JUSTE DE CURVS Cálculo umérico Ing. Frednides Guillén Guerra Maraca - Venezuela
juste de Curvas Consiste en determinar los parámetros de un modelo f() que se ajuste mejor a los datos (, ),..., (, ) que están sujetos a errores aleatorios producidos por incertidumbres en las mediciones, por un deficiente control de las condiciones en el que se realiza un eperimento.
juste de Curvas Cuando se consideran datos que están sujetos a errores aleatorios, se emplea: EL MÉTODO DE LOS MÍIMOS CUDRDOS
juste de Curvas partir del método de los mínimos cuadrados se obtienen las Ecuaciones de Regresión tienen varias aplicaciones: Descripción construcción de modelos Predicción estimación Estimación de parámetros Control
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Para comprender mejor este tema, se considera el siguiente ejemplo: partir de un ensao eperimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos, obtener la ecuación de la recta aproimada: - 0 0 9 7 5 3 4 4 3 5 0 6-0 8 6 4 0 - - 4 - - 0 3 4 5 6 7
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados La recta de regresión consiste en el análisis de regresión simple del método de los mínimos cuadrados: Lo que se desea es encontrar una ecuación simple que aproime lo mejor posible los puntos de estudio La recta o cualquier otra función elegida para aproimar los datos es llamada modelo
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados La recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados consiste en obtener los coeficientes de la ecuación de la recta: f() Que minimiza el error cuadrático medio E(f) E( f ) f ( ) / ()
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados El error medio cuadrático está dado por la siguiente ecuación: / E( f ) f ( ) () El error medio cuadrático se suele usar cuando se considera la naturaleza aleatoria de los errores. Este se suele utilizar porque no es tan complejo de minimizar computacionalmente.
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Sea un conjunto de puntos (, ) donde hasta, cuas abscisas { } son todas distintas, la recta de regresión o recta óptima en mínimos cuadrados, es la recta de ecuación f () que minimiza el error medio cuadrático E (f). El error medio cuadrático es mínimo si la siguiente epresión es mínima: ( E ( f )) f ( ) ()
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Si sustituimos en la ecuación anterior la ecuación de la recta, entonces: E(, ) ( ) (3) El valor mínimo de la función E(,) se calcula igualando a cero sus derivadas parciales: E(, ) E(, ) 0 0 (4)
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Desarrollando el cálculo, tenemos: Luego: ( )( ) ( ) ( ) ( ) E E ), ( ), ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Despejando: este sistema de ecuaciones se le conoce como: ECUCIOES ORMLES DE GUSS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5),
Recta de Regresión de Mínimos Cuadrados Ejemplo: partir de un ensao eperimental se obtuvieron los siguientes pares de puntos (-, 0), (0,9), (,7), (, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 0), (6, -). Obtener la ecuación de la recta aproimada. Primero se calculan los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss: ( ) - 0-0 0 9 0 0 7 7 5 4 0 3 4 9 4 3 6 5 0 5 0 6-36 -6 0 37 9 5 plicamos la ecuación (5) 9 0 0 8.607 37 5 8.643 -.607 8.643
juste Potencial M lgunos casos eperimentales se modelan mediante una función del tipo M, donde M es una constante conocida. Usando la técnica de los mínimos cuadrados: E( ) ( M ) En este caso particular basta con calcular la derivada de E() e igualar a cero:
juste Potencial M El desarrollo de las ecuaciones es el siguiente: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (6) Por lo tanto se obtiene : 0 0 ) '( 0 ) ( ; ) ( M M M M M M M M M E E E
juste Potencial M Ejemplo: fin de medir la aceleración de la gravedad, se recogieron unos datos eperimentales del tiempo que tarda en llegar un objeto al suelo. La relación funcional es d0.5gt. donde d es la distancia de caída media en metros t el tiempo medio en segundos. Con estos datos calcule el valor aproimado de la aceleración de la gravedad g. Tiempo t (s) Distancia d (m) 0.47. 0.7.4 0.77 3 0.96 4.5. 6
juste Potencial M plicamos la ecuación (6) ( M ) ( M ) Tiempo t (s) Distancia d (m) d t 4 t 0.47. 0.430 0.0488 0.7.4.098 0.54 0.77 3.7787 0.355 0.96 4.5 4.47 0.8493. 6 7.600.464 4.6387.9679 ( ) ( 4 d t t ) 4. 6387 4. 933. 9679 d 4. 933 t Despejando la gravedad : g 4. 933* g 9.8647 m/s
juste de Curvas Supóngase que se quiere ajustar un conjunto de datos a una curva eponencial de la forma: Ce plicamos logaritmo en ambos miembros de la ecuación ln( ) ln( ) ln( ) ln ( ln Ce ) ( C ) ( ln e ) ( C ) Y X De esta manera queda linealizada la ecuación se pueden hacer los siguientes cambios de variable: ln Yln(), X, ln(c)
juste de Curvas Mediante el cambio de variable los datos quedan de la siguiente forma: (X, Y ) (, ln( )); a este proceso se le conoce como método de linealización de datos. Luego se aplican las ecuaciones normales de Gauss. Luego que se obtienen, se calcula el parámetro C: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7), Y X Y X X X e C
juste de Curvas Ejemplo: Utilice el método de linealización de datos para hallar el ajuste eponencial Ce a los cinco datos: (0,.5), (,.5), (, 3.5), (3, 5.0) (4, 7.5). plicando los cambios de variable: X Y ln( ) X X Y 0.0.5 0.0 0.4054 0.0 0.0.5.0 0.96.0 0.96.0 3.5.0.57 4.0.5055 3.0 5.0 3.0.6094 9.0 4.883 4.0 7.5 4.0.049 6.0 8.0596 0 6.988 30.0 6.3097
juste de Curvas plicando la ecuación (7) para el cálculo de los coeficientes de las ecuaciones normales de Gauss, se tiene: 30 0 6.3097 0 5 6.988 0.39 0.4574 C e 0.4574.5799 0 8 6.5799 e 0.39 4 0-0 3 4 5
juste de Curvas Cambios de variables para linealizar datos: Función, f() Linealización, Y Cambios / / X /, Y / ( ) / X, Y / ln() ln() X ln(), Y C e C ln() ln() ln() X, Y ln(), ln(c), Ce X ln(), Y ln(), ln(c), Ce