Juan Carlos Colonia DISTRIBUCIONES MUESTRALES
POBLACIÓN Es el conjunto de individuos u objetos que poseen alguna característica común observable y de la cual se desea obtener información. El número de elementos que forman la población se llama tamaño de la población, se denota con la letra N. La población debe ser susceptible de ser definida con absoluta precisión. Una población puede ser finita o infinita. Si el número de elementos de una población es grande se la considera para el tratamiento estadístico, en algunos casos como infinita.
MUESTRA Es una parte o subconjunto de la población en estudio. Esta constituido de elementos de la población seleccionados de forma aleatoria con el objetivo de investigar las características de la población. La muestra solo da información de aquella población de la que ha sido extraída. El número de elementos que forman la muestra se llama tamaño de muestra, se denota con la letra n. El objetivo de los técnicas de muestreo estadístico es que cada elemento de la población tenga una probabilidad e independencia de ser incluido en la muestra. Estas técnicas de muestreo conducen a una muestra aleatoria.
MUESTRA ALEATORIA Sea X una característica de la población en estudio con función de distribución de probabilidad F. Una muestra X x aleatoria de tamaño n es un conjunto de n variables aleatorias X seleccionadas de la población en 1, X,..., Xn estudio si: 1. Son independientes.. Están idénticamente distribuidas y tienen la misma función de distribución de probabilidad que X, F x. X
MUESTRA ALEATORIA Sea X una variable aleatoria que representa la calificación obtenida en la prueba de conocimientos sobre preservación del ambiente de los alumnos de la Facultad de Ingeniería de Telecomunicaciones y Telemática de la UTP. Si X 1, X,..., X30 es una muestra aleatoria de 30 alumnos, se tiene: X 1 : calificación obtenida en la prueba por 1 er alumno seleccionado en la muestra. X : calificación obtenida en la prueba por do alumno seleccionado en la muestra. X 30 : calificación obtenida en la prueba por 30 avo alumno seleccionado en la muestra.
PARÁMETRO Un parámetro es una medida descriptiva numérica de una población. Son valores constantes que caracterizan a la población bajo estudio. Un parámetro se suele representar a mediante letras griegas: : Promedio poblacional : Varianza poblacional : Proporción poblacional En términos prácticos, un parámetro es un valor que resulta al emplear los valores de una población.
ESTADÍSTICAS Una estadística es una función real de la muestra aleatoria que no contiene parámetros desconocidos. Como los elementos de una muestra son variables aleatorias, una estadística también es una variable aleatoria. Una estadística se representa mediante letras latinas: x: Promedio muestral s : Varianza muestral p : Proporción muestral En términos prácticos, una estadística es un valor que se obtiene al emplear los elementos de una muestra.
DISTRIBUCIÓN MUESTRAL Se denomina distribución muestral a la distribución de probabilidad de una estadística; es decir, la distribución de un estadístico calculado a partir de los valores de una muestra. Las distribuciones muestrales adoptan diferentes formas según las estadísticas que se investiguen y las características de la población estudiada. Conociendo la distribución muestral se puede hacer inferencia acerca de la población bajo estudio.
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Si X 1, X,..., Xn es una muestra aleatoria de tamaño n extraída desde una población N,, entonces la distribución de la media muestral esta dado por: x N, n Por tanto: x Z N0,1 n
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Ejemplo Un fabricante especifica que la duración de sus baterías tiene distribución normal con media 36 meses y desviación estándar 8 meses. Cuál es la probabilidad que una muestra aleatoria de 9 baterías, la duración media no sea mayor a 30 meses.? Solución x N 36, 7.1 Px 30 Pz.6 0.01
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Si X es una muestra aleatoria de tamaño n 1, X,..., Xn extraída desde una población, entonces: N, t x n n 1 s n1 x s n t n1 donde: 1 n s xi x n1 i 1
DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL Ejemplo Una población con distribución normal tiene una media de 5.5, su varianza es desconocida. En una muestra aleatoria de tamaño 6 se encontró una desviación estándar de 0.5, Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor o igual a 6.5.? Solución x N 5.5, 6 Como la varianza de la población es desconocida, la varianza de la media muestral también es desconocida x 6.5 5.5 Px 6.5 P Pt 5 4.89 0.003 s n 0.5 6
DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL Si X es una muestra aleatoria de tamaño n 1, X,..., Xn extraída desde una población N,, entonces: n i1 x i x n1 De forma equivalente: n 1 s n x i i1 x n1
DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL Ejemplo Una población con distribución aproximadamente normal tiene varianza especificada de 0.8. Calcule la probabilidad que una muestra aleatoria de tamaño 6 tenga una varianza mayor o igual a 1.. Solución n 1 s 6 1 1. P s 1. P P 5 7.5 0.8 5 P s 1. P 7.5 0.189
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Si X es una muestra aleatoria de tamaño n 1, X,..., Xn extraída desde una población con proporción de éxitos, la distribución de la proporción p muestral esta dado por: 1 p N, n Por tanto: p 1 n N 0,1
DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL Ejemplo Según pruebas de inspección 4 de cada 10 baterías tienen fallas. Cuál es la probabilidad de que la proporción de baterías defectuosas sea mayor que 0.45 en una muestra de 50 baterías? Solución 0.4 p N 0.4, 0.00096 Pp 0.45 Pz 1.61 1Pz 1.61 0.0537