Matrices elementales Jana Rodriguez Hertz GAL 1 IMERL 4 de abril de 2013
transformaciones elementales transformaciones elementales recordemos: transformaciones elementales llamamos transformación elemental en una matriz a 1 multiplicar una fila por una constante α 0 2 intercambiar dos filas de lugar 3 sumarle a una fila un múltiplo de otra
matrices elemental matriz elemental matriz elemental llamamos matriz elemental a toda matriz que resulte de aplicar una transformación elemental a la matriz identidad
matrices elemental matriz elemental matriz elemental tipo 1 1 0 0 0 0 1 0 0 E α i = 0 0 0 α 0 0 0 0 1 F i
matrices elemental matriz elemental matriz elemental tipo 2 1 0 0 0 0 0 1 0 E i,j = 0 1 0 0 0 0 0 1 F i F j
matrices elemental matriz elemental matriz elemental tipo 3 1 0 0 0 0 1 0 0 E i+α j = 0 α 1 0 0 0 0 1 F j F i + αf j
proposición proposición A M m n (K) matriz m n realizamos una transformación elemental y obtenemos una matriz B M m n (K) entonces B = EA donde E es la matriz elemental asociada a la transformación
ejemplo ejemplo A = 1 0 2 1 2 1 3 6 1 4 4 0 E 3+3 1 = 1 0 0 0 1 0 3 0 1 asociada con la operación: F 3 F 3 + 3F 1 1 0 2 1 1 1 3 6 1 4 4 0 1 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 1 3 6 3 0 1 4 4 10 3
ejemplo ejemplo A = 1 0 2 1 2 1 3 6 1 4 4 0 E 1,2 = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 asociada con la operación: F 2 F 1 1 0 2 1 1 1 3 6 1 4 4 0 0 1 0 1 1 3 6 1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 1 4 4 0
ejemplo ejemplo A = 1 0 2 1 2 1 3 6 1 4 4 0 E 5 1 = 5 0 0 0 1 0 0 0 1 asociada con la operación: F 1 5 F 1 1 0 2 1 1 1 3 6 1 4 4 0 5 0 0 5 0 10 5 0 1 0 1 1 3 6 0 0 1 1 4 4 0
a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn 1 0 0 a 11 a 12 a 1n 0 α 0 αa i1 αa i2 αa 1n 0 0 1 a m1 a m2 a mn
ejercicio: completar para los otros dos casos
escalerizando corolario corolario toda matriz A puede reducirse a su forma escalerizada multiplicándola por un número finito de matrices elementales o sea, existen E 1,, E k matrices elementales tales que E k E 2 E 1 A = B escalerizada
escalerizando es una consecuencia del hecho de que toda matriz se puede escalerizar en un número finito de transformaciones elementales
escalerizando proposición proposición consideremos una matriz cuadrada A M n (K) si rango(a) = n, entonces hay un número finito de matrices elementales E 1,, E k tales que E k E 2 E 1 A = I
escalerizando recordemos que rango(a) =número escalones de A = n entonces, multiplicando a A por un número finito de ME obtenemos α 11 α 12 α 1n 0 α 22 α 2n 0 0 α nn con α ii 0
escalerizando como todos los α ii 0 podemos multiplicar por E i α 1, i = 1,, n ii y obtenemos 1 α 12 α α 11 1n 11 α 0 1 2n α 22 0 0 1
escalerizando es decir 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 multiplicamos por E i n con i = 1,, n
escalerizando y obtenemos 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 luego multiplicamos por E i (n 1) con i = 1,, n 1 y asísucesivamente, obtenemos I
invertibilidad proposición invertibilidad de las matrices elementales toda matriz elemental es invertible la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental
invertibilidad : matrices de tipo 1 la inversa de E i α con α 0, es E i α 1 1 0 0 0 α 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 α 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1
invertibilidad del mismo modo la inversa de E i,j es E i,j la inversa de E i+α j es E i α j ejercicio: demostrar
invertibilidad corolario criterio de invertibilidad una matriz es invertible si y sólo si se puede escribir como producto de matrices elementales es decir, A invertible A = E 1 E 2 E k
invertibilidad A invertible rango(a) = n E k E 1 A = I x proposición anterior como cada E i es invertible: A = E 1 1 E 1 k la inversa de una matriz elemental es una matriz elemental
invertibilidad supongamos que A es producto de matrices elementales E 1 A = E k E 1 1 E 1 k A = E 1 1 E 1 k E k E 1 = I A tiene inversa a izquierda A es invertible