Números racionales Los problemas que se presentan a continuación son problemas "tipo". Estúdialos detenidamente pues encontrarás multitud de situaciones cotidianas cuya resolución exige los mismos procesos que aquí aparecen. FRACCIÓN DE UN NÚMERO Se pueden presentar tres tipos de problemas: A.- Cálculo de la parte (Problema directo) Se ha vaciado las partes de un depósito que contenía 2.400 litros de agua. Cuántos litros se han extraído? 2400 72000 Calcular los de 2400 equivale a efectuar la operación: = = 900.- En un cine hay 6 personas de las que 4/7 son chicas, cuántos chicos y chicas hay? 4 7 de 6 = (6 : 7) 4 = 6 chicas 6 6 = 27 chicos 2.- Un compuesto químico está formado por 2/ de agua, / de edulcorante y el resto por una composición de distintos elementos. Qué cantidad de cada elemento hay en 0 gramos de dicho compuesto? Cantidad de agua: 2 de 0 = 4 g Cantidad de edulcorante: de 0 = 2 g Cantidad de distintos elementos: 0 (4 + 2) = 4 g.- Un profesor les presta a sus alumnos un libro a cada uno para leer. El que le da a Inés tiene 62 páginas y el de Paco 29. Inés dice que ha leído 4/9 y Paco, 2/. Cuál de los dos ha leído más páginas? Inés ha leído los 4 de 62 = (62 : 9) 4 = 4 = 72 páginas 9 Paco ha leído los 2 de 29= (29: ) 2 = 97 2 = 94 páginas Luego Paco ha leído más que Inés. 4.- Los 2/ de los habitantes de una ciudad tienen menos de 0 años y los / de éstos tienen menos de 20 años. Si la ciudad tiene 0.000 habitantes. a) Cuántos habitantes tienen menos de 20 años? b) Cuántos tienen entre 20 y 0 años? c) Cuántos tienen más de 0 años? a) 2/ de 0.000 = 20.000 habitantes tienen menos de 0 años. b) / de 20.000 = 200 = 2.00 personas tienen menos de 20 años Por tanto, las personas con edades entre 20 y 0 años: 20.000 2.00 = 7.00 personas. c) 0.000 20.000 = 0.000 habitantes tienen más de 0 años
Números racionales 2.- Para hacer una tarta de 6 raciones se necesitan: huevos, 00 g de mantequilla, 20g de chocolate y 60 g de levadura. Qué cantidades serán necesarias para hacer una tarta de raciones? Si para 6 personas necesitamos huevos, para necesitaremos /6 = 4 huevos. Del mismo modo necesitaremos: o De mantequilla 00 /6 =, g. o De chocolate 20 /6 = 60 g o De levadura 60 /6 = 0 g. 6.- Un agricultor tiene una finca de 2.000 ha. Se reserva para él / de la superficie y el resto lo reparte en partes iguales entre sus dos hijos. Uno de los hijos vende /0 de su parte. Calcula las hectáreas que tienen al final el padre, cada uno de los hijos y el comprador. El padre se queda con / de 2.000 ha, que son 000 ha. Reparte las 20.000 ha restantes entre los dos hijos, por tanto, a cada uno le corresponde 0.000 ha. Uno vende de 0.000 ha = 000 ha. Le queda al hijo 7000 ha. 0 7.- Entre tres hermanos deben repartirse 20 euros. El primero se lleva 7/ del total, el segundo /2 del total y el tercero el resto. Cuánto dinero se ha llevado cada uno? El primero: 7 de 20 = 7 = 6. El segundo: de 20 = 0 = 0. 2 El tercero: 20 (6 + 0) = 4.- De una caja que tenía 0 bombones, Alberto comió los 2/ y Rosa /6. a) Cuántos bombones se comieron entre los dos? b) Qué fracción de bombones les queda sin comer? a) Alberto comió 2 de 0 = 2 bombones Rosa comió 6 de 0 = bombones b) Entre los dos se comieron 7 bombones, luego les quedan sin comer, que son 0 de la caja. 9.- Un ciclista ha recorrido los cuatro séptimos de los 20 Km de la etapa. Cuántos Km de la etapa tiene que recorrer todavía? Si ha recorrido los cuatro séptimos, le queda por recorrer los tres séptimos. 7 de 20 = 20 = 40 = 20 km 7
Números racionales B.- Cálculo del total (Problema inverso) Patricia se ha gastado 900, que son los de su sueldo. Cuánto recibe de sueldo al mes? de la paga son 900 de la paga será: 00 de la paga serán: 00 = 2400 Observa que este problema se resuelve multiplicando la cantidad por la inversa de la fracción: 900 de x = 900 x = 900 x = 900 : =.- Los / de un depósito contienen 2.400 litros, qué capacidad tiene el depósito? Representamos la situación: 2400 litros 00 litros 4000 litros del depósito = 2400 l del depósito = 00 l Total = 00 = 4000 l 2.- Los /6 de una mercancía cuestan 70 euros Cuánto cuestan los 2/ de dicha mercancía? 6 de la mercancía = 70 6 2 de 044 = 2 044 = 2 4 = 696 mercancía: 70 : = 74 Mercancía: 74 6 = 044.- Hoy he perdido cromos que son / de los que tenía. Cuántos cromos tenía? de los cromos = de los cromos = : = 6 Total cromos: 6 = 66 4.- Un frutero ha vendido los dos quintos de las manzanas que tenía y aún le quedan 7 Kg. Cuántos Kg tenía? Si vendió los dos quintos, le quedan los tres quintos de las manzanas. de las manzanas = 7 kg de las manzanas = 2 kg Total de manzanas: 2 = 2 kg.- Antonio gasta las tres cuartas partes de su dinero y le quedan 2. Cuánto dinero tenía al principio? Si gastó las tres cuartas partes, le quedan un cuarto de su dinero. de su dinero = 2 Dinero total: 2 4 = 2 4
Números racionales 4 SUMA Y RESTA DE FRACCIONES Marta tiene 0. Se gasta en el cine y 2 en una revista. Qué fracción del total le queda? Cuánto dinero le queda? Entre el cine y la revista ha gastado: 2 + + = 6 = La fracción que le queda es: 4 = Por tanto, cuántos euros representan dicha fracción? 4 de 0 = 4 0 = 40.- De un rollo de cuerda de 60 cm, Raúl ha cortado la mitad, Pedro cortó la cuarta parte del total y Juan la sexta parte del total. a) Qué fracción de cuerda han cortado entre los tres? b) Cuántos metros quedan? 2.- El espectro solar está formado por diversos colores. El rojo ocupa /, el amarillo 2/ y el anaranjado /40. Qué fracción del espectro ocupan los restantes colores? En total los tres colores ocupan: Luego, los restantes colores ocupan los 2/ que faltan. 2 + 6+ 9 40 + + = = = del espectro 40 20 20.- Una persona gasta /0 de su sueldo en vivienda, la mitad en comida y la quinta parte en otras necesidades, qué porcentaje de su sueldo ahorra al mes? Gasta: + + + + = 2 = 0 = No ahorra nada. 0 2 0 0 4.- Ana, Loli y Mar han comprado un queso. Ana se queda con la mitad; Loli con la cuarta parte, y Mar, con el resto. Sabiendo que Mar, por su porción, ha puesto euros, cuánto costó el queso entero? Porción de Ana: + = = de queso 2 4 4 4 Si un cuarto de queso cuesta Total de queso: 4 = 2
Números racionales MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES. Un frasco tiene una capacidad de 2/ de litros. Cuántos litros se necesita para llenar 0 frascos? Si simplificamos el problema cambiando los datos por números naturales: Un frasco tiene una capacidad de dos litros, cuántos litros se necesita para llenar 0 frascos? Con este enunciado es fácil identificar que la resolución del problema es una simple multiplicación: Es decir, (capacidad frasco) (número de frascos) 2 0 = 00 litros Volviendo a los datos iniciales del problema, la solución del problema es: 2 0 = 2 0 = 20 litros 2. Un frasco tiene una capacidad de 2/ de litros. Cuántos frascos se llenan con una botella de 2 litros? Simplificamos el problema con datos numéricos más sencillos: Un frasco tiene una capacidad de dos litros, cuántos frascos se llenan con una botella de litros. Con este enunciado es fácil identificar que la resolución del problema es una división: Es decir, (capacidad botella) : (capacidad frasco). :2 = 4 frascos Volviendo a los datos iniciales del problema, la solución del problema es: 2 0 2: = = frascos 2. Un rollo de 0 metros de cable eléctrico se ha cortado en trozos iguales de cuatro quintos de metro cada uno. Cuántos trozos se han obtenido? 0 : 4 = 400 : 4 = 00 Se han obtenido 00 trozos. 2.- Mezclamos 6 litros de un vino que tiene /0 parte de alcohol con litros de otro vino que tiene 2/ partes de alcohol. Qué proporción de alcohol tendrá la mezcla? 6 litros de vino con /0 de alcohol: 0 6 = 6 = l de alcohol. 0 litros con 2/ de alcohol: 2 = 2 l de alcohol. La mezcla de 9 litros contiene 2 + = = l de alcohol La proporción es /9 de alcohol en la mezcla..- Un paseante camina con pasos regulares de 6 de metro. Si da dos pasos cada segundos, qué distancia recorrerá en media hora? En tres segundos recorre 2 = m. Media hora = 0 minutos = 0 60 seg = 00 seg 6 Nº de intervalos de tres segundos: 00 / = 600 Recorre: 600 = 000 = 000 m = km
Números racionales 6 FRACCIÓN DE UNA FRACCIÓN Una huerta tiene 00 m 2 2 de superficie. Se siembra del terreno con patatas y del resto con alubias. a) Qué fracción queda aún libre? b) Cuántos m 2 quedan libres? 2 a) Fracción de terreno sembrada de patatas : del total Por tanto quedan del total 2 2 2 2 4 Fracción de terreno sembrada de alubias: dos quinto del resto, es decir, de del total: = del total Fracción de terreno sembrada: 4 + + = 4 = 9 = del total Fracción de terreno sin sembrar: 2 = del total b) Calculamos cuántos m 2 representan esta última fracción: 2 2 00 de 00 = = 600.- Un libro tiene 260 páginas. Ayer leí las tres cuartas partes y hoy / del resto. a) Qué fracción de libro he leído ya? b) Cuántas páginas me quedan por leer? + 6 4 a) He leído + de = + = = = del libro. 4 4 4 20 20 20 Gráficamente: He leído 6 4 = 20 del libro 4 b) Me queda por leer: = del libro de 260 = 260 : = 2 páginas 2.- Durante un viaje, un representante consume / de la gasolina que lleva en el depósito. En un segundo viaje consume 2/ de lo que le quedaba. Si le quedan en el depósito 2 litros Cuántos litros tenía al principio en el depósito? Queda 7 24 del depósito En el primer viaje gasta / (zona amarilla), en el segundo 2/ de lo que le queda (zona rosa) y le quedan 2 litros (zona blanca), que representa los 7 del depósito. 24 7 del depósito = 2 litros del depósito = litros Total = 24 = 72 litros. 24 24
Números racionales 7. En un programa de televisión intervienen tres médicos. El primero habla / del tiempo total, la segunda ha intervenido durante 2/ del resto y el tercero expone sus ideas en minutos. Cuánto tiempo ha durado el programa? El primer médico interviene / del tiempo (zona amarilla), el segundo 2/ de lo que le queda (zona rosa) y el tercero minutos (zona blanca), que representa los del tiempo = min El programa duró 40 minutos. del tiempo. del tiempo = min Total = = 40 min. 4.- Un poste tiene bajo tierra 2/7 de su longitud, /4 del resto sumergido en agua, y la parte emergente mide m. Halla la longitud del poste. El poste bajo tierra es 2/7 (zona amarilla), la parte sumergida en agua es /4 de lo que le queda (zona rosa) y la parte emergente son metros (zona blanca), que representa los de la longitud del poste. 2 2 de la longitud = m 2 de la longitud = m Longitud = 2 m.- En un Instituto, en º de Bachillerato, los 4/7 del alumnado estudian inglés, las dos terceras partes del resto, francés y los estudiantes restantes, alemán. Cuántos alumnos y alumnas hay en º de Bachillerato? Estudian inglés los 4/7 de l@s alumn@s (zona amarilla), francés los dos tercios del resto (zona rosa) y el resto son estudiantes (zona blanca), que representa un séptimo del total. Por tanto, el total de los estudiantes es 7 = 0 6.- Un corredor sale a correr y recorre durante la primera hora la cuarta parte del total, durante la segunda hora los 2/ del resto, quedándole todavía 9km para recorrer en las dos horas siguientes. Cuántos kilómetros ha corrido? Las dos últimas horas representan los 9/20 del recorrido: los Por tanto /20 del recorrido = km Recorrido: 20 km 9 20 del recorrido = 9 km.
Números racionales PROBLEMAS CON FRACCIONES. Cristina ha comprado fruta: las / partes son manzanas y las /6 partes son naranjas. De qué tipo de fruta ha comprado mayor cantidad? 2. Una botella de vino está llena hasta sus y otra hasta sus. Cuál contiene mayor cantidad de vino? 4. Un coche de juguete avanza dos quintos de metros por cada vuelta que dan las ruedas. Cuántas vueltas tienen que dar para recorrer 0 metros? 4. En una tienda de alquiler de vídeos, en un día alquilaron 24 películas, de las que tres séptimos eran películas de acción. Cuántas películas de acción se alquilaron? El resto, qué fracción representa?. Una fábrica de calzado fabrica diariamente 2.00 pares de zapatos. Debido a una avería, un día sólo fabrica los tres quintos, cuántos pares fabricaron ese día? 6. De un depósito que contiene 00 litros de gasolina se sacan primero los / del total y después se saca /4 del total. Qué fracción de combustible se ha sacado? Cuántos litros quedan en el depósito? 7. Pedro tenía 0 euros y ha gastado las cuatro décimas partes en libros, dos quintos en discos y un décimo en revistas. Qué fracción de su dinero ha gastado? Cuánto dinero le queda?. El dueño de una tienda vende dos tercios de los discos que tienen, y uno de los dependientes vende un quinto del resto de los discos. Qué parte de los discos que tenían han vendido? 9. Juan tiene que leer un libro de 20 páginas. Ayer leyó un tercio del libro y hoy los dos quintos de lo que le quedaba. Cuántas páginas tiene que leer todavía? 2 2 0. Aurora sale de casa con 00. Se gasta del dinero en un libro y, después, de lo que le quedaba en un disco. Con cuánto dinero vuelve a casa?. Un agricultor tiene una finca de 0.000 ha. Se reserva para él de la superficie y el resto lo reparte a partes iguales entre sus tres hijos. Uno de ellos vende los de su parte. Cuántas ha. vendió el hijo? 0 2. Una colonia de verano dispone de dos pabellones. En el pabellón A hay 20 personas. Sabiendo que en el pabellón A se encuentran los del total, cuántas personas hay en la colonia?. Pedro, con los tres quintos del dinero que tenía en su hucha, ha comprado un regalo a su hermana por valor de 27. Cuánto dinero tenía en su hucha? 4. En una clase sólo los dos tercios de los alumnos han presentado el trabajo de Tecnología. Si el profesor decide suspender a los alumnos que no lo han presentado, cuántos alumnos forman el grupo?. Julián ha gastado un cuarto de su dinero en invitar a sus amigos y un quinto en la entrada del teatro. Le han quedado 0. cuánto dinero tenía Julián? 6. En una librería un tercio de los libros son de ciencia ficción y tres quintos de intriga. Además tiene 600 libros sin clasificar. Cuántos libros tiene la librería? 7. Un agricultor siembra un tercio de su parcela con patatas y dos quintos del resto con lechugas,. Cuál es la extensión de la parcela si aún le quedan libre 600 m 2?. Adela compró una televisión que pagó en tres plazos. La primera vez pagó los dos quintos del precio total, la segunda vez un tercio del resto y la tercera vez pagó 24 euros. Cuál era su precio? 9. Un automóvil, al salir de viaje, lleva una cierta cantidad de gasolina. El viaje lo hace en dos etapas: En la primera consume 2/ de la gasolina y en la segunda / de lo que quedaba, llegando al final del trayecto con 6 litros. Con cuántos litros emprendió el viaje?