Semana 3 3 Empecemos! La semana anterior estudiamos el concepto de logaritmo y sus propiedades. Para iniciar esta semana veremos cómo la operación del logaritmo también puede definirse como una función, la cual es posible estudiar como inversa de la función exponencial; además podrás aplicarlas a la resolución de problemas de la vida real, usando su expresión simbólica y la representación gráfica. Intenta hallar el exponente de las siguientes expresiones (ecuaciones exponenciales). Has uso de tus saberes en cuanto a la potencia! Qué sabes de...? Debes recordar la definición de logaritmo y cómo hallar la equivalencia en forma exponencial, además del uso de la ecuación exponencial y logarítmica para obtener imágenes y cómo construir gráficas. El reto es... Recordemos la situación sobre la reproducción de bacterias de la semana anterior, la cual estaba representada por la ecuación N (t) =2 t, que indica el crecimiento de las bacterias en el transcurrir del tiempo. Teniendo en cuenta esta expresión podemos preguntarnos: es posible determinar una función que nos muestre los tiempos de reproducción si se conoce una cantidad específica de bacterias? y cómo sería la representación gráfica de esta función? 192 La función exponencial N (t) =2 t puede representarse como sigue: de la expresión podemos obtener los valores de N (t), por ejemplo, para t=0, N (0) =2 0 =1; para t=2, N (2) =2 2 =2.2=4. De esta manera encontramos algunos valores de la función, la cual podemos representar en una tabla de valores como la que se muestra en la grafica (figura 7). En esta situación tienen sentido los valores negativos de t (tiempo)?, por qué?
Semana 3 Tabla 3. Algunos valores de la función exponencial dada t N(t) -2 1/4-1 1/2 0 1 1 2 1 4 3 8 4 16 5 32 6 64 N 6 f(x) = 2^x 4 2 t -4-2 2 4 6 Figura 7. Función exponencial número de bacterias Para la construcción del gráfico es importante saber ubicar los puntos que observamos en la tabla de valores. Por ejemplo, el punto (2,4) tiene coordenada t=2 y coordenada en N=4 y lo ubicamos como se visualiza en el plano. De esta manera, podemos colocar los puntos obtenidos y conocer la forma geométrica de la función. 193
Semana 3 El gráfico muestra una tendencia creciente de las bacterias en el transcurrir del tiempo, pero lo que se requiere es determinar una función que nos muestre los tiempos necesarios para obtener una cantidad específica de bacterias. Tomando la expresión N (t) =2 t escribámosla en su notación logarítmica, es decir, la base del logaritmo es 2, el número que se calcula en el logaritmo es N, para obtener como resultado a t que es el exponente. Resulta que t (N) = log 2 N (función inversa de N (t) = 2 t donde la N es la variable independiente y t la variable dependiente. Vamos al grano La función logarítmica de base a es la inversa de la función exponencial de base a. Los valores de la función log a se denotan como y=log a (x) y puesto que log a y la función exponencial con base a son inversas, se puede afirmar que: y = log a (x) si y solo si x = a y El dominio de la función es el conjunto de números reales positivos y su ámbito o recorrido es el conjunto de los números reales. Retomando la función logarítmica determinada en la parte anterior, según la definición podemos decir que: T (N) = log 2 N si y solo si 2 = N Para representar su gráfica debemos construir la tabla de valores, para lo cual podemos asignar valores positivos, negativos y el cero a la variable t y así saber los que le corresponde a N (método indirecto); por ejemplo, si t = 2 en la función vemos que log 2 N = 2 si y solo si 2 2 = 4; por tanto, N = 4 cuando t = 2. Hay calculadoras que obtienen logaritmos de cualquier base, de esta manera puedes hallar las imágenes de forma directa. Ubicando los puntos en el gráfico vemos que la tendencia de la curva es creciente y solo está definida para los valores de N > 0 y N 0. Si comparamos el gráfico obtenido (figura 8) con el anterior (figura 7) de la función exponencial, qué característica gráfica los relaciona? Realiza en un mismo sistema de coordenadas una gráfica donde representes las dos funciones. Qué observas? 194
Semana 3 Tabla 4 N t (N) 0,3-1,73 0,6-0,73 1 0 2 1, 3 1,58 4 2 5 2,32 6 2,58 7 2,80 t 4 f(x) = log b (x,2) 2 N -2 2 4 6 8-2 -4 Figura 8. Función logarítmica tiempo de reproducción En forma general podemos expresar que el dominio de una función logarítmica es (0; + ) y su rango son todos los números reales (valores del eje y) y las gráficas son similares dependiendo del valor de la base a: Si 0<a<1, la función f (x) = log a x es estrictamente decreciente y su gráfica es de tipo: y Si a>1, la función f (x) = log a x es estrictamente creciente y su gráfica es de tipo: y 1 x 1 x 195
Semana 3 Para saber más Debido a que las funciones logarítmicas f(x) = log a (x) se definen sobre cualquier base α, se originan funciones notables cuya base es un número transcendental. Un ejemplo es la función y= log e (x)=ln(x). Su base es el número de Euler e=2,718281 La función y=ln(x), se lee y es igual al logaritmo neperiano de x. Para conocer un poco más sobre la función logarítmica analicemos la siguiente situación: Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en los niños entre las edades de 2 a 16 años puede ser aproximado por medio de la función y = 18.6 Ln(x) + 37.1; donde y es el porcentaje de la estatura de un adulto y x es la edad del niño en años. a) Haz una gráfica de esta función. b) Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 5 años? c) Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 12 años? d) Cuáles son los valores que toma las x?, cuál es el rango que pueden tomar los valores y? e) Qué factores ocasionarían que este modelo de crecimiento humano sea impreciso? Solución: Para obtener una gráfica de la situación, construyamos una tabla de valores que muestre el porcentaje de altura de un adulto que puede tener el niño según la edad. Para ello debemos utilizar la función y=18.6 Ln(x) + 37.1; donde x posee valores entre 2 y 16 años. Veamos un ejemplo de lo indicado: si x=2, resulta y=18.6 Ln(2)+37.1. Si utilizamos la calculadora como se indica (figura 9), obtenemos y=49.9%. 196
Semana 3 Pulsar teclas (mantener orden) Pantalla (Modo DEG) 18,61 n 2 + 37,1 = 19,4 Figura 9 Interpretando el resultado notamos que un niño de 2 años posee aproximadamente el 49,9% de la altura de un adulto. De esta manera, podemos construir la tabla y representar los datos en una gráfica (figura 10). y 90 f(x) = 18.6 * 1n (x) + 37.1 80 70 60 50 x f(x) 40 2 49,9925 30 3 57,5342 20 4 62,8851 10-60 -50-40 -30-20 -10 10 20 30 40 50 60 70 5 67,0355-10 x 6 70,4267 Figura 10 7 73,2939 8 75,7776 9 77,9684 10 79,9281 11 81,7009 12 83,3193 13 84,8081 14 86,1865 15 87,4697 16 88,6702 197
Semana 3 Basándonos en estas ilustraciones, analiza y responde con tus compañeros del CCA las respuestas a las preguntas b, c, d y e. Recuerda que debes interpretar correctamente el significado que tiene las variables x e y. Para ampliar tus ideas sobre la función logarítmica, haz clic en: http:// goo.gl/4x8ng Para saber más sobre las ecuaciones y gráficas de una función logarítmica, visita: http://goo.gl/chryv Aplica tus saberes 1. Representa gráficamente las siguientes funciones logarítmicas y verifica sus características. a) y = log 2 (x) b) y = ln(x + 1) 2. Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en las niñas entre las edades de 5 a 15 años puede ser aproximado por la función y=31.11 ln(x)+16.27; donde y es el por ciento de la estatura de un adulto y x es la edad de la niña en años. a) Haz una gráfica de esta función. b) Por qué sería esta fórmula diferente a la usada para los niños? c) Qué porcentaje de su estatura de adulta tendrá una niña a la edad de 7 años? d) Qué porcentaje de su estatura de adulta tendrá una niña a la edad de 10 años? e) Cuál son los valores que toma la x?, cuál es el rango que pueden tomar los valores y? Comprobemos y demostremos que 1. Completa y entrega las actividades propuestas y consulta con tu facilitador los resultados obtenidos. 2. Autoevaluación. Responde lo más sinceramente posible a cada uno de los indicadores propuestos. 198
Semana 3 Indicadores Si Medianamente No Comprendí el desarrollo de las actividades? Procuré solucionar las dudas que tuve? Acepté mis errores y los corregí? Trabajé con orden y limpieza? Compartí mis saberes con los compañeros? 199