Algunos números curiosos

Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No.11 (2010) 41 Algunos números curiosos A la memoria de Enzo R. Gentile Sin dudas, los números primos constituyen la vedette de la Teoría de Números. Recordamos que entre los números naturales n : 1, 2, 3,... los números primos son aquellos mayores que 1 y que no pueden expresarse como producto de números naturales mayores que 1. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97 son todos los primos menores que 100. El resultado más antiguo sobre números primos es el teorema que establece que hay infinitos primos. La demostración a este teorema dado por Euclides y que aparece en su Libro IX de elementos es sin duda una de las más hermosas demostraciones que se conocen. La propiedad que hace de los primos protagonistas fundamentales, es el llamado Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que todo número natural mayor que 1 es producto de primos y en forma unívoca. O sea los primos son los bloques esenciales de la Aritmética. Pero lo más fascinante de los números primos es la posibilidad de formular la más amplia variedad de problemas, de simples enunciados, pero la mayoría de las veces imposibles de resolver, Por ejemplo, i) Habrá muchos primos cuyos dígitos en el desarrollo decimal son todos 1? Por ejemplo 11 es un tal primo. Escribamos U n para denotar un número cuyos dígitos son todos 1. Digamos que sólo se conocen 4 primos del tipo U n y estos ocurren para n = 2, 19, 23 y 317. Se ignora si existen infinitos de tales primos. Un problema parecido es saber si existen infinitos primos cuyo desarrollo decimal empiece y termine con el dígito 1 y los demás

42 Sociedad de Matemática de Chile dígitos sean 0. Por ejemplo 101 es primo, pero 1.001 = 7 11 13,, 10.001 = 73 137. No se sabe si existen infinitos primos de tal forma. ii) Habrá infinitos primos de la forma n 2 + 1? de la forma n 2 + (n + 1) 2? iii) Habrá infinitos primos de la forma 2 n + 1? de la forma 2 n 1? iv) Habrá infinitos pares de primo gemelos: 3, 5; 5, 7; 11, 13; 17, 19,...? v) Es todo número par > 2, suma de dos primos? vi) Hay primos cuyo desarrollo decimal esté formado por 500 dígitos? vii) Hay infinitos primos de la forma x 3 + y 3 + z 3? viii) Habrá primos cuyo desarrollo decimal termine en los dígitos? 123456789 000000001 333333333... Más aún, habrá primos cuyos desarrollos decimales : 1) empiezan con una asignación arbitraria de dígitos? 2) terminan con una asignación arbitraria de dígitos? Nota: Obviamente aqui debemos pedir que el último dígito sea distinto de 0, 2, 4, 5, 6, 8 3) empiecen y terminen con asignaciones prefijadas? Por ejemplo, uno podría preguntarse si dados dos primos p y q Habrá un primo cuyo desarrollo decimal comience con los dígitos de p y termine con los dígitos de q? El objeto de este artículo es mostrar que estos tres últimos problemas, sobre números primos, se pueden resolver afirmativamente y además que en cada

Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No.11 (2010) 43 caso hay infinitos primos que satisfacen las condiciones impuestas. Empecemos por presentar la función π, de distribución de los primos, π(x) = cantidad de primos menor o igual que x, definida para todo número real x no negativo. Algunos valores para esta función son : π(0) = 0, π(3/2) = 0, π(17/3) = 3, π(100) = 25, π(1000) = 168. Teorema 1 (TNP) La función π(x) satisface que: x π(x) x/ log(x) = 1. Esto se interpreta como: La cantidad de primos menores o iguales que x, para x grande, es aproximadamente el valor x. log(x) El (TNP) fue conjeturado por Gauss(1777-1855), a la edad de 15 años, pero su demostración se obtuvo en 1896, por los matemático Charles Jean de la Vallés-Poussin(1866-1962) belga y Jacques Hadamard(1865-1963) francés, en forma independiente. El segundo teorema en cuestión es el siguiente. Teorema 2 (Primos en progresión aritmética(tppa)) Sean a y b enteros positivo y comprimos. Entonces la progresión aritmética: a + n b, n N, contiene infinitos primos. Este teorema fue probado por Gustav Peter Lejeune Dirichlet(1805-1853). Digamos que la llamada Teoría Analítica de Números puede decirse que comienza con la obra de Dirichlet, particularmente con el TPPA, publicado en una memoria de 1837.

44 Sociedad de Matemática de Chile El problema 2. tiene una solución inmediata utilizando este último resultado. En efecto, siendo el número b de dígitos b 1 b s, coprimo con 10 y cualquier potencia de 10 (dado que b s 0, 2, 4, 5, 6, 8) existen infinitos primos de la forma b i b s + 10 s n Pero todos estos números terminan obviamente en b 1 b s. Hemos entonces probado 2. y además que ese problema tiene infinitas soluciones. A fin de probar 1. y 3. haremos uso del siguiente Lema de carácter elemental que sólo utiliza propiedades básicas de límites. Lema 1 Sea a N. Entonces (π(10 n (a + 1)) π(10 n a) =. n Demostración. Se sigue del (TNP) que Además, y dado que resulta que π(10 n (a + 1)) (n log(10) log(a + 1)) n 10 n (a + 1) π(10 n a) (n. log(10) + log(a)) n 10 n a n. log(10) + log(a + 1) n n. log(10) + log(a) π(10 n (a + 1)) n π(10 n a) = a + 1 a = 1. = 1 = 1 O sea, π(10 n (a + 1)) a π(10 n a) 1 π(10 n a) a cuando n. Puesto que el denominador tiende a concluimos que n π(10n (a + 1)) π(10 n a)) = Q.E.D Se sigue de este Lema que para todo n suficientemente grande existe un primo p que satisface 10 n a < p < 10 n (a + 1).

Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No.11 (2010) 45 Supongamos sin pérdida en generalidad, que a r < 9 (si a r = 9 consideramos al número con dígitos a 1 a r a r+1, con a r+1 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8). Se sigue entonces del Lema 1 la existencia de un primo p que satisface a 1 a 2 (a r + 1)00 0 < p < a 1 a 2 a r 00 0 (n ceros) Nos planteamos entonces los siguientes problemas. Sean a y b números naturales cuyos desarrollos o expresiones decimales son respectivamente: a 1 a 2 a r, 0 a i < 10, 1 a 1 b 1 b 2 b 2, 0 b 1 < 10 d, b s {1, 3, 7, 9} Se trata de encontrar números primos p en las situaciones siguientes: 1. a 1 a 2 a r son los dígitos iniciales de p, o sea p = a 1 a 2 a r. 2. b 1 b 2 b s son los dígitos finales de p, o sea p = b 1 b 2 b s. 3. Ambas situaciones 1. y 2. O sea, el desarrollo decimal de p comienza con los dígitos a 1 a r y termina con los dígitos b 1 b s : p = a 1 a r b 1 b s. Las tres afirmaciones son verdaderas. La afirmación 3. se debe a W. Sierpinski (1882-1969) ( Sur les nombres premiers ayant des chiffres initiaux et finals donnes, Acta Arith. 5(1959)). Por ejemplo, hay infinitos primos que terminan en los dígitos 0000000000001 1111111111111 1212121212121 o que empiezan con los dígitos

46 Sociedad de Matemática de Chile 1000000000000 222222222222 1111111111111 1010101010101 y combinaciones de estas situaciones. El lector podrá imaginarse la extrema dificultad de probar estas afirmaciones si se piensa en utilizar métodos elementales. Bastaría intentar problemas muchísimo más sencillo tales como: probar la existencia de infinitos primos cuyo primer dígito sea 1. Las demostraciones de estas afirmaciones son, no obstante, simples consecuencias de potentes teoremas de la teoría analítica de números. Uno de los teoremas a que hicimos ( referencia ) anteriormente es el Teorema de π(x) los Números Primos (TNP), x = 1 (log = logaritmo natural) x/ log(x) La primera estimación de la función π(x) fue hecha por P. L. Chebyshev (1821-1894). En 1852 probó la acotación, 0.92 < π(x) x/ log(x) < 1.11 para todos los x suficientemente grandes, o también a 1 a 2 a r 99 9 p < a 1 a 2 a r 00 0 (n nueves y n ceros) Por lo tanto p tiene los r primeros dígitos coincidentes con a 1 a r esto queda probado 2. y con Notar que otro corolario del Lema es la existencia de primos cuyas primeras r cifras coinciden con a 1 a r. Pasemos entonces a demostrar la existencia de infinitos primos que empiezan con los dígitos a 1 a r y terminan con b 1 b s, como se afirma en el problema 3.

Revista del Profesor de Matemáticas, RPM No.11 (2010) 47 Aquí haremos uso de otro importante teorema que es la Intersección de los dos anteriores. Se trata de hallar la distribución de primos que satisfacen cierta relación de congruencia. Dicho precisamente, dados enteros positivos b, k, coprimos, definimos la función : π(x, k, b) = número de primos p > 0, p x y p b (mod k ) donde p b (mod k ) denota congruencia módulo k y equivale a decir que la diferencia p b es divisible por k, o también que p = b+ múltiplo de k. Se trata de estudiar el comportamiento de la función π(x, k, b) cuando x tiende a. Para anunciar el teorema necesitamos recordar la función de Euler ø(n) = número de enteros positivos menores o iguales a n y además coprimos con n. Por ejemplo: ø(1) = 1, ø(2) = 1, ø(3) = 3, ø(4) = 2, ø(5) = 4, ø(6) = 2, ø(7) = 6, etc.. Todo número coprimo con k es congruente, módulo k, a uno y solo uno de los ø(k) restos coprimos con k. Por ejemplo si un entero no es divisible por 5, entonces es congruente (mod 5) a uno y sólo uno de los números: 1, 2, 3, 4. Si un número es impar entonces es congruente (mod 4) a uno y sólo uno de los números: 1, 3. En particular todo número primo, coprimo con k, es congruente (mod k) a uno y sólo uno de los restos de k, coprimos con k. Hay pues ø(k) clases de restos de primos coprimos con k. Volviendo a nuestra función π(x, k, a) está claro que lo que queremos determinar es el carácter de esta función cuando x tiene a infinito. El teorema fundamental establece la relación TNPPA) π(x, k, a) x x/ log(x) = 1 ø(k) de lo cual se sigue que, a grosso modo, en cada una de las ø(k) clases módulo k, hay la misma cantidad de primos. En efecto, utilizando el TNP podemos

48 Sociedad de Matemática de Chile escribir el límite precedente en la forma π(x, k, a) x π(x) = 1 ø(k) La primera demostración de este teorema fue dada Charles de la Vallée Poussin (1866-1962). Volvamos a la resolución del problema 3. Sea a el número de dígitos a 1 a r y b el número de dígitos b 1 b s. Por hipótesis (b, 10) = 1. Aplicaremos el TNPPA a la situación k = 10 r, a = b y por razones de simplicidad escribimos π(x, 10 r, b) = π (x). Repitiendo el razonamiento en el Lema llegamos a que n π (10 n (a + 1)) π (10 n a) por lo tanto desde un cierto n en adelante = a + 1 a nπ (10 n a) < π (10 n (a + 1)) lo cual asegura la existencia, para tales n > r, de primos p que satisfacen > 1 i) 10 n a < p < 10 n (a + 1) ii) p b (mod 10 r ) La condición ii) dice que p termina con los dígitos de b y la condición i) que comienza con los dígitos de a.