Cálculo Numérico Tema 0: Problema Introducción a la teoría de errores Tipos de errores en un proceso numérico de resolución de un problema. Errores absoluto y relativo. Número de cifras exactas. Error de redondeo. Error de transmisión. Para calcular a = ( a) (3 2 2) 2 1) 3 6 usando el valor aproximado 2 1.4, escoger de entre las siguientes expresiones equivalentes, la que produzca menor error. 1 b) 99 + 70 2
Tipos de Errores Un método numérico constituye un método aproximado a la resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez, puede representar una modelización matemática de un problema físico o del mundo real (PF). En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que proporciona el método numérico, y en general difiere de la solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores: Experimentales: se producen en la propia formulación del (PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo. Valores de las constantes en física y matemáticas
Tipos de Errores Un método numérico constituye un método aproximado a la resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez, puede representar una modelización matemática de un problema físico o del mundo real (PF). En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que proporciona el método numérico, y en general difiere de la solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores: Experimentales: se producen en la propia formulación del (PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo. De modelización: dependen de la afinidad a la realidad del modelo matemático elegido. Sistemas de movimiento de cuerpos celestes Modelos atómicos
Tipos de Errores Un método numérico constituye un método aproximado a la resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez, puede representar una modelización matemática de un problema físico o del mundo real (PF). En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que proporciona el método numérico, y en general difiere de la solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores: Experimentales: se producen en la propia formulación del (PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo. De modelización: dependen de la afinidad a la realidad del modelo matemático elegido. De discretización o truncamiento: inherentes a la propia naturaleza del método numérico. Digitalización de imágenes
Tipos de Errores Un método numérico constituye un método aproximado a la resolución de un problema matemático (PM). Éste, a su vez, puede representar una modelización matemática de un problema físico o del mundo real (PF). En la práctica, la solución al (PF) que se conoce es la que proporciona el método numérico, y en general difiere de la solución exacta, dado que está sujeta a cierto tipo de errores: Experimentales: se producen en la propia formulación del (PF) por valores inexactos tomados en el trabajo de campo. De modelización: dependen de la afinidad a la realidad del modelo matemático elegido. De discretización: inherentes a la propia naturaleza del método numérico. De redondeo: consecuencia de las restricciones aritméticas de los humanos y los ordenadores al trabajar con infinitos decimales.
Errores absoluto y relativo Seax 0 una aproximación del valor exactox. Se define: Error absoluto: ε = ε( x) = x x0 Se trata de una medida cuantitativa del error: mide asépticamente lo que dista la aproximaciónx 0 del valor exactox. x = 1, x 0 = 1.1 ε = 0. 1 x = 1000, x 0 = 1099 ε = 99 Error relativo: 0 0 e = e( x) = ε x Se trata de una medida cualitativa del error: mide lo proporcionada que es la aproximaciónx 0 en relación con la magnitud del valor exactox. x = 1, x 0 = 1.1 e = 0. 1 x = 1000, x 0 = 1099 e = 0. 099
Error absoluto y cifras decimales exactas Error absoluto: ε = ε( x) = x x0 Seax 0 una aproximación del valor exactox. Se dice quex 0 aproxima axconpcifras decimales exactas cuando p ε 10 Cuidado: Esto no quiere decir que las p primeras cifras decimales dexyx 0 necesariamente coincidan: 1.9999 aproxima a 2 con sus cuatro cifras decimales exactas.
Transmisión del error absoluto Con normalidad, en un proceso numérico se parte de una aproximaciónx 0 de un valor exactoxcon idea de aplicar una cierta funciónf(x) para aproximar el valorf(x) mediantef(x 0 ). En este proceso, el error absolutoε(x) se propaga según lo que se da en llamarerrordetransmisión, que viene a ser ε ( f ( x)) = f ( x) f ( x ε x x Error de redondeo 0 ) f '( x) ( x) f '( x0) 0 Asimismo, en un proceso numérico con generalidad no se puede almacenar los infinitos dígitos de la parte decimal de cada valor, la cual se ha de truncar de algún modo. π = 3.141592K Tala a 3 cifras: 3.141 Redondeo a 3 cifras: 3.142 Tala a 4 cifras: 3.1415 Redondeo a 4 cifras: 3.1416
Problema Se pretende calcular a = ( z 0 2 1) = 1.4 paraz = 2, sabiendo quez 6 utilizando el valor aproximado 0 aproxima az con todas sus cifras decimales exactas. Escoger, entre las siguientes expresiones equivalentes, la más adecuada desde un punto de vista numérico (es decir, la que se vea menos afectada por la propagación del error en los datos) : a) (3 2 2) 3 1 b) 99 + 70 2 En ambos casos, dar una aproximación deacon el mayor número posible de cifras decimales exactas.