suma sea 0. b) La mitad menos la tercera parte de mi peso es 0 kg menos de lo que suman la quinta y la décima parte de mi peso. Cuánto peso? c) Un agricultor vende de su cosecha de vino; después embotella los de lo restante. Le quedan 000 litros. Cuántos litros de vino había cosechado? d) Pedro tiene 0 años menos que Juan. Dentro de años la edad de Juan será el doble de la de Pedro. Halla las edades actuales. e) Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace años tenía el doble de edad que él. Cuántos años tiene actualmente cada uno? f) Un camión sale de Granada a Madrid a una velocidad de km/h. A la misma hora sale de Madrid a Granada un coche a una velocidad media de 00 km/h. Si la distancia entre Madrid y Granada es de 0 km, calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia del punto de encuentro a cada una de las ciudades. (Suponemos que la velocidad fuese siempre la misma). g) Calcula el área de un rectángulo de cm de perímetro sabiendo que el largo es el triple del ancho. h) El perímetro de un jardín rectangular es de 8 m. Si el lado mayor mide 0 m más que el lado menor. Cuánto miden los lados del jardín? 0 Resuelve los siguientes problemas usando sistemas de ecuaciones: a) En una bolsa hay monedas con un valor de,0. Las monedas son de 0 y de 0 céntimos. Halla el número de monedas de cada tipo. b) Halla la edad de un padre y la de su hijo, sabiendo que se llevan años y que la edad del padre menos el triple de la del hijo es igual a años. c) En un colegio, entre chicos y chicas, hay 00 alumnos. Asisten a una ecursión alumnos. Se sabe que a la ecursión han ido el 0% de los chicos del colegio y el 0% de las chicas. Cuántos chicos y cuántas chicas hay en el colegio? d) En un eamen tipo test, que constaba de 0 preguntas. Cada pregunta acertada se valoró con puntos, pero cada fallo o respuesta en blanco restaba, puntos. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Luisa fue de 9 puntos, cuántas preguntas acertó? e) Un comerciante mezcla aceite de tipo A que vale /litro con otro aceite de tipo B que vale,0 /litro para conseguir 00 litros de aceite que vale,8 /litro. Cuántos litros de aceite ha mezclado de cada tipo? --