Ejecicios esueltos Boletín 1 Leyes de Keple y Ley de gavitación univesal Ejecicio 1 Dos planetas de masas iguales obitan alededo de una estella de masa mucho mayo. El planeta 1 descibe una óbita cicula de adio 1 = 10 8 km con un peiodo de otación T 1 = años, mientas que el planeta descibe una óbita elíptica cuya distancia más póxima es 1 = 10 8 km y la más alejada es = 1,8 10 8 km tal y como muesta la figua. Cuál es el peiodo de otación del planeta? Solución 1 Paa un objeto que ecoe una óbita elíptica su distancia media al asto cental coincide con el valo del semieje mayo de la elipse. De la figua adjunta se deduce que la distancia media del planeta a la estella es: = 1 + Aplicando la tecea ley de Keple: = 108 + 1,8 10 8 = 1,4 10 8 km 1 1 = Y sustituyendo: (10 8 ) = (1,4 10 8 ) Despejando el peiodo de otación del planeta es: =, años.
Ejecicio Calcula la masa del Sol, consideando que la Tiea descibe una óbita cicula de 150 millones de kilómetos de adio. Solución Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento de taslación de la Tiea, se cumple que: F = m T a N G ms m T = m T v G ms = v Sustituyendo la velocidad de la Tiea po su elación con el peiodo de taslación, se tiene: G ms = 4 π m S = 4 π G El peiodo es (tomando el año como 65,5 días): T =,156 10 7 s Ejecicio m S = 4 π 6,67 10 (150 10 9 ) 11 (,156 10 7 ) =,01 100 km La masa de la Luna es 1/81 de la masa de la Tiea y su adio es 1/4 del adio de la Tiea. Calcula lo que pesaá en la supeficie de la Luna una pesona que tiene una masa de 70 kg. Solución Aplicando la ley de gavitación univesal en la supeficie de la Luna, se tiene: P L = G ml m R L = G (m T /81) m (R T /4) = 16 81 G m T P L = 16 9,8 70 = 15,5N 81 m = 16 81 g 0,T m Ejecicio 4 Expesa en función del adio de la Tiea, a qué distancia de la misma un objeto que tiene una masa de 1 kg pesaá 1 N.
Solución 4 Aplicando la ley de gavitación univesal: P = F T,obj = G mt m Aplicando la elación: G m T = g 0, se tiene: = = G mt m P g 0 = G mt g 0 m P = R T 9,8 1 1 =,1 R T Ejecicio 5 Calcula el momento angula de la Tiea especto al cento del Sol, despeciando el movimiento de otación de la Tiea sobe sí misma y consideando a la óbita de la Tiea como cicula. Datos: M T = 6 10 4 kg; óbita = 1,5 10 8 km Solución 5 La velocidad de taslación de la Tiea alededo del Sol es: v = π t = π 1,5 108 65 4 600 = 0 km/s Consideando a la Tiea y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que la óbita de la Tiea es cicula alededo del Sol, entonces el vecto de posición y el vecto velocidad de la Tiea especto al Sol son siempe pependiculaes. Po tanto, el momento angula de la Tiea especto del Sol es un vecto pependicula al plano de la óbita del planeta, cuyo módulo es: L = m v = m v sin 90 = 1,5 10 11 6 10 4 10 4 =,7 10 40 kg m / s Ejecicio 6 La Tiea en su peihelio está a una distancia de 147 millones de kilómetos del Sol y lleva una velocidad de 0, km/s. Cuál es la velocidad de la Tiea en su afelio, si dista 15 millones de kilómetos del Sol? Solución 6 La diección de la fueza con la que actúa el Sol sobe la Tiea coincide con la diección del vecto de posición de la Tiea especto del Sol, po lo que el momento angula de la Tiea especto del Sol pemanece constante a lo lago de toda la tayectoia. L peihelio = L afelio
Aplicando la definición de momento angula y como el vecto de posición es pependicula a la velocidad, se tiene: p m v p = a m v a p v p = a v a 147 10 6 0, = 15 10 6 v a v a = 9, km/s Ejecicio 7 Calcula el peiodo de la estación espacial intenacional (ISS), sabiendo que gia en una óbita situada a una distancia media de 400 km sobe la supeficie de la Tiea. Datos: R T = 670 km; g 0 = 9,8 m/s Solución 7 El adio de la óbita es: = R T + 400 km = 670 10 + 400 10 = 6,77 10 6 m. Aplicando la segunda ley de Newton y consideando la óbita cicula, se tiene: F = miss a N Despejando y como se tiene que el peiodo es: T = π Ejecicio 8 G m T = π G MT m ISS = m ISS v G mt = v = 4 π g 0 g 0 = G m T = π (6,77 106 ) 9,8 (6,7 10 6 ) = 5,6 10 s = 9 min Un satélite atificial se dice que es geoestacionaio si está siempe en la vetical de un cieto punto de la Tiea. A qué altua están los satélites geoestacionaios? Cuál es el momento angula especto del cento de la Tiea de un satélite geoestacionaio de 500 kg de masa? Puede habe satélites geoestacionaios en la vetical de un punto de España? Datos: R T = 670 km; g 0 = 9,8 m/s 4
Solución 8 Paa que un satélite sea geoestacionaio su peiodo de evolución tiene que se el mismo que el de la Tiea: T = 4 h. Aplicando la segunda ley de Newton a la óbita, de adio, y como se tiene: v = π T F = m an Despejando y opeando: queda: G MT m = m v G mt = 4 π g 0 = G m T = G m T 4 π g = 0 R 4 π Sustituyendo y como T = 8,6 10 4 s, se tiene: = 9,8 (670 10 ) (8,64 10 4 ) 4 π = 4, 10 7 m = 400 km La altua del satélite sobe la supeficie de la Tiea es: h = R T = 400 670 = 580 km6000 km La óbita geoestacionaia está situada sobe el ecuado, po lo que el momento angula del satélite es un vecto pependicula al plano del ecuado teeste. La velocidad del satélite es: v = π T = π 4, 107 8,64 10 4 =,07 10 m/s Como los vectoes de posición y velocidad del satélite son pependiculaes, su módulo es: L 0 = m v = m v = 4, 10 7 500,07 10 = 6,48 10 1 kg m /s Paa que una óbita sea estable debe pasa po el cento de la Tiea, ya que en caso contaio la diección del vecto fueza y del vecto de posición del satélite especto del cento de la óbita no son paalelos y el momento angula del satélite especto del cento de la óbita no se conseva. Paa que el satélite sea geoestacionaio su peiodo tiene que se el mismo que el de la Tiea. Po Tanto, un satélite geoestacionaio está en la vetical de un punto del ecuado teeste, no puede esta situado sobe la vectical de un punto de España, ni de ningún luga fuea de la línea ecuatoial. 5