L OTNIAL LÉTRIO l campo electostático es iotacional ( = ). Un campo iotacional poiene de un campo escala; es el gadiente de un campo escala. n el caso del campo electostático, esta función se denomina potencial electostático ( = V ). Teniendo en cuenta que la fueza que actúa sobe una caga puntual q en un campo es F = q,el tabajo que hay que ealiza paa llea una caga q desde un punto a oto en conta del campo iene dado po: W = q d = q d omo = V, esulta que dv = d y po tanto: W = q V d = q( V ( ) V ( )) egún esto, la difeencia de potencial ente un punto y oto es el tabajo que hay que ealiza paa llea una caga unidad positia desde el punto al : W V ( ) V ( ) = = V d = d q La unidad de difeencia de potencial en el I es el oltio. omo la ciculación del campo electostático no depende del camino, si elegimos el potencial en un punto como efeencia podemos calcula las difeencias de potencial especto a él (Figua ). (x, y, z) V ( x, y, z ) V ( A ) = A d A Figua y eligiendo V = esulta: De este modo podemos calcula los potenciales de cada punto efeidos al punto A. n geneal, cuando tenemos distibuciones de caga finitas, es deci, no hay cagas en el infinito, se le asigna al potencial en el infinito el alo ceo, es deci: V( ) V V( ) = = d d uando la distibución de caga es finita se puede defini el potencial en un punto como el tabajo que hay que ealiza paa tae la unidad de caga positia desde el al punto. = V ; el signo menos se elige po coneniencia ya que: dv = V d = V d cosα dv es máxima si cosα=, es deci, si nos moemos en la diección del gadiente de potencial. V señala en la diección de máxima aiación de la función. e elige el signo menos paa que el campo señale en la diección en la que disminuye más ápidamente el potencial. OTNIAL DBIDO A UNA DITRIBUIÓN D ARGA A pati del campo ceado po una caga puntual:
= K q e obtenemos el potencial debido a una caga puntual: q = q V ( ) V = d = K d k i tenemos un conjunto de cagas puntuales, el potencial es la supeposición de los potenciales debidos a cada caga: q O q qi V ( ) = K i i N q N i tenemos una distibución continua de caga, el potencial seá la contibución de infinitos elementos de caga difeenciales: ' dq 3' dq ( ') d dv = k = k ' ' O ( ' ) 3 V ( ) = d ' 4π ' sta integal se extiende a todo el ecinto en el que se distibuye la caga. Una ez obtenido el potencial se puede deduci el campo eléctico a pati de = V. URFII QUIOTNIAL Una supeficie equipotencial es el luga geomético de puntos que tiene el mismo alo del potencial. i tenemos una distibución de potencial epesentada po la función V( ), la ecuación de las supeficies equipotenciales se obtiene a pati de la expesión: V ( cuación de ) = las supeficies equipotenciales 8
jemplo: Obtene las supeficies equipotenciales debidas a una caga puntual Teniendo en cuenta que el potencial debido a una caga puntual es supeficies equipotenciales asociadas a esta distibución iene dada po: q V ( kq ) = k = y de aquí = te q V ( ) = k, la ecuación de las =. s deci, las supeficies equipotenciales son esfeas. l campo electostático es pependicula a las supeficies equipotenciales n todos los puntos, las líneas de campo eléctico son pependiculaes a las supeficies equipotenciales. Dado que dv = d, si nos moemos a lo lago de una supeficie equipotencial tenemos dv=, po tanto d = d. jecicio: alcula el tabajo necesaio paa llea una caga unidad positia desde un punto a oto a lo lago de una supeficie equipotencial ( y petenecen a la misma supeficie equipotencial) Teniendo en cuenta que el tabajo po unidad de caga necesaio paa llea la unidad de caga positia de un punto a oto es la difeencia de potencial ente los dos puntos esulta: V ( ) = V( ) W q = UAION D OION Y LALA n una egión donde existe una densidad de caga tenemos (foma difeencial de la ley de Gauss): = También sabemos que = V, entonces ( V ) = V =. Al opeado se le llama opeado de Laplace, laplaciano o también nabla cuadado y se epesenta po. Teniendo en cuenta esto, nos queda: cuación V = de OION n egiones del espacio en las que no existe densidad de caga (=) la ecuación de oisson se educe a la ecuación de Laplace: cuación V = de LALA La ecuación de Laplace es de gan impotancia en Física; la teoía del potencial se educe en muchos casos a un estudio de las soluciones de esta ecuación sometidas a unas cietas condiciones de contono. ONDIION D ONTORNO Los poblemas istos hasta ahoa no inolucaban más de una supeficie que sepaa distintos medios y además hemos estado tabajando en el acío. n el acío, la pemitiidad 38
tiene un alo =8.854 - Fm. n cualquie oto medio, la pemitiidad es distinta y la denotaemos po. n su momento eemos que en un medio mateial en el seno de un campo eléctico se poduce "un eagupamiento" de las cagas y se define un ecto D = (desplazamiento eléctico) cuyas fuentes son las cagas libes, mientas que paa el campo eléctico las fuentes son tanto las cagas libes como las que se inducen po "polaización". i el medio es lineal e isótopo la pemitiidad es constante. La ley de Gauss genealizada en medios mateiales es: D d = q A pati del teoema de Ostogadsky-Gauss (Teoema de la diegencia) obtenemos: D d = DdV = dv n el acío D = y se obtiene la Ley de Gauss como la conocíamos. n un medio lineal e isótopo el poblema del potencial consiste en esole la ecuación de oisson (o la de Laplace en una egión sin cagas) con unas deteminadas condiciones de contono. Las condiciones de contono son el alo del potencial o de su deiada (los campos) en la fontea que sepaa los medios. ondiciones de fontea paa los campos a.- n la componente nomal: Aplicamos la ley de Gauss genealizada al cilindo de la figua que se encuenta en la intefase de dos medios. uponemos que en la intefase de los medios hay una densidad supeficial de caga libe σ: e h n n e D D h D d = D nd + D n d + D d = L σd l flujo del ecto desplazamiento eléctico a taés de la supeficie lateal es ceo ya que la altua del cilindo es pácticamente nula. o tanto, ( D n + D n ) d = ( D D ) nd = σd De esta ecuación deducimos las elaciones ente las componentes nomales del desplazamiento eléctico en la intefase de dos medios mateiales: D n Dn = σ i no hubiea densidad de caga libe en la intefase de los medios (situación muy fecuente), esultaía: D n = D n ontinuidad de la componente nomal del desplazamiento eléctico σ i = = esulta n n = uando hay una densidad de caga libe, se pesenta una discontinuidad del campo eléctico nomal a intefase. 48
b.- n la componente tangencial n la figua, a lo lago de la cua, la ciculación del campo eléctico es nula: e e h L h d = B D d + d = A L d = ( t t dl t ) = = t h B ( ) t = t n = ya que seía álido paa cualquie cua. s deci, la componente tangencial del campo eléctico es continua en la intefase de dos medios. L A D jecicio: Qué ángulo foman los campos en la intefase de dos medios suponiendo que no hay caga libe en la misma? e e a a Teniendo en cuenta que si no hay caga en la intefase de dos medios, la componente nomal del desplazamiento eléctico es continua y además que la componente tangencial del campo también lo es obtenemos: n = t t n = n = n D n Dn = n = n = tg α = Las condiciones de contono sobe el potencial se deducen a pati de las condiciones de fontea de los campos teniendo en cuenta que: = V n = V n = ; t = V et = t D n = 58
La condición de contono de discontinuidad de la componente nomal del desplazamiento eléctico se escibe así: = σ La continuidad de la componente tangencial del campo eléctico da luga a: = V = V + t t que implica la continuidad del potencial en la intefase de dos medios salo una constante, que en geneal se elige igual a ceo po coneniencia V = V. s deci, el potencial es una función continua en la intefase de dos medios. La ecuación de oisson junto con las condiciones de contono constituye el poblema a esole paa enconta el potencial. Ω Ω: egión inteio : fontea de Ω Ω Ω V = ondiciones de contono: V en Ω ó en Ω ste poblema tiene solución única (Teoema de unicidad) Los aloes del potencial o de su deiada nomal en la fontea condicionan el alo del potencial en toda la egión n las egiones en las que no existe densidad de caga, hay que esole la ecuación de Laplace con las condiciones de contono. Demostación del teoema de unicidad l teoema de unicidad se enuncia así: La solución de la ecuación de oisson con unas deteminadas condiciones de contono es única. egún el teoema de unicidad podíamos pasa del poblema dado a oto más cómodo que diea luga a la misma solución. upongamos que V y V son soluciones del poblema de potencial anteio. obaemos que V = V en toda la egión o que V = V + en caso de que las condiciones de contono engan dadas sobe las deiadas nomales. egún esto tenemos: V V = = ondiciones de contono: V = V en Ω ó V = en Ω 68
Tomamos V=V - V. ntonces esulta: V = ondiciones de contono: V = en Ω ó = en Ω Vamos a e que V= en toda la egión. Aplicamos el teoema de la diegencia a V V dv = V + V V dv = V V d ( ) ( ) Vol Vol V V : Dado que V = esulta: V Vol dv = V V d = ( V V ) d Teniendo en cuenta que V y V satisfacen las mismas condiciones de contono en la fontea esulta: V Vol dv = V ntonces V= en toda la egión ó V=te si las condiciones de contono son sobe las deiadas nomales = MÉTODO GNRAL ARA LA ROLUIÓN D ROBLMA D OTNIAL Método de las imágenes ste método se fundamenta en el teoema de unicidad. ualquie poblema electostático cuya solución eifique las condiciones de contono de un poblema dado podía sustituise po este y ambos tendían la misma solución. n la páctica supone que podemos sustitui un poblema dado po oto más fácil de esole. ste método es especialmente coneniente cuando hay inolucadas supeficies conductoas. l método de las imágenes implica la conesión de un campo eléctico en oto equialente más fácil de calcula. n cietos casos es posible sustitui un conducto po una o más cagas puntuales, de modo que las supeficies conductoas se sustituyen po supeficies equipotenciales a los mismos potenciales. Ve página web http:www.sc.ehu.essbwebfisicaelecmagnetcampo_electicoimagenesimagenes.htm l caso más sencillo es el de una caga q situada a una distancia d de una placa conductoa conectada a Tiea. La placa puede eemplazase po una caga imagen -q, tal como se muesta en la figua. 78
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