Relación de ejercicios del tema 3

Relación de ejercicios del tema 3 Asignatura: Curvas y Superficies. Grado en Matemáticas. Grupo: 3 0 -B Profesor: Rafael López Camino (Do Carmo, sección 2.2) 1. Demostrar que el cilindro {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 1} es una superficie regular y encontrar parametrizaciones cuyos abiertos coordenados recubran todo el cilindro. 2. Es el conjunto {(x, y, z) R 3 : z = 0, x 2 + y 2 1} una superficie regular? Es el conjunto {(x, y, z) R 3 : z = 0, x 2 + y 2 < 1} una superficie regular? 3. Demostrar que el cono de dos hojas con vértice en el origen, esto es, el conjunto {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 = 0}, no es una superficie regular. 4. Sea f(x, y, z) = z 2. Probar que 0 no es un valor regular de f, pero f 1 ({0}) es una superficie regular. 5. Sea P = {(x, y, z) R 3 : x = y} (un plano) y sea X : U R 2 R 3 dada por X(u, v) = (u + v, u + v, uv), donde U = {(u, v) R 2 : u > v}. Claramente X(U) P. Es X una parametrización de P? 6. Sea f(x, y, z) = (x + y + z + 1) 2. (a) Localizar los puntos críticos y valores críticos de f. (b) Para qué valores de c es el conjunto f(x, y, z) = c una superficie regular? (c) Responder los dos apartados anteriores para la función f(x, y, z) = xyz 2. 7. Sea X = X(u, v) una parametrización de una superficie regular. Verificar que dx q : R 2 R 3 es biyectiva si y sólo si X u X v 0. 1

8. Sea V un conjunto abierto de R 2. Demostrar que el conjunto es una superficie regular. {(x, y, z) R 3 : z = 0, (x, y) V } 9. Demostrar que el conjunto S = {(x, y, z) R 3 : z = x 2 y 2 } es una superficie regular y probar que las siguientes aplicaciones son parametrizaciones de S: (a) X(u, v) = (u + v, u v, 4uv), (u, v) R 2. (b) X(u, v) = (u cosh(v), u sinh(v), u 2 ), (u, v) R 2, u 0. Qué partes de S recubren estas parametrizaciones? 10. Demostrar que X : U R 2 R 3 dada por X(u, v) = (a sin(u) cos(v), b sin(u) sin(v), c cos(u)), a, b, c 0, donde 0 < u < π, 0 < v < 2π, es una parametrización del elipsoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1. Describir geométricamente las curvas u = cte. en el elipsoide. 11. Encontrar una parametrización para el hiperboloide de dos hojas {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 = 1}. 12. Una semirrecta [0, ) es perpendicular a una recta E y rota respecto de E desde una posición inicial mientras que su origen 0 se mueve a lo largo de E. El movimiento es tal que cuando [0, ) ha rotado un ángulo θ, el origen está a una distancia d = sin 2 (θ/2) de su posición inicial en E. Verificar que quitando la recta W de la imagen de la recta que gira, obtenemos una superficie regular. si el movimiento fuera tal que d = sin(θ/2), qué sería necesario excluir para tener una superficie regular? 13. Dos puntos p(t) y q(t) se mueven a la misma velocidad, p empezando en (0, 0, 0) y moviéndose a lo largo del eje z y q empezando en (a, 0, 0), a 0, y moviéndose paralelamente al eje y. Demostrar que la recta que pasa por p(t) y q(t) describe un conjunto en R 3 dado por y(x a) + zx = 0. Es una superficie regular? 2

14. Una manera de definir un sistema de coordenadas en la esfera S 2 = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1} es considerar la proyección estereográfica π : S 2 {N} R 2 que lleva un punto p = (x, y, z) de la esfera S 2 menos el polo norte N = (0, 0, 1) en la intersección del plano xy con la recta que une N con p. Sea π(x, y, z) = (u, v), donde (x, y, z) S 2 {N} y (u, v) xy-plano. (a) Demostrar que π 1 : R 2 S 2 está dada por ( π 1 (u, v) = 2u 1 + u 2 + v, 2v 2 1 + u 2 + v, 1 + u2 + v 2 2 1 + u 2 + v 2 (b) Demostrar que es posible, usando la proyección estereográfica, recubrir la esfera con dos entornos coordenados. 15. Definir una curva regular en analogía con una superficie regular. Probar que: (a) La imagen inversa de un valor regular de un función diferenciable f : U R 2 R es una curva plana regular. Dar un ejemplo de una de estas curvas que no sea conexa. (b) La imagen inversa de un valor regular de una aplicación diferenciable F : U R 3 R 2 es una curva regular en R 3. Demostrar la relación entre este resultado y la manera clásica de definir una curva de R 3 como la intersección de dos superficies. (Do Carmo, sección 2.3) 1. Sea S 2 la esfera unidad y A : S 2 S 2 la aplicación antípoda A(x, y, z) = ( x, y, z). Probar que A es un difeomorfismo. 2. Sea S R 3 una superficie regular y π : S R 2 la aplicación π(x, y, z) = (x, y). Es diferenciable π? 3. Demostrar que el paraboloide z = x 2 + y 2 es difeomorfo al plano. 4. Construir un difeomorfismo entre la esfera S 2 y el elipsoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 b 2 = 1. ). 3

5. Sea S una superficie regular y d : S R dada por d(p) = p p 0, donde p 0 S es un punto fijo. Probar que d es diferenciable. 6. Sea H = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 2 = 1}. Se define F : S 2 {N, S} H del siguiente modo: para cada todo punto p S 2 {N, S}, sea la recta perpendicular desde p al eje z intersecando a éste en q. Sea l la semirrecta que empieza en q y contiene a p. entonces F (p) = l H. Probar que F es diferenciable. 7. Probar que las rotaciones de una superficie de revolución S sobre su eje son difeomorfismos de S. 8. Sea C la traza de una curva regular α : (a, b) R 3 que no pasa por el origen O. Sea Σ el conjunto generado por el desplazamiento de una recta l pasando por cada punto p C y el punto O. (a) Encontrar una superficie parametrizada X cuya traza sea Σ. (b) Encontrar los puntos donde X no es regular. (c) Qué debería quitarse de Σ para que el conjunto resultante sea una superficie regular? 9. Sea A S un subconjunto de una superficie regular. Probar que A es una superficie regular si y sólo si A es un abierto de S. 10. Identificamos R 2 = {(x, y, z) R 3 : z = 1} con el plano complejo C como (x, y, 1) x + iy = ξ C. Sea P : C C un polinomio complejo P (ξ) = a 0 ξ n + a 1 ξ n 1 +... + a n, a 0 0, a i C, 1 i n. Denotamos por π : S 2 {N} R la proyección estereográfica. Probar que la aplicación F : S 2 S 2 dada por { π F (p) = 1 P π(p) p S 2 {N} N p = N es diferenciable. (Do Carmo, sección 2.4) 4

1. Demostrar que la ecuación del plano tangente en (x 0, y 0, z 0 ) de una superficie regular dada por f(x, y, z) = 0 donde 0 es una valor regular de f, es f x (x 0, y 0, z 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0, z 0 )(y y 0 ) + f z (x 0, y 0, z 0 )(z z 0 ) = 0. 2. Hallar los planos tangentes de S 2 en los puntos (x, y, 0) y demostrar que todos ellos son paralelos al eje z. 3. Demostrar que la ecuación del plano tangente de una superficie que está dado por el grafo de z = f(x, y) en el punto p 0 = (x 0, y 0 ) está dado por z = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ). Demostrar que el plano tangente es el grafo de la diferencial df p, donde f : R 2 R. 4. Demostrar que todos los planos tangentes de una superficie dada por z = xf(y/x), x 0, donde f es una función diferenciable, pasan por el origen (0, 0, 0). 5. Si un entorno coordenado de una superficie regular puede parametrizarse de la forma X(u, v) = α(u) + β(v), donde α, β son curvas regulares, demostrar que los planos tangentes a lo largo de una curva coordenada son todos paralelos a una recta. 6. Sea α : I R 3 una curva regular con κ 0. Considerar la superficie tangente X(t, v) = α(t) + vα (t), t I, v 0. Demostrar que los planos tangentes a lo largo de las curvas coordenadas t = cte. son iguales. 7. Sea f : S R la función f(p) = p p 0 2, donde p 0 R 3 es un punto fijo. Demostrar que df p (v) = 2 v, p p 0, v T p S. 8. Probar que si f : R 3 R 3 es una aplicación lineal y S es una superficie regular invariante por S, es decir, f(s) S, entonces la restricción f S es una aplicación diferenciable y df p (v) = f(v), p S, v T p S. 5

9. Demostrar que la superficie parametrizada X(u, v) = (v cos(u), v sin(u), au), a 0, es regular. Hallar el vector normal N(u, v) y demostrar que a lo largo de la curva coordenada u = u 0 el plano tangente de X rota sobre esta recta de forma que la tangente de su ángulo con el eje z es proporcional a la distancia v (= x 2 + y 2 ) del punto X(u 0, v) al eje z. 10. (Superficies tubulares) Sea α : I R 3 una curva p.p.a. con κ 0. Sea la superficie parametrizada X(s, v) = α(s) + r(cos(v)n(s) + sin(v)b(s)) donde r = cte. 0, s I y N(s) y B(s) es el vector normal y binormal de la curva α. Demostrar que cuando X e regular, su vector normal en X(s, v) es (cos(v)n(s) + sin(v)b(s)). 11. Demostrar que los vectores normales a la superficie parametrizada contienen al eje z. X(u, v) = (f(u) cos(v), f(u) sin(v), g(u), f(u) 0, g 0, 12. Demostrar que cada una de las ecuaciones (a, b, c 0) x 2 + y 2 + z 2 = ax, x 2 + y 2 + z 2 = by, x 2 + y 2 + z 2 = cz define una superficie regular y que todas ellas se intersecan perpendicularmente. 13. Un punto crítico de una función diferenciable f : S R definida sobre una superficie S es un punto p S tal que df p = 0. (a) Sea f : S R dada por f(p) = p p 0, p S, p S. Probar que p es un punto crítico de f si y sólo si la recta que une p con p 0 es perpendicular a S en p. 6

(b) Sea h : S R dada por h(p) = p, a, donde a R 3, a = 1. Demostrar que p es un punto crítico si y sólo si a es perpendicular a S en p. 14. Sea Q la unión de los tres planos coordenados de R 3. Sea p = (x, y, z) R 3 Q. (a) Demostrar que la ecuación en t, f(t) := x2 a t + y2 b t + tiene tres raíces reales distintas: t 1, t 2, t 3. z2 c t = 1, a > b > c > 0 (b) Demostrar que para cada p R 3 Q, los conjuntos f(t 1 ) = 1, f(t 2 ) = 1 y f(t 3 ) = 1 son superficies regulares que pasan por p y son dos a dos perpendiculares. 15. Demostrar que si todos las rectas normales a una superficie conexa pasan por un punto fijo, la superficie está contenida en una esfera. 16. Sea S una superficie, p S y v T p S. Sean X = X(s, t), Y = Y ( s, t) dos parametrizaciones alrededor de p. Supongamos que v = a 1 X s + a 2 X t = b 1 Y s + b 2 Y t la expresión de v en coordenadas respecto de las bases correspondientes del plano tangente. Demostrar que s b 1 = a 1 s + a s 2 t t b 2 = a 1 s + a t 2 t, donde s = s(s, t) y t = t(s, t) son las expresiones del cambio de coordenadas. 17. Dos superficies S 1 y S 2 se intersecan transversalmente si para cada p S 1 S 2, T p S 1 T p S 2. Probar que en tal caso, S 1 S 2 es una curva regular. 18. Probar que si una superficie S interseca a un plano en un único punto, entonces este plano coincide con el plano tangente de S en p. 19. Sea S una superficie y P un plano. Si todos los puntos de S se encuentran en el mismo lado de P, probar que P es tangente a S en todos los puntos de P S. 7

20. Demostrar que las proyecciones ortogonales de centro (0, 0, 0) del elipsoide x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 en sus planos tangentes forma un superficie regular dada por {(x, y, z) R 3 : (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 = a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 } {(0, 0, 0)}. 21. Probar que si todas las rectas normales a una superficie conexa S intersecan a una recta dada, entonces S es una superficie de revolución. 22. Probar que si dos curvas regulares C 1 y C 2 de una superficie S son tangentes en un punto p S y si ϕ : S S es un difeomorfismo, entonces ϕ(c 1 ) y ϕ(c 2 ) son curvas regulares y tangentes en ϕ(p). 23. Demostrar que si p es un punto de una superficie S, entonces es posible un cambio de coordenadas (x, y, z) en un entorno de p tal que S es de la forma z = (x, y), f(0, 0) = 0, f x (0, 0) = 0, f y (0, 0) = 0. 24. (a) Definir un valor regular de una función diferenciable f : S R. (b) Probar que la imagen inversa de un valor regular de una función diferenciable en una superficie S es una curva regular en S. (Do Carmo, sección 2.5) 1. Hallar la primera forma fundamental de las siguientes superficies parametrizadas: (a) X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u); elipsoide. (b) X(u, v) = (au cos v, bu sin v, u 2 ); paraboloide elíptico. (c) X(u, v) = (au cosh v, bu sinh v, u 2 ); paraboloide hiperbólico. (d) X(u, v) = (a sinh u cos v, b sinh u sin v, c cosh u); hiperboloide de dos hojas. 2. Obtener la primera forma fundamental de la esfera con las parametrizaciones de las proyecciones estereográficas. 8

3. Dada la superficie parametrizada X(u, v) = (u cos v, u sin v, log cos v + u), π 2 < v < π 2, demostrar que dos curvas u = u 1 y u = u 2 determinan segmentos de igual longitud en todas las curvas v = cte. 4. Demostrar que X(u, v) = (u sin α cos v, u sin α sin v, u cos α), u > 0, 0 < v < 2π, α = cte, es una parametrización de un cono de abertura 2α. Probar que la curva v X(c exp(v sin α cot β), v), c = cte, β = cte, interseca los generadores del cono (v = cte.) en un ángulo constante β. 5. Demostrar que una superficie de revolución siempre se puede parametrizar par que E = E(v), F = 0 y G = 1. 6. Sea P = {(x, y, z) R 3 : z = 0} el plano xy y sea X : U P la parametrización X(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0), donde U = {(ρ, θ) R 2 : ρ > 0, 0 < θ < 2π}. Hallar los coeficientes de la primera forma fundamental de P con esta parametrización. 7. Sea C una curva regular en el plano xz que no corta al eje z. Consideramos una hélice circular de eje z. Movemos C mediante un movimiento helicoidal de eje z. A la superficie resultante se le llama helicoide generalizado de eje z y C como generador. Obsérvese que si C es una recta perpendicular al eje z, la superficie es una helicoide. (a) Probar que si (f(s), g(s)) es una parametrización p.p.a. de C, s (a, b), f(s) > 0, entonces X(s, u) = (f(s) cos u, f(s) sin u, g(s) + cu), c = cte., U = (a, b) (0, 2π), es una parametrización de S y probar que S es una superficie. 9

(b) Probar que las curvas coordenadas son ortogonales si y sólo si X(U) es una superficie de revolución o un abierto del helicoide. 8. El gradiente de una función diferenciable f : S R es una aplicación f : S R 3 tal que f(p) T p S con la propiedad de que Probar que (a) El gradiente está bien definido. f(p), v = df p (v), v T p S. (b) Si X : U S es una parametrización de S, entonces f en X(U) se escribe como f = f ug f v F EG F 2 X u + f ve f u G EG F 2 X v. En particular, f es una aplicación diferenciable. (c) Si S = R 2, entonces f = (f x, f y ). (d) Si p S es fijo, entonces la aplicación {v T p S : v = 1} R, v df p (v) tiene un máximo en v si y sólo si v = f(p)/ f(p). Por tanto, f(p) indica la dirección de máxima variación de f en p. (e) Si f(p) 0 en todos los puntos de la curva de nivel C = {q A : f(q) = cte.}, entonces C es una curva regular de S y f es perpendicular a C en todos sus puntos. (Do Carmo, sección 2.6) 1. Sea una superficie S recubierta por dos entornos coordenados V 1 y V 2. Supongamos que V 1 V 2 tiene dos componentes conexas W 1 y W 2 y que el jacobiano del cambio de coordenadas es positivo en W 1 y negativo en W 2. Probar que S no es orientable. 2. Si S 2 es una superficie orientable y ϕ : S 1 S 2 es un difeomorfismo local, entonces S 1 es orientable. 10

(Montiel-Ros; sección 2.2) 1. Demostrar que una superficie compacta o una curva simple compacta sólo pueden tener un número finito de componentes conexas. (Montiel-Ros; sección 2.5) 1. Si X : U S es una parametrización de una superficie, probar que X : U X(U) es un difeomorfismo. 2. Sean O 1, O 2 R 3 dos abiertos y φ : O 1 O 2 un difeomorfismo. Si S O 1 es una superficie, probar que S 1 es difeomorfa a φ(s 1 ). 3. Probar que los siguientes pares de superficies son difeomorfas: un plano y un paraboloide elíptico; un hiperboloide reglado y un cilindro elíptico. (Montiel-Ros; sección 2.5) 1. Sea S = {p R 3 : p 2 p, a 2 = r 2 } con a = 1 y r > 0, un cilindro circular recto de radio r y cuyo eje es la recta que pasa por el origen en la dirección de a. Demostrar que T p S = {v R 3 : p, v p, a a, v = 0}. Concluir que todas las rectas normales a S cortan ortogonalmente a su eje. (Montiel-Ros; sección 2.6) 1. Sea φ : S 1 S 2 un difeomorfismo entre dos superficies y p S 1. Demostrar que (dφ) p : T p S 1 T φ(p) S 2 es un isomorfismo y que (dφ p ) 1 = (dφ 1 ) φ(p). (Montiel-Ros; relación de ejercicios 2.7) 1. Probar que el interior de una superficie como subconjunto de R 3 es vacío. 2. Poner un ejemplo de una superficie que no sea un cerrado de R 3. 3. Sea una superficie compacta S y f : S R una función diferenciable con tres puntos críticos a lo sumo. Demostrar que S es conexa. 4. Sea S una superficie compacta y f : S R una función diferenciable. Estimar el número de componentes conexas de S en función del número de puntos críticos de f. 11

5. Sean S 1 y S 2 dos superficies compactas que no se cortan. Demostrar que existe una recta que corta perpendicularmente en al menos en un punto de S 1 y en al menos en un punto de S 2. 6. Sea S = {(x, y, z) R 3 : e x2 + e y2 + e z2 = a} con a > 3. Demostrar que S es una superficie. Encontrar un difeomorfismo entre S y la esfera S 2. 7. Sea φ : S R 3 una aplicación diferenciable en una superficie tal que (a) (dφ) p : T p S R 3 es inyectiva para todo p S y (b) φ : S φ(s) es un homeomorfismo. Probar que φ(s) es una superficie y que φ : S φ(s) es un difeomorfismo. Si S es compacta, razonar que la segunda condición es equivalente a que φ sea inyectiva. 8. Sea f : S 2 R una función diferenciable positiva. Demostrar que S(f) = {f(p)p : p S 2 } es una superficie compacta y que φ : S 2 S(f) definida por φ(p) = f(p)p es un difeomorfismo. 9. Sea S una superficie compacta. Se dice que S es estrellada respecto del origen 0 si 0 S y no se puede trazar una recta tangente a S que pase por 0. Demostrar que S es estrellada respecto del origen si es una de las superficies S(f) del ejercicio anterior. 10. Sea S una superficie conexa con la propiedad de que cada punto suyo tiene un entorno abierto contenido en un plano o en una esfera. Demostrar que la superficie está contenida en un plano o en una esfera. 11. Sea f : S 1 S 2 una aplicación diferenciable entre dos superficies. Si p S 1 y {e 1, e 2 } es una base ortonormal de T p S, definimos el valor absoluto del jacobiano de f en p por Jac(f)(p) = (df p )(e 1 ) (df p )(e 2 ). (a) Demostrar que la definición anterior es independiente de la base elegida. (b) Probar que Jac(f)(p) 0 si y sólo si (df p ) es un isomorfismo. 12