Captulo 2. Probabilidad

Captulo 2. Probabilidad 13th October 2011 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 1 / 66

Tipos de Experimentos Podemos distinguir dos tipos de experimentos 1 deteministas: el resultado puede predecirse 2 aleatorios: no podemos predecir con certeza el resultado El conjunto de los posibles resultados de un experimente aleatorio es el espacio muestral asociado a dicho experimento. Ejemplo Si consideramos el experimento de lanzar un dado, el espacio muestral sera = f1; 2; 3; 4; 5; 6g (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 2 / 66

Sucesos Ante un experimento aleatorio, la mayora de las veces interesa conocer si el resultado nal esta en un determinado subconjunto de. Estos subconjuntos son los sucesos. Los sucesos con solo un elemento se llaman sucesos elementales Ejemplo Al tirar un dado, sacar par es el suceso f2; 4; 6g, sacar menos que 3 es el suceso f1; 2g, sacar un 4 es el suceso f4g. Interesara hablar de probabilidades de sucesos. Como los sucesos son subconjuntos, tienen sentido la union, la interseccion, el complementario, etc. de sucesos. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 3 / 66

Operaciones con sucesos Union: la union de los sucesos A y B se representa por A [ B y sus elementos son los elementos de que estan en A, en B o en ambos. Interseccion: la interseccion de los sucesos A y B se representa por A \ B y esta formada por aquellos elementos que estan en A y en B. Complementario: el complementario del suceso A (respecto de ) se representa por A c, y sus elementos son todos los de menos los que estan en A. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 4 / 66

Ejemplos de operaciones con sucesos 1 A = fa; b; c; dg y B = fc; a; f ; tg A \ B = fa; cg A [ B = fa; b; c; d; f ; tg 2 Consideramos como experimento medir la altura (cm) de una persona elegida al azar. Supongamos que el resultado es cualquier valor en el intervalo = (0; 300). A = [100; 200]; B = [130; 210] =) A \ B =? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 5 / 66

Familia de sucesos. algebra El conjunto (o familia) A de todos los sucesos asociados a un experimento aleatorio debe cumplir las propiedades de algebra. Denicion Una familia A de subconjuntos de es una algebra si 1 2 A 2 A 2 A ) A c = A 2 A 3 A 1 ; A 2 ; A 3 ; ::: 2 A [ A n 2 A n1 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 6 / 66

Algunas propiedades El suceso vaco, ;, es el suceso que tiene cero elementos: ; = fg. La interseccion de dos sucesos es un suceso. La interseccion de un suceso con su complementario es el suceso vaco. Si la interseccion de dos sucesos es el conjunto vaco, diremos que esos dos sucesos son incompatibles: no pueden ocurrir a la misma vez. Si todos los elementos del suceso A estan en el suceso B, diremos que A esta contenido en B: A B. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 7 / 66

Sucesos: interpretacion de interseccion y union El suceso C = A [ B ocurre si ocurre A, B o ambos Tirar un dado: fparg = f2g [ f4g [ f6g El suceso C = A \ B ocurre si ocurre A y B Tirar un dado: f6g = fparg \ f> 4g (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 8 / 66

Probabilidad Denicion Fijados un conjunto y una algebra A sobre, una funcion P : A! R es una medida de probabilidad si 1 P() = 1 2 P(A) 0 para todo suceso A 2 A 3 Si A 1 ; A 2 ; ::: 2 A, y A i \ A j = ; para i 6= j, entonces P( [ n1 A n ) = X n1 P(A n ) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 9 / 66

Probabilidad Todos diramos que la probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado normal es 1=6. Si el dado esta trucado, esa probabilidad sera otro numero. Ante un fenomero aleatorio resulta relativamente sencillo formular el espacio muestral y la familia de sucesos (la algebra). Asignar una probabilidad a cada suceso no es tan simple. Cuando lo hacemos estamos proponiendo un modelo. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 10 / 66

Modelo o regla de Laplace Si el espacio muestral tiene un numero nito n de elementos (experimento con un numero nito de resultados), el modelo de Laplace establece que todos los n sucesos elementales tienen la misma probabilidad (1=n) y, por tanto, que la probabilidad de un suceso A es igual al numero de elementos que tiene el suceso A, dividido por n. Casos favorables dividido por los casos posibles Ejemplo Lanzamineto de un dado normal. Hay 6 posibilidades = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Segun la regla de Laplace, la probabilidad de salir un numero par es P(f2; 4; 6g) = 3=6 = 1=2 = 0; 5 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 11 / 66

Interpretacion frecuentista de la probabilidad Si repetimos innitas veces un experimento, la probabilidad de un suceso es el lmite de la frecuencia relativa de dicho suceso. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 12 / 66

Propiedades de la probabilidad 1 P(;) = 0 2 P(A) 1 3 P(A c ) = 1 P(A) 4 P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) 5 P(A [ B [ C ) =? 6 Si A y B son incompatibles, entonces P(A [ B) = P(A) + P(B) 7 Si A B, entonces P(A) P(B) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 13 / 66

P(A [ B [ C ) = P(A [ (B [ C )) = P(A) + P(B [ C ) P(A \ (B [ C )) = P(A) + P(B) + P(C ) P(B \ C ) P((A \ B) [ (A \ C )) = P(A) + P(B) + P(C ) P(B \ C ) P(A \ B) P(A \ C ) + P(A \ B \ C ) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 14 / 66

Probabilidad condicionada Denicion Sean A y B dos sucesos con P(B) > 0. Entonces la probabilidad del suceso A condicionada por B es P(AjB) = P(A \ B) P(B) Denicion Diremos que dos sucesos A y B son independientes si P(A \ B) = P(A)P(B). (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 15 / 66

Propiedades de la probabilidad condicional P(AjB) 2 [0; 1] P(A \ B) = P(B)P(AjB) Si A y B son independientes, entonces P(AjB) = P(A). la funcion A! P(AjB) es una medida de probabilidad (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 16 / 66

Interpretacion de probabilidad condicionada La probabilidad P(AjB) es la probabilidad de A, en el supuesto de que ocurra B. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 17 / 66

VIDEO Todas las probabilidades estan condicionadas a que el concursante ha elegido al principio la puerta 1 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 18 / 66 >Donde esta el coche? Un concurso. Tres puertas. Un coche y 2 cabras. El concursante elige una de las puertas al azar, digamos la puerta 1. Tiene a priori una probabilidad de 1=3 de ganar el coche. El presentador, que sabe donde esta el coche, le ense~na una de las otras dos puertas, digamos Y = 2, mostrando, logicamente, una cabra. El presentador le ofrece entonces la posibilidad de cambiar de puerta >Que hacer? Si X es la puerta que esconde el coche, P(X = 1) = 1=3. P(X = 3jY = 2) = P(Y = 2 y X = 3) P(Y = 2) = 1 1=3 z } { z } { P(Y = 2jX = 3) P(X = 3) 1=2 = 2=3

Leyes de Morgan El complementario de la union es la interseccion de los complementarios (A [ B) c = A c \ B c El complementario de la interseccion es la union de los complementarios (A \ B) c = A c [ B c (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 19 / 66

Ejercicio Supongamos que la probabilidad de que una persona elegida al azar presente reaccion alergica a un farmaco es 0:14, mientras que la probabilidad de que al elegir dos personas al azar, ambas presenten reaccion alergica es 0:02. Se pide 1) Probabilidad de que al menos un paciente de dos elegidos al azar presente reaccion cuando se administra el farmaco 2) Probabilidad de que solo un paciente de dos elegidos al azar presente reaccion cuando se administra el farmaco 3) Probabilidad de que ningun paciente de dos elegidos al azar presente reaccion cuando se administra el farmaco (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 20 / 66

Ejercicio Si sabemos que de 300 vacunados, 30 tuvieron reaccion hipertermica, 45 tuvieron vomitos y 10 ambas reacciones 1) Probabilidad de que un vacunado presente al menos una de las dos reacciones 2) Probabilidad de que un vacunado presente solo uno de los dos tipos de reacciones. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 21 / 66

Teorema de la probabilidad compuesta Teorema Sean A 1 ; A 2 ; :::; A n sucesos cualesquiera. Se verica que n 1 P(A 1 \ A 2 \ ::: \ A n ) = P(A 1 )P(A 2 ja 1 )P(A 3 ja 1 \ A 2 ) P(A n j si las probabilidades condionadas que aparecen tienen sentido. Para n = 3: P(A 1 \ A 2 \ A 3 ) = P(A 1 )P(A 2 ja 1 )P(A 3 ja 1 \ A 2 ) \ i=1 A i ) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 22 / 66

Teorema de la probabilidad total Teorema Si los sucesos H 1 ; H 2 ; :::; H n son incompatibles (H i \ H j = ; si i 6= j) y exhaustivos ( S n i=1 H i = ), entonces para cualquier suceso A tenemos que si P(H i ) > 0, i = 1; :::; n. P(A) = nx i=1 P(AjH i )P(H i ); (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 23 / 66

Teorema de Bayes Teorema Si los sucesos H 1 ; H 2 ; :::; H n son incompatibles (H i \ H j = ; si i 6= j) y exhaustivos ( S n i=1 H i = ), entonces para cualquier suceso A con P(A) > 0 tenemos que P(H r ja) = P(AjH r )P(H r ) P n i=1 P(AjH i )P(H i ) si P(H i ) > 0, i = 1; :::; n. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 24 / 66

Ejercicio Un farmaco tiene dos posibles efectos secundarios, E 1 y E 2. Sabemos que de cada 1000 pacientes tratados, 30 sufren el efecto E 1, 40 el efecto E 2 y 10 sufren ambos efectos. Calcular la probabilidad de que un paciente tratado con el farmaco sufra alguno de los efectos secundarios. Solucion A="tener el efecto E 1 "; B="tener el efecto E 2 " P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) = 30 1000 + 40 1000 10 1000 = 60=1000 = 0; 06 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 25 / 66

Continuacion del ejercicio 1 Calcular la probabilidad de que se de solo el efecto E 1 usando que A = (A y B c ) o (A y B). 2 >Son independientes los sucesos A y B? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 26 / 66

Ejercicio Una enfermedad aparece solo si ocurre alguno de dos sntomas: S 1, S 2. Sabemos que el 35% de los pacientes con el sntoma S 1 tambien tienen el S 2, y que el 52% con S 2 tambien sufren S 1. Se pide calcular P(S 1 ) y P(S 2 ) para pacientes con la enfermedad (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 27 / 66

Ejercicio En una epidemia de gripe: en el grupo de edad 0-19, el 2% esta afectado en el grupo de edad 20-39, el 10% esta afectado en el grupo de edad 40-59, el 16% esta afectado en el grupo de edad 60, el 20% esta afectado La distribucion de la edad en la poblacion aparece en la siguiente tabla Edad 0-19 20-39 40-59 60 % 20 31 32 17 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 28 / 66

Se pide 1) Probabilidad de que al seleccionar una persona al azar este afectada 2) Probabilidad de que un efermo con gripe tenga 60 a~nos o mas de edad 3) >Que % de los que padecen gripe estan en el grupo de edad 0-19? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 29 / 66

Ejercicio Por cada mujer que padece una enfermedad, hay 4 hombres que la sufren. De cada 5 mujeres con la enfermedad, 2 presentan un determinado sntoma, mientras que el 50% de los hombres lo padecen. Se pide 1) % de pacientes con la enfermedad que presentan sntomas 2) % de hombres que hay entre los pacientes con sntomas (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 30 / 66

Test diagnostico de una enfermedad Denicion Un test diagnostico de una enfermedad es una prueba diagnostica basada en la alteracion de constantes clnicas, y se usa para detectar dicha enfermedad. Si el test da un resultado +, indica que la enfermedad esta presente segun el test, pero existe el riesgo de un falso diagnostico. T + : el test es positivo T : el test es negativo D: la enfermedad esta presente D c : la enfermedad no esta presente (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 31 / 66

Test diagnostico de una enfermedad Caractersticas de un test diagnostico Sensibilidad=P(T + jd): clasicar bien al enfermo Especicidad=P(T jd c ): clasicar bien al sano Valores predictivos Valor predictivo positivo=p(djt + ): predecir bien al enfermo Valor predictivo negativo=p(d c jt ): predecir bien al sano (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 32 / 66

Ejemplo 2641 pacientes con sospecha de cancer de prostata que acudieron a una consulta de Urologa. Durante su exploracion, se recogio el resultado del tacto rectal (test diagnostico) realizado a cada uno de estos pacientes y se contrasto con el posterior diagnostico obtenido de la biopsia prostatica (diagnostico nal de la enfermedad). T + T D 634 487 D c 269 1251 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 33 / 66

Test diagnostico de una enfermedad Estimacion de la Sensibilidad y la Especicidad A una muestra de n 1 : pacientes sin la enfermedad y n 2: enfermos, se le apliaca el test pacientes RESULTADOS T + T total D n 11 n 12 n 1: D c n 21 n 22 n 2: total n :1 n :2 n La sensibilidad=p(t + jd) estimada es n 11 n 1: La especicidad=p(t jd c ) estimada es n 22 n 2: (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 34 / 66

Test diagnostico de una enfermedad Estimacion del Valor predictivo positivo y del Valor predictivo negativo A una muestra de n :1 pacientes con T + y n :2 con T, se les determina si tienen la enfermedad o estan libres de ella. RESULTADOS T + T total D n 11 n 12 n 1: D c n 21 n 22 n 2: total n :1 n :2 n El P(DjT + ) estimado es n 11 n :1 El P(D c jt ) estimado es n 22 n :2 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 35 / 66

Test diagnostico de una enfermedad Estimacion de la sensibilidad, la especicidad y los valores predictivos A una muestra de n pacientes se observa si tienen o no la enfermedad y se les aplica el test diagnostico. RESULTADOS T + T total D n 11 n 12 n 1: D c n 21 n 22 n 2: total n :1 n :2 n La sensibilidad, especicidad y los valores predictivos pueden ser estimados con las formulas de las trasparencias anteriores. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 36 / 66

Ejercicio Utilizando los datos sobre cancer de prostata T + T D 634 487 D c 269 1251 Estimar la sensibilidad, especicidad, as como los valores predictivo positivo y negativo. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 37 / 66

Relacion entre sensibilidad, especicidad y valores predictivos Aplicando el teorema de Bayes P(DjT + ) = P(T + jd)p(d) P(T + jd)p(d) + P(T + jd c )P(D c ) Ademas P(D c ) = 1 P(D). La probabilidad de estar enfermo P(D) se conoce con el nombre de prevalencia de la enfermedad. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 38 / 66

Relacion entre sensibilidad, especicidad y valores predictivos Aplicando el teorema de Bayes P(D c jt ) = P(T jd c )P(D c ) P(T jd c )P(D c ) + P(T jd)p(d) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 39 / 66

Ejercicio 1 >Que valen los valores predictivos si la prevalencia de la enfermedad es 1? 2 >Que valen los valores predictivos si la prevalencia de la enfermedad es 0? 3 Si la sensibilidad vale 1, >que valor tiene el valor predictivo negativo? 4 Si la especicidad vale 1, >que valor tiene el valor predictivo positivo? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 40 / 66

Variable aleatoria Denicion Una variable aleatoria real asociada a un experimento con espacio muestral y -algebra A, es una aplicacion X :! R vericando que para cualquier valor x 2 R, el conjunto (X x) es un suceso de A. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 41 / 66

Variable aleatoria Para cada resultado (! 2 ) del experimento, tenemos un resultado, observacion o realizacion (X (!)) de la variable X. El suceso (X x) esta formado por los resulados del experimento para los que X resulta ser x. Como (X x) es un suceso, podemos hablar de P(X x). Si los conjuntos de la forma (X x) son sucesos, entonces tambien lo son los del tipo (a < X < b): X esta en el intervalo I = (a; b); y lo mismos si I es un intervalo cerrado o semiabierto. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 42 / 66

Variable aleatoria Ejemplo Tiramos un dado: X es el resultado obtenido. P(X = 5) = 1=6 Tiramos dos dados: X 1 y X 2 son los resultados obtenidos. P(X 1 + X 2 = 7) =? Ejemplo Lanzamos dos monedas independientes. El espacio muestral es = f(c; c); (c; x); (x; c); (x; x)g La probabilidad de obtener dos caras es P(X = 2) siendo X la variable "numero de caras". Esa variable puede tomar los valores 0; 1; 2. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 43 / 66

Dos parametros importantes de las variables aleatorias Media o esperanza de X. Se representa por = E (X ) y puede interpretarse como la media de las realizaciones de X al repetir el experimento muchas veces. Varianza de X. Se representa por 2 = Var(X ) y se interpreta como la varianza de las realizaciones X al repetir el experimento muchas veces. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 44 / 66

Tipos de variables aleatorias Estudiaremos dos tipos de variables aleatorias en funcion de como es el conjunto de valores que puede tomar, es decir, fx (!) :! 2 g. Discretas Binomial B(n; p) Poisson Pois() Continuas: la Normal N(; 2 ) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 45 / 66

Variable aleatoria discreta Denicion Una variable aleatoria X es discreta si toma una cantidad numerable de valores x 1 ; x 2 ; :::. Para denir una variable de este tipo hay que tener especicada la probabilidad de que tome cada uno de los valores que toma: P(X = x i ) = p i. = E (X ) = X x 1 x 2... x n... p 1 p 2... p n... x i p i y Var(X ) = X i1 i1 Los p i deben ser numeros entre 0 y 1, y sumar 1. (x i ) 2 p i (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 46 / 66

Ejemplo de variable aleatoria discreta Ejemplo. Tirar un dado trucado 1 2 3 4 5 6 0; 14 0; 23 0; 09 0; 32 0; 05 0; 17 >E (X ), Var(X )? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 47 / 66

Variable aleatoria binomial B(n; p) Consideremos un experimento y dos posibles resultados: fe ; F g, y sea p = P(E ). Supongamos que el experimento se repite n veces en identicas condiciones y cada uno independiente del otro. Consideramos la variable aleatoria X de nos da el numero de veces que ocurre el resultado E en esas n realizaciones del experimento. Los posibles valores de la variable son X 2 f0; 1; 2; :::; ng y los toma con probabilidad n P(X = x) = p x (1 p) n x ; x = 0; 1; :::; n: x Es por tanto una variable de tipo discreto. Escribiremos X B(n; p) E (X ) = np, Var(X ) = np(1 p) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 48 / 66

Ejemplo Consideremos una enfermedad y supongamos que sabemos que el valor predictivo positivo P(DjT + ) de un test diagnostico es 0:8 A 10 pacientes independientes se les realiza el test diagnostico y han dado positivo para la enfermedad. >Cual es la probabilidad de que haya exactamente 6 de esos 10 con la enfermedad? Dos posibles resultados: D y D c. Suponemos que el estado de un paciente no afecta al de otro. 10 P(B(10; 0:8) = 6) = (0:8) 6 (0:2) 4 = 210 (0:8) 6 (0:2) 4 = 0:08808038 6 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 49 / 66

Simulacion Se ha simulado la enfermedad de 10 pacientes 100000 veces, siendo la probabilidad de la efermedad 0.8 De los 10 pacientes, el porcentaje de veces que 6 estan enfermos ha sido 8.82% (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 50 / 66

Variable aleatoria de Poisson Una variable de Poisson de media > 0, X Pois(), es una variable de tipo discreto con valores X 2 f0; 1; 2; :::g y tal que P(X = x) = e x ; x = 0; 1; 2; ::: x! La media y la varianza de X coinciden es este caso con el parametro = E (X ) = Var(X ) = 2 Se utiliza para contar el numero de veces que ocurre un determinado suceso en un periodo concreto de tiempo o en un determinado espacio. Ejemplo: El numero de muertes por cancer de prostata ocurridas en Espa~na durante el periodo 2000-2004. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 51 / 66

Variable aleatoria continua Denicion Diremos que una variable aleatoria X es de tipo continuo con funcion de densidad f (x) cuando la probabilidad de (X x) se pueda calcular como P(X x) = Z x 1 f (x)dx: La funcion de densidad debe vericar dos condiciones 1 f (x) 0 8x 2 R 2 R R f (x)dx = 1 E (X ) = = R xf (x)dx; Var(X ) = R (x ) 2 f (x)dx = E (X 2 ) 2 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 52 / 66

Variable aleatoria de tipo continuo Usaremos este tipo de variable aleatoria para modelar datos de variables que pueden tomar valores en un conjunto no numerable, por ejemplo, la variable peso que toma valores en un intervalo P(X 80) =? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 53 / 66

Variable aleatoria de tipo continuo Usaremos este tipo de variable aleatoria para modelar datos de variables que pueden tomar valores en un conjunto no numerable, por ejemplo, la variable peso que toma valores en un intervalo P(X 80) =? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 54 / 66

Variable aleatoria de tipo continuo >Probabilidad de que la altura (variable continua) de una persona elegida al azar sea 1.746 metros? CERO >Probabilidad de que la altura (variable continua) de una persona elegida al azar sea 1 metros? CERO >Probabilidad de que la altura (variable continua) de una persona elegida al azar este entre 1.503 y 1.746 metros? Ya no sera CERO (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 55 / 66

Variable aleatoria de tipo continuo (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 56 / 66

Variable aleatoria de tipo continuo (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 57 / 66

Variable aleatoria de tipo continuo (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 58 / 66

Variable aleatoria Normal N(; 2 ) Denicion La variable aleatoria X tiene una distribucion normal de parametros y > 0, X N(; 2 ), si su funcion de densidad es E (X ) = ; Var(X ) = 2 1 (x ) f (x) = p exp 2 2 2 2 2 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 59 / 66

Variable aleatoria normal Para que un conjunto de datos observados puedan ser modelados como realizaciones de una variable aleatoria N(; 2 ), el histograma debe ser unimodal y simetrico. Ademas debe resultar igualmente probable encontrar valores grandes que peque~nos y los datos se localizan en torno a un valor central, la media. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 60 / 66

Variable aleatoria normal Para que un conjunto de datos observados puedan ser modelados como realizaciones de una variable aleatoria N(; 2 ), el histograma debe ser unimodal y simetrico. Ademas debe resultar igualmente probable encontrar valores grandes (> ) que peque~nos (< ) y los datos se localizan en torno a un valor central, la media. (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 61 / 66

La normal tipicada Z N(0; 1) Si X N(; 2 ) entonces Z = X N(0; 1) La funcion de densidad de Z es f (z) =? y la media es? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 62 / 66

Aproximaciones asintoticas a la distribucion normal De la binomial a la normal cuando np > 5 y n(1 p) > 5. B(n; p) N(np; np(1 p)) De la poisson a la normal cuando > 5. Pois() N(; ) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 63 / 66

Izquierda: p = 0; 35 y n = 10 Derecha: p = 0; 35 y n = 30 (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 64 / 66

Correccion por continuidad Aproximar una variable discreta por una continua requiere una correccion. Si X es una binomial o una Poisson P(X = x) = P(x 1=2 < X < x +1=2) P(x 1=2 < N(; 2 ) < x +1=2) P(X < x) P(N(; 2 ) < x 1=2) P(X > x) P(N(; 2 ) > x + 1=2) (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 65 / 66

Correccion por continuidad P(X x) =? P(X x) =? P(a < X < b) =? (Bioestadstica) Universidad de Murcia 13th October 2011 66 / 66