INGENIERÍA EN AUTOMATIZACIÓN Y CONTROL INDUSTRIAL Control Automático II Má Problema UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES 4 de noviembre de 2002 Página de 5. Control de un itema de Bola Riel La Figura muetra un itema de bola riel en el que una bola e coloca obre un riel obre el que puede rodar libremente. El ángulo de inclinación α del riel puede modificare mediante la acción de un torque τ obre el mimo; al cambiar la inclinación del riel la acción de la gravedad hace mover la bola. Se pretende dieñar un controlador para regular la poición de la bola actuando obre el torque τ aplicado al riel. Parámetro fíico del itema: M maa de la bola 0. kg R radio de la bola 0.05 m g aceleración de la gravedad 9.8 m/ 2 J momento de inercia de la bola 0 5 kgm 2 L bola τ Epecificacione de dieño: riel Mg α i Tiempo de etablecimiento al 2% menor a 3 ii Sobrevalor menor al 5%. Figura : Sitema de bola riel Ecuacione de etado del itema linealizado: 0 0 0 Mg 0 0 ( ẋ = J + M ) 0 0 R 2 0 0 0 x + 0 0 u donde x = ẏ α u = τ. α 0 0 0 0 (a) Analizar controlabilidad del itema. Repecto a la obervabilidad del itema: qué etado podrían eventualmente utilizare para contruir un obervador midiendo ólo un etado? Jutificar la repueta. (b) Dieñar un controlador por realimentación de etado u = Nr Kx para atifacer la epecificacione de dieño (i) (ii) obtener eguimiento a una referencia r = 0.5m. (c) Dieñar un controlador con acción integral para obtener eguimiento robuto. (d) Dieñar un obervador utilizando ólo la medición de la poición de la bola. (e) Cargar en SIMULINK el modelo BRNL.mdl que contiene el modelo no lineal del itema. i. Implementar obre ete modelo el controlador dieñado en el punto c realimentando lo etado etimado por el obervador dieñado en el punto d. ii. Determinar por imulación el máximo valor de referencia r admiible obre el modelo no lineal manteniendo la epecificacione de dieño (comenzar con un valor de r pequeño digamo r = 0.m o menor). 2. Control del ángulo de elevación de un avión. El itema de ecuacione () α + 0.33α θ 0.232δ = 0 θ + 0.788α + 0.426 θ.5δ = 0 e un modelo implificado del movimiento de un avión linealizado alrededor de un punto de operación. La variable α repreenta el ángulo de ataque del avión θ e u ángulo de elevación con repecto a la horizontal δ e la inclinación del alerón elevador (variable de control). Lo valore numérico en (2) correponden a un avión comercial Boeing (http://www.engin.umich.edu/group/ctm/). Problema de examen final de Control 2 del 23/2/2000.
Control Automático II Má Problema Página 2 de 5 α θ δ Figura 2: Control de ángulo de elevación Epecificacione de Dieño: Se deea dieñar un controlador por realimentación para que la alida el ángulo de elevación θ(t) tenga una repueta al ecalón con un obrevalor menor al 0% un tiempo de crecimiento menor a 2 egundo un tiempo de etablecimiento menor a 0 egundo un error etático menor al 2%. Por ejemplo: i la entrada e un ecalón de 0.2 rad ( grado) entonce el ángulo de elevación no debe exceder 0.22 rad alcanza 0.2 rad en meno de 2 egundo entra en régimen etacionario en meno de 0 egundo con un valor entre 0.96 0.204 rad. Sobrevalor: menor que 0% Tiempo de crecimiento: menor a 2 egundo Tiempo de etablecimiento: menor a 0 egundo Error etático: menor que 2% Sitema a lazo abierto (a) Ecribir el modelo en epacio de etado del itema en la forma ẋ = Ax + Bu = Cx + Du. Analizar u etabilidad a lazo abierto u propiedade de controlabilidad obervabilidad. Obtener la función tranferencia entre la entrada de control δ el ángulo de elevación θ analizar poible limitacione de dieño. Dieño por realimentación de etado (b) Dieñar la ganancia de realimentación de etado K de la Figura 3 para que la alida del itema θ atifaga la epecificacione de dieño para un ecalón en la referencia r. (Una vez que K e ha ajutado para una repueta dinámica atifactoria determinar la ganancia N para compenar el error etático.) r δ θ N ẋ Ax Bu K Figura 3: Equema de realimentación de etado Implementar el itema en SIMULINK graficar la repueta del itema a lazo cerrado a un ecalón en la referencia de 0.2 rad a una perturbación de alida { 0 0 t < 0 d o (t) = 0.05 0 t.
Control Automático II Má Problema Página 3 de 5 Dicutir lo reultado. Dieño por realimentación de etado con acción integral (c) Modificar el dieño de la Figura 3 como ea neceario para incorporar acción integral en la regulación de θ mejorando la propiedade de robutez rechazo de perturbacione. Recalcular la ganancia de realimentación para cumplir con la epecificacione de dieño. Dieño por realimentación de alida con acción integral (d) Suponer ahora que θ e la única variable medible del itema. Dieñar un obervador de etado para convertir el dieño del punto anterior en un controlador dinámico (itema controlador-obervador) por realimentación de alida. (Nota: para poder dieñar el obervador podría er neceario modificar la realimentación de etado K. Por qué?) (e) Implementar el equema de controlador-obervador en SIMULINK repetir el enao del punto (b). Comparar lo reultado. 3. Regulación de temperatura de un horno. La Figura 4 repreenta un horno ailado longitudinalmente pero expueto a la temperatura ambiente T ext en un extremo calefaccionado en el otro extremo u. El horno poee tre punto de medición indicado como termocupla para enar la temperatura en x. Calefactor x x 3 T ext u Termocupla Figura 4: Horno Un modelo en ecuacione de etado tomando como variable de etado la temperatura en x como entrada de control u como entrada de perturbación T ext e ẋ 3/2 /2 0 x 0 (2) ẋ2 = /2 /2 x 2 + 0 u + 0 T ext. ẋ3 0 /2 3/2 x 3 0 La Figura 5 muetra el diagrama de bloque correpondiente al itema (2). Criterio de dieño. Se deea dieñar un regulador para la temperatura en para que con una temperatura de referencia T re f = 200C e atifagan la iguiente epecificacione: (i) Tiempo de etablecimiento menor a 5 egundo. (ii) Sobrevalor menor a 5%. (iii) Cero error etático a una entrada T re f ecalón arbitraria. (iv) Cero error etático a una perturbación ecalón T ext arbitraria. (a) Analizar la controlabilidad del itema con repecto a la entrada u T ext. (b) Aumiendo que la tre temperatura x pueden enare: i. Dieñar un control por realimentación de etado u = NT re f Kx para atifacer la epecificacione (i) (ii) (iii). ii. Redieñar el control para incorporar acción integral atifacer ahora (i) (ii) (iii) (iv).
Control Automático II Má Problema Página 4 de 5 Tref /2 3/2 x 2 x2 3 x3 xd /2 x2d /2 x3d 3/2 /2 2 Text Figura 5: Diagrama de bloque del horno (c) Suponer que e pueden enar a lo umo do temperatura (ólo ha do termocupla). i. E neceario utilizar la do termocupla para poder etimar aintóticamente el etado completo del itema? Jutificar la repueta eñalar qué debería medire. ii. E neceario utilizar la do termocupla para poder implementar la realimentación con acción integral del punto b(ii)? Jutificar la repueta eñalar qué debería medire. iii. De acuerdo a la repueta al punto anterior elegir qué medir dieñar un obervador de etado para etimar lo no medido. iv. Implementar en SIMULINK el obervador del punto c(ii) acoplado al controlador con acción integral del punto b(ii). Simular la repueta del itema completo para T re f = 250C T ext = 28C. 4. Control de velocidad de un motor de CC Un motor de corriente continua controlado por corriente de campo etá decripto por el modelo en ecuacione de etado de egundo orden ẋ = θ x θ 2 u + θ 3 ẋ 2 = θ 4 + θ 5 x u = donde x e la corriente de armadura e la velocidad u e la corriente de campo θ i i =...5 on contante poitiva. Se deea dieñar un control de velocidad de forma que iga a una velocidad de referencia contante R. Se aume que u 2 R < θ 3 2θ 5 /(4θ θ 2 θ 4 ) que el dominio de operación etá retringido a x > θ 3 /(2θ ). Epecificacione de deempeño R : 200 obrevalor máximo: 5% tiempo de etablecimiento: 0.4 error de eguimiento en régimen: 0 Dato numérico θ = 60 θ 2 = 0.5 θ 3 = 40 θ 4 = 6 θ 5 = 4 0 4. (a) Determinar la entrada de régimen permanente u rp necearia para mantener la alida en un valor contante R dado.
Control Automático II Má Problema Página 5 de 5 (b) Implementar el itema en SIMULINK etudiar el deempeño del itema mediante imulación. En particular etudiar la repueta al ecalón; el comportamiento tranitorio lo efecto de una variación de un ±20% en todo lo parámetro del modelo. (c) Obtener un modelo linealizado del itema dieñar un control lineal por realimentación de etado con acción integral para alcanzar la velocidad deempeño deeado. Repetir lo enao del punto b. (d) Suponer que e mide la velocidad pero no la corriente de armadura x. Repetir el punto c uando un obervador para etimar la corriente de armadura. Repetir b comparar el deempeño la robutez de ete controlador con el dieñado en la parte c. 5. Control de un péndulo invertido. Coniderar el pendulo invertido de la Figura 6. mi θ F M Figura 6: Péndulo Invertido El modelo en ecuacione de etado linealizado e ẋ = ẍ = 0.88ẋ + 2.6727θ +.882u θ = x 4 θ = 0.4545ẋ + 3.88θ + 4.5455u = x 2 = θ donde x ẋ on poición velocidad del carrito θ θ ángulo velocidad angular del péndulo. Epecificacione de deempeño R : 0.2 m obrevalor en θ: 20 grado (0.35 radiane) tiempo de etablecimiento para x θ: 5 tiempo de ubida para x: error de eguimiento en régimen: 2% (a) Dieñar un control por realimentación de etado con acción integral para atifacer lo requerimiento epecificado. (b) Implementar el dieño anterior con un obervador de orden reducido. E poible contruir un obervador midiendo ólo una alida? De er poible implementar ete obervador comparar el deempeño del itema de control completo con el obtenido con el obervador MIMO anterior ante perturbacione contante en la alida.