INFORME SEMESTRAL Curso: Mecánica Cuántica Seestre 13-1 Profesor: M. en C. Angel G. Figueroa Soto Diciebre de 1 OBJETIVO. Presentar al aluno el foraliso de la ecánica cuántica REQUISITOS. El aluno deberá tener conociientos de Mecánica, Electroagnetiso y una sólida preparación ateática ASIGNATURAS ANTECEDENTES SUGERIDAS: Mecánica Clásica. Teoría Electroagnética. Física Moderna. ALCANCE. El aluno conocerá los fundaentos de la ecánica cuántica y se entrenara en la solución de probleas iportantes de la ecánica cuántica y conocerá la interpretación que se da a los resultados. ACTIVIDADES REALIZADAS EN EL SEMESTRE: - Preparación de los teas acorde al prograa y a la literatura citada al final del presente docuento. - Preparación y diseño de los exáenes ensuales y tareas. - Preparación del exaen final
EXÁMENES EXAMEN 1. MECÁNICA CUÁNTICA. Seestre 13-1 PROBLEMA 1. Deterinar el Hailtoniano a partir de la función Lagrangiana expresada por: Hay conservación del sistea?, porque? 1 L x V kx El Hailtoniano representa la energía total del sistea? (Coparar con el ejercicio de oscilador que se ueve con velocidad constante) PROBLEMA. Deostrar en particular para la función de onda de una partícula libre, que: PROBLEMA3. pˆ ( x) * pˆ * *( x) Considerar una partícula que se ueve dentro de un potencial de la fora: V ( x) 1 w x x x 1.- Graficar el potencial en función de x, considerando el sistea de unidades 1, w 1, 1, dividir el problea en dos regiones..- Para la priera región (I), el potencial V ( x), por lo que se trata de una barrera de potencial infinita. Cuál es el valor de la función de onda para x? 3.- Para la región II, cuál es el operador de Hailton que describe a la partícula? 4.- Existen estados estacionarios? Si la respuesta es afirativa, por qué?
5.- En esta isa región II, existe una condición de frontera, dada la fora del potencial, esta condición es que: ( x), donde ( x) es la parte espacial de la función de onda de la partícula. Cuál es la x función de onda que describe a la partícula en la región II? 6.- Usar el eigen-estado base para la función de onda del problea anterior ( ) E x. Quién es ésta función de onda?, Satisface la condición de frontera del inciso 5? 7.- Generar los estados ( x), E ( ) 1 E x, ( ) E x y ( ) 3 E x utilizando los operadores de creación. 4 Satisfacen la condición de frontera del inciso 5? 8.- Cuáles de los eigen-estados cuplen la condición de frontera y cuáles no la cuplen. 9.- A partir de los estados que cuplen la condición de frontera, Deostrar que los niveles de 3 4n energía peritidos son: En. EJERCICIO 4. A partir de la definición del operador aˆ pˆ ixˆ, donde ˆp es el operador de oento y ˆx es el operador de posición, deterinar la función de onda en el estado cero para un oscilador, que cuple la relación: aˆ ( x) E Noralizar la función de onda. EJERCICIO 5. Deterine el valor de la constante C 1, usando el operador de creación, de la expresión: ˆ n1 C1a n EJERCICIO 6. Recordando de ecánica clásica el oento angular está dado por: l r p, idea que en ecánica cuántica se representa por edio de los operadores: lˆ rˆ pˆ. Usando los síbolos de Levi-Civita, deostrar que: ˆ [ xˆ, l ]
Cuál es el significado físico de este resultado? EJERCICIO 7. Considerando el operador de Hailton para una partícula libre, deterinar la evolución teporal del siguiente operador: d dt H ˆ EJERCICIO 8 Si definios dos operadores de la siguiente fora: aˆ pˆ ixˆ y aˆ pˆ ixˆ deostrar que para el oscilador arónico cuántico, se cuplen las relaciones de conutación: a) Hˆ, aˆ aˆ b) Hˆ, aˆ aˆ EJERCICIO 9. Una partícula que se ueve en dirección x está soetida a un potencial V, descrito por: A partir de la ecuación de Scrhödinger, deterinar la función de onda parte espacial- para las regiones (I) y (II). Se puede usar la ecuación de eigenvalores Hˆ ( x) E ( x) en vez de porque?. ˆ ( x) H ( x) i? t Expresar la función de onda espacio teporal ( x, t) y noralizarla (recordar la condición de frontera).
MECÁNICA CUÁNTICA. Seestre 13-1 PROBLEMA 1 Considerar una partícula que se ueve dentro de un potencial de la fora: V ( x) 1 w x x x 1.- Graficar el potencial en función de x, considerando el sistea de unidades 1, w 1, 1, dividir el problea en dos regiones..- Para la priera región (I), el potencial V ( x), por lo que se trata de una barrera de potencial infinita. Cuál es el valor de la función de onda para x? 3.- Para la región II, cuál es el operador de Hailton que describe a la partícula? 4.- Existen estados estacionarios? Si la respuesta es afirativa, por qué? 5.- En esta isa región II, existe una condición de frontera, dada la fora del potencial, esta condición es que: ( x), donde ( x) es la parte espacial de la función de onda de la partícula. Cuál es la x función de onda que describe a la partícula en la región II? 6.- Usar el eigen-estado base para la función de onda del problea anterior ( ) E x. Quién es ésta función de onda?, Satisface la condición de frontera del inciso 5? 7.- Generar los estados ( x), E ( ) 1 E x, ( ) E x y ( ) 3 E x utilizando los operadores de creación. 4 Satisfacen la condición de frontera del inciso 5? 8.- Cuáles de los eigen-estados cuplen la condición de frontera y cuáles no la cuplen. 9.- A partir de los estados que cuplen la condición de frontera, Deostrar que los niveles de 3 4n energía peritidos son: En. PROBLEMA Para el problea de dos cuerpos, la ecuación de eigenvalores se escribe coo: ( ) ( ) ( ), r E V r r
deostrar que si expresaos la función de onda en coordenadas esféricas ( r,, ), esta ecuación se escribe coo: 1 1 ˆ r l E V ( r), r r r r donde: ˆl 1 1 sen sen sen. PROBLEMA 3 Considere un rotor que gira alrededor de uno de sus ejes principales de inercia I. La función de onda para cualquier estado está dado por: E 1 i( t) (, t) e, con niveles energéticos E. I En un experiento, se deterinó que para un instante de tiepo t, uno de los estados del rotor está dado por: Deterinar: (,) c sen ( ) a) La distribución de probabilidad de las energías en el estado considerado. b) La energía proedio del rotor en el estado considerado. (Sugerencia: Usar el principio de superposición c (, ), c d, recordar el significado de las constantes c, la expresión para la energía proedio en el arco del principio de superposición y utilizarán: cos( n )cos( ) d n ) PROBLEMA 4 sen( ) cos( n ) d y que Para el problea de dos cuerpos, propusios una solución de la fora: ( r,, ) R( r) (, ). Deostrar que la función R( r ) satisface: l 1 d R l( l 1) r R( r) E V ( r) R( r), r dr r r
PROBLEMA 5 Deterinar los eleentos de atriz de l ˆ, ˆy x 1 1 operadores ˆQ y PROBLEMA 6 l para ˆl dada. Sugerencia: Usar los ˆQ y su relación con l ˆx y l ˆy para obtener ˆx l y Una partícula en un potencial esféricaente siétrico V ( r ) se encuentra en un estado caracterizado por la función de onda: donde C y son constantes. l ˆy. ( x, y, z) C xy yz zx e r, - Cuál es la probabilidad de que en éste estado la partícula se encuentre en un estado de oento angular l? - Cuál es la probabilidad de que en éste estado el cuadrado del oento angular sea l 6? Sugerencias: Expresar la función de onda en coordenadas esféricas. Recordar que la probabilidad de que el sistea se encuentre en un estado dado, la obteneos por: cl ldv y obtener c, c,, c y c 1. PROBLEMA 7 Obtuvios que para una partícula cargada y de asa, en un capo agnético externo, el Hailtoniano está expresado por: 1 ˆ q ˆ H P A qˆ c, Deostrar, que para el caso de un capo agnético hoogéneo ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ P A A P l. ˆ, se cuple que: PROBLEMA 8 El oento angular total para una partícula está dado por ˆ ˆ j l sˆ, deostrar que: ˆj, ˆj i ˆ j
MECÁNICA CUÁNTICA. Seestre 13-1 1.- Considere un rotor que gira alrededor de uno de sus ejes principales de inercia I. La función de onda para cualquier estado está dado por: E 1 i( t) (, t) e, con niveles energéticos E. I En un experiento, se deterinó que para un instante de tiepo t, uno de los estados del rotor está dado por: Deterinar: (,) c sen ( ) a) La distribución de probabilidad de las energías en el estado considerado. b) La energía proedio del rotor en el estado considerado. (Sugerencia: Usar el principio de superposición c (, ), c d, recordar el significado de las constantes c, la expresión para la energía proedio en el arco del principio de superposición y utilizarán: cos( n )cos( ) d n ) sen( ) cos( n ) d y que.- Considerar un sistea de N partículas soetido a potenciales externos. Suponiendo que se conoce el operador de Hailton del sistea, deterinar el operador de traslaciones T, para una traslación infinitesial a independiente del tiepo. 3.- Obtuvios en la teoría de perturbaciones y para un potencial que es de prier orden, la expresión general que relaciona la energía a priera aproxiación del potencial n V nn ediante la relación: E c 1 n n nn 1 E n y los térinos V. Considerando el estado n 1 (i.e. c 1), deterinar la energía a priera aproxiación para una partícula cuya función de onda esta representada por: e r (, ) 1 c1e Y,
4 e considerando que la energía del estado base está expresada por: E1. (La función de onda corresponde al de una partícula y su anti-partícula que interactúan en un potencial de Coulob). Recordar que la energía a prier orden esta dada por: E E E. 1 1 1 1 4.- Considerar una partícula de asa que oscila alrededor de una posición de equilibrio estable con una frecuencia w en una diensión. Esta partícula adeás interacciona con un capo eléctrico externo hoogéneo en la isa dirección de su oviiento (Potencial perturbador). El operador de Hailton del sistea está expresado por: ˆ pˆ x 1 ˆ ˆ H x qex a) Conoceos el operador de Hailton para el oscilador sin perturbación ( Quien es este operador Ĥ?) y los niveles energéticos asociados ( Cuál es la expresión de la energía para cualquier nivel E? del oscilador no perturbado?). Cuál es el operador asociado n al potencial perturbador: H ˆ V? b) Considerar el sistea unitario 1, 1, 1. Deterinar la fora general del tensor asociado al potencial perturbador V n a partir de la expresión: * ˆ n n V V H dx para esto, utilice la expresión del operador ˆx coo función de los operadores de creación y aniquilación (por ejeplo, para â y â. Recuerde coo actúan estos operadores en las funciones del onda â obtuvios que: 1 ˆ n1 a n ) n c) A partir de la expresión anterior, cuál es la contribución del potencial perturbador a la 1 energía, a prier orden? (Sugerencia: usar la relación: En Vnn y deterinar V 11) 5.- Para el problea 3, es posible resolverlo de anera exacta. Usando el iso operador de Hailton, deostrar que se puede escribir coo: ˆ pˆ 1 ˆ q E H Q x
donde se ha definido ˆ qe Q xˆ. En que varía este operador respecto al del oscilador?, Cuáles son los niveles energéticos del oscilador perturbado usando este operador de Hailton? BIBLIOGRAFÍA EN LA BIBLIOTECA DEL CAMPUS Beiser, A. (RESERVA) Concepts of odern physics. McGraw-Hill (1995) USA. de la Peña, L. (RESERVA) Introducción a la Mecánica Cuántica. Fondo de Cultura Econóica (6) México. L.I. Schiff (RESERVA) Quantu echanics McGraw Hill, Tokio, 1968. S. Gasiorowicz (RESERVA) Quantu Physics John Wiley and Sons, New york, 1974. Kittel, Charles (RESERVA) Introducción a la Fisica del Estado Sólido. 3ª. Ed. Reverté. 1997.