Siendo α, x, c los valores que se desean transformar.

7.1. ÁNGULOS CAPÍTULO VII GEOMETRÍA 7.1.1. DEFINICIÓN Se llama ángulo al conjunto de puntos formados por la unión de dos rayos no colineales que tienen el mismo punto de origen. A los dos rayos se les llama lados del ángulo y a su punto extremo común se le llama vértice. 7.1.3. TRANSFORMACIÒN ENTRE SISTEMAS Cuando desees transformar de un sistema a otro, basta con realizar una ecuación que se plantea como una proporción. Como los sistemas están creados para realizar medición de ángulos, entre ellos se encuentran en una proporción directa. Para realizar las transformaciones, basta con plantear la siguiente proporción: α x c = = 2π 360º 400º Siendo α, x, c los valores que se desean transformar. 7.1.4. SISTEMA SEXAGESIMAL Su unidad fundamental es el GRADO SEXAGESIMAL ( º ), el cual a su vez está subdividido en MINUTOS ( ) y SEGUNDOS ( ). Las equivalencias entre ellos son: La figura muestra un ángulo formado por la unión de los rayos OA y OB, cuyo origen común o vértice es el punto O. Para designar un ángulo utilizaremos el signo ó, y escribiremos AOB ó BOA. Se lee ángulo AOB ó ángulo BOA. Comúnmente se designan por una letra griega (α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), etc.). 7.1.2. SISTEMAS DE MEDICIÓN A continuación se muestran tres sistemas de medición para ángulos. Se basan en la medida del ángulo completo, es decir, del ángulo que se forma al dibujar una circunferencia. Sistema Sistema Sistema Circular Centesimal Sexagesimal Completo 2 π rad 400º 360º El sistema circular es usado comúnmente en física, álgebra y cálculo (de Educación Superior). El Sistema Centesimal ya prácticamente no se utiliza. El Sistema que se utilizará de aquí en adelante será el Sexagesimal. 1º=60 y 1 =60 Para sumar o restar medidas en ángulos, se deben operar las mismas unidades, es decir, grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. El resultado hay que expresarlo como las horas en un reloj, es decir, si el minutero pasa de 59 a 60, en realidad regresa a 0 y se agrega una hora al horario. En el sistema sexagesimal esto también ocurre para minutos y segundos. α = 22º 41' 11'' β = 53º 36' 59'' α+β= 75º 77' 70'' Pero 70'' = 60'' + 10'' = 1' + 10'' y 77' = 60' + 17' = 1º + 17' Por lo tanto, α+β= 76º 18' 10'' En la sustracción también se operan las mismas unidades, pero primero es necesario que el minuendo sea mayor que el sustraendo, lo cual se logra haciendo lo contrario que en la suma anterior. 136

α = 33º 25' 16'' = 33º 24' 76'' = 32º 84' 76'' β = 12º 47' 20'' = 12º 47' 20'' = 12º 47' 20'' α β= 20º 37' 56'' 7.1.5. CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS ÁNGULO AGUDO Es aquel mayor que 0º y menor que 90º. 0º <α< 90º ÁNGULO RECTO Es aquel que mide 90º. Sus rayos son perpendiculares y se designa con el símbolo o bien el ángulo en cuestión se dibuja como un pequeño cuadrado ÁNGULO OBTUSO Es aquel que mide más de 90º pero menos de 180º. 90º <α< 180º 7.1.6. RELACIONES ENTRE ÁNGULOS ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90º. α+β= 90º El COMPLEMENTO de un ángulo es la cantidad que le falta para completar 90º Complemento de α es 90º α ÁNGULOS ENTRE PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL Si se tienen dos rectas paralelas L //L y una recta L y L ( ) 1 2 1 2 transversal L 3, se forman las siguientes relaciones entre los ángulos: 1 = 3= 5= 7 2= 4= 6= 8 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180º. α+β= 180º El SUPLEMENTO de un ángulo es la cantidad que le falta para completar 180º. Suplemento de α es 180º α ÁNGULOS ADYACENTES Dos ángulos son adyacentes si tienen en común un vértice, un rayo o lado y si sus interiores no se intersectan. α adyacente con β ó AOC adyacente a BOC ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Si se cruzan dos rectas, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. α=β y γ=δ Si trasladamos L 1 paralelamente hasta hacerla coincidir con L 2, se superponen ciertos ángulos, los cuales se denominan CORRESPONDIENTES y son CONGRUENTES e IGUALES. BISECTRIZ Una bisectriz es una recta que dimidia (divide por la mitad) a un ángulo. En la figura, OC es bisectriz del α 1 5; 2 6; 3 7; 4 8 137

EJERCICIOS DE ÁNGULOS PARA LA CLASE 1. En la figura L 1 // L 2 y 1 + 2 = 100º, entonces 3 = a) 50º b) 80º c) 100º d) 130º e) 200º 5. En la figura: L 1 // L 2 // L 3. Determinar α + β γ. a) 30º b) 40º c) 60º d) 70º e) 90º 2. Si α = 24º 35 18 y β = 73º 45 17, en cuánto excede α al complemento de β? a) 7º 20 35 b) 8º 20 35 c) 6º 50 1 d) 8º 21 25 e) 8º 21 35 3. En la figura: L 1 // L 2 y L 3 es bisectriz del ángulo formado por L 1 y L 4. Cuánto mide el ángulo x? a) 80º b) 120º c) 140º d) 150º e) 160º 6. Si un reloj marca las 10 horas 5 minutos, qué ángulo forman sus punteros? a) 90º b) 87,5º c) 85º d) 75º e) 60º 7. Si L 1 // L 2, entonces cuánto mide x? a) α + β b) 180º α c) 180º α + β d) β α e) 180º β 4. El complemento de un ángulo recto más el suplemento de un ángulo extendido equivalen a: a) 0º b) 30º c) 45º d) 90º e) 180º 8. Si L 1 // L 2, α = 100º y β = 70º, entonces cuánto mide x? a) 10º b) 30º c) 40º d) 35º e) 50º Debes tener muy claro como expresar ángulos suplementarios ( suman 180 ) y complentarios (s uman 90 ) 138

9. En la figura α = 2β, entonces x = a) 90º b) 95º c) 100º d) 110º e) 120º 10. En la figura: L 1 // L 2 y α : β = 3 : 6. Cuánto mide α? 13. Si se sabe que α y β son ángulos suplementarios, y que L 1 no es perpendicular con L 2, entonces cuál de las siguientes relaciones es falsa? a) γ = δ b) β = γ c) δ = β d) α + δ = 180 e) β + γ = 90 a) 40º b) 13,3º c) 60º d) 79,9º 11. En la figura L es una recta. Si β = 2α, γ = 2β y δ = 2γ, entonces cuál de las siguientes relaciones NO es verdadera? a) δ = 8α b) α + β = 24º c) δ = 96º d) β + γ = 72º e) γ = 4α 12. Se sabe que α y β son dos ángulos suplementarios. Si α mide 12º menos que el triple de β, entonces cuál es el complemento de β? a) 42º b) 48º c) 132º d) 144º 14. En la figura, L 1 L 2 y β = 3α. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. γ = 3α II. β = 2γ III. α y γ son ángulos complementarios. b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 15. OD OA, OC es bisectriz del AOD y BOC = 2 AOB. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I. COD = 3 AOB II. COD = 2 BOC III. AOC = 3 AOB b) Sólo III c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III Para transformar de un sistema a otro, usa proporciones ( básate en la planteada en la página 136 ) 139

16. En la figura L 1 // L 2. α + β = a) 70º b) 105º c) 140º d) 165º e) 175º 17. Cuál es el ángulo resultante al sumar el suplemento de un ángulo recto más el suplemento del complemento de medio ángulo recto? a) 135º b) 90º c) 215º d) 180º e) 225º 18. A, O y B son puntos colineales y OD OC, entonces cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera? a) AOD = BOC b) AOD = 2 BOC c) COD = 2 AOD d) COD = 3 BOC. 19. Si L 1 no es paralela con L 2, L 3 no es paralela con L 4 y L 1 no es perpendicular con L 3, y ninguna recta se sobrepone con otra, entonces Cuánta es la cantidad mínima de ángulos agudos que pueden encontrarse en la figura? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4 20. En la figura L 1, L 2 y L 3 son rectas. Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. α + β + γ + δ = 360º II. α + γ = 180º III. α δ = 0º b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) I, II y III 21. Si se sabe que α y β son ángulos complementarios y que γ es el suplemento de β, entonces cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)? I. γ > α II. γ = 90º + α III. γ > β b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 22. Si α es un ángulo agudo, entonces el suplemento del complemento de α siempre estará representado por: a) α 90º b) 90º α c) 90º + α d) 180º α e) 180º + α 23. En la figura, L 1 // L 2 y L 3 // L 4 // L 5. Entonces, cuál de las siguientes relaciones es verdadera? a) x = α + 10º b) x = α 10º c) x = β + 10º d) x = β 10º e) x = 180º β Para organizar repasos o dudas escribe al mail del curso: PreuFM.Mates@Gmail.com 140

24. Los ángulos α y β son adyacentes y se encuentran sobre una recta. Si α 10º = x y β + 30º = z, entonces x + z = a) 150º b) 160º c) 180º d) 200º e) 220º 25. En la figura L 1 // L 2 y L 4 L 2. Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdadera(s)? I. α = 2δ II. α = γ + β III. α = δ + γ b) Sólo II c) Sólo III d) I, II y III 26. En la figura los ángulos AOC y BOC son adyacentes e iguales. Si AOD = COD, entonces no se cumple que: a) BOD = 4 AOD b) BOC = 2 COD c) AOC = 2 AOD d) BOD = 3 COD e) AOB = 4 COD 27. En la figura: x + y z 2 + 2 = a) 90º b) 120º c) 150º d) 180º e) No se puede determinar 28. Si el doble del complemento de α es igual a 40º, entonces el suplemento de α mide: a) 70º b) 110º c) 130º d) 140º e) 170º 29. En la figura A, O y B son puntos colineales; OC AB y COD = 2 AOD. Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a un ángulo recto? I. 3 ( DOC AOD) II. 2 DOC AOD III. 5 AOD DOC b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) I, II y III 30. En la figura L 1 // L 2 ; L T y α = 120º, cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) correcta(s)? I. x + y = z II. x = 2y III. α = z + x b) Sólo I y II c) Sólo I y III d) Sólo II y III e) Ninguna 31. En la figura el AOB = nº. Si AOC = 0,5 COB y COD = 13 AOB, entonces DOB = a) nº / 3 b) nº / 4 c) nº / 2 d) 2nº / 3 Cuando hagas las equivalencias de ángulos entre paralelas debes estar seguro que las rectas sean PARALELAS, REPASA ESAS EQUIVALENCIAS!!!! 141

32. En la figura L // L y R // R. Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) siempre verdaera(s)? I. α + γ = α + β II. α + β = γ + δ III. α + δ = β + γ b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) I, II y III 33. L 1, L 2 y L 3 son tres rectas que se intersectan. Cuál de las siguientes relaciones es correcta? a) γ = α β b) γ = 2 (α β) c) γ = 180º 2β d) γ = 180º 2α e) γ = 180º (α β) 34. En la figura L 1 L 2. Si a = 3x 5º y b = 2x +10º, entonces x = a) 15º b) 17º c) 19º d) 35º e) 45º 35. α y β son ángulos complementarios si: (1) α + γ = 90º (2) β + γ = 90º 36. En la figura, L 3 es bisectriz del ángulo formado por L 1 y L 2 si: (1) α = 45º (2) α γ = 0º 37. Son las rectas L 1 y L 2 paralelas? (1) α + γ = 180º (2) α = β 38. En la figura L 1, L 2, L 3 y L 4 son rectas. Si p = 35º, cuánto mide el q? (1) L 1 L 2 (2) L 3 L 4 39. En la figura L 1 y L 2 son rectas, cuánto mide el α? (1) β = 52º (2) a = b SIEMPRE los ángulos opuestos por el vértice son iguales 142

DESAFIO I. Si en la figura, α β y las rectas L 1, L 2 y L 3 son paralelas. PAUTA GEOMETRÍA I ÁNGULOS Cuáles son los ángulos equivalentes a α? Cuáles a β? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 II. Con la misma figura, si α=20º y β=35º. Cuál es el valor de los siguientes ángulos? 11 12 13 20 143