VECTORES EN EL ESPACIO DEF.- Se llama vector fijo de extremos A y B al segmento orientado AB, y se representa por Todo vector fijo queda caracterizado por { Dos vectores fijos se dice que son equivalentes, iguales o equipotentes si y solo si tienen la misma dirección, sentido y módulo ; o sea :. La relación es una relación de equivalencia, ya que tiene las propiedades : REFLEXIVA : ; SIMÉTRICA : si TRANSITIVA : { Se llama CLASE DE EQUIVALENCIA DEL VECTOR y se representa por [ ] a :, - { } = Cada clase de equivalencia se denomina vector libre y se representa por Representamos por * + En definimos dos operaciones : SUMA : que es la diagonal del paralelogramo que se puede formar con esos vectores Es una operación interna Conmutativa Asociativa : ( ) ( ) Existe elemento neutro Existe elemento simétrico ( opuesto ) ; ( tiene la misma dirección y módulo, solo cambia el sentido ) PRODUCTO POR ESCALARES : { Es una operación externa Distributiva con respeto a la suma de vectores α ( )
Distributiva con respeto a la suma de escalares : ( ) ( ) ( ) = ( ) Por tener esas propiedades, ( dimensión 3. ) tiene estructura de espacio vectorial real de Sea *( ) + En definimos dos operaciones : SUMA: ( x, y, z ) + ( a,b,c ) = ( x+a,y+b, z+c ) Es una operación interna Conmutativa : ( x, y,z ) + ( a,b,c ) = ( a,b,c ) + ( x,y,z ) Asociativa : [ ( x,y, z) +(a, b, c )] + (p, q, r ) = ( x, y, z )+ [ ( a, b, c) +( p, q, r ) ] Existe elemento neutro (0, 0,0 ) Existe elemento simétrico : ( ) ( ) PRODUCTO POR ESCALARES : ( ) ( ) Es una operación externa Distributiva con respecto a la suma de elementos de :, ( ) ( )- ( ) ( ) Distributiva con respecto a la suma de escalares : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( )-, ( )- ( ) ( ) Por lo tanto, ( ) tiene estructura de espacio vectorial real de dimensión 3. DEF.- * + es una BASE de { cualquier vector de se puede escribir como combinación líneal de, o sea, de forma única. Eses números se llaman COORDENADAS del vector en la base β, luego identificamos el vector con sus coordenadas, es decir ( ) Así como en el plano,dos vectores NO paralelos formaban una base, en el espacio tres vectores NO coplanarios ( es decir, que no estén contenidos en el mismo plano) forman base.
β es una BASE NORMAL β es una BASE ORTOGONAL { β es una BASE ORTONORMAL ( canónica ) si es normal y ortogonal. COORDENADAS DE UN VECTOR DADO POR DOS PUNTOS A( ) y B( ) ( ) PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES DEF.- El producto escalar de dos vectores se define como : ; siendo α el ángulo que forman los dos vectores. ( fijarse que el producto escalar es un número real, NO un vector ). El ángulo se toma el menor posible. El producto escalar está bien definido, es decir, no depende de los representantes elegidos. Si hacemos INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO ESCALAR : El producto escalar de dos vectores es igual al producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre él.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR: Conmutativa : ; Distributiva con respecto a la suma de vectores : ( ) ( ) ( ) ( ) Condición de perpendicularidad : { EXPRESIÓN ANÁLITICA DEL PRODUCTO ESCALAR. Sean + y ; luego : + Que si la base es la canónica ( ortonormal ), queda : Analogamente, el módulo de un vector : que en la base canónica queda : Y el ángulo que forman dos vectores : PRODUCTO VECTORIAL Se define el producto vectorial de dos vectores un vector que tiene : y se representa por como Dirección : es perpendicular a Sentido : regla del sacacorchos Módulo : ; siendo el ángulo que forman los dos vectores INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL MÓDULO DEL PRODUCTO VECTORIAL = área del paralelogramo que forman los dos vectores.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL Anticonmutativa : Distributiva respecto a la suma de vectores : ( ) ( ) ( ) ( ) EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL ; y ; luego el producto vectorial : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Y como y ; ; ; ; quedaría : PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES Se define el producto mixto de tres vectores y se representa por, -, - ( ) ( ) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO MIXTO. El producto mixto de tres vectores coincide con el volumen del paralelepípedo que se puede formar con los tres vectores, - = ( )
Si es un tetraedro PROPIEDADES DEL PRODUCTO MIXTO. Como el producto mixto coincide con un determinante, tendrá todas las propiedades de estos. Distributiva respeto a la suma de vectores :[ ] [ ] [ ], -, -, -, -, -, -, - si algún vector es 0 o son coplanarios.