ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA FUNDAMENTOS MATEMÁTICAS 7. ESPACIOS VECTORIALES 7.1 Estructura de Espacio Vectorial. Sea K un cuerpo conmutativo (normalmente el cuerpo R de los números reales), cuyos elementos,,... llamaremos escalares. Un conjunto E se llama Espacio Vectorial sobre K, y sus elementos vectores si se verifican las condiciones: a) Existe en E una ley de composición interna (+) que le confiere la estructura de grupo abeliano. b) Existe sobre E una ley de composición externa (nada), cuyo dominio es K, con las siguientes propiedades: (por "1" denotamos al elemento neutro del cuerpo K, en caso del cuerpo R éste es el número 1). EJEMPLOS: - El conjunto E de los vectores libres del espacio euclídeo (o del plano) de la geometría elemental, donde K=R, está provisto de las operaciones:, cumpliendo todas las condiciones arriba indicadas por lo que E es un espacio vectorial (de ahí precisamente proviene el nombre de "vectorial"). - El conjunto (x) de polinomios con coeficientes reales (grado cualquiera) posee dos operaciones: p(x) + q(x) y p(x) que cumplen
las condiciones arriba indicadas, por lo que es un espacio vectorial sobre R. * Propiedades inmediatas: Es muy obvio que para un espacio vectorial se cumplen las siguientes propiedades: * Otras propiedades: Quizás no sean tan evidentes pero sí son fácilmente demostrables las propiedades: 7.2 Sistemas de vectores. Dependencia e independencia lineal de vectores. * Sistema de vectores Supongamos un espacio vectorial, E, y un conjunto finito de vectores de E,, diremos que constituyen un sistema de vectores de E ( también llamado familia de vectores). * Combinación lineal de un sistema de vectores Un vector decimos que es combinación lineal del sistema tales que: si existen escalares (llamados coeficientes) Observaciones sobre la combinación lineal de vectores: - El elemento de E es combinación lineal de cualquier familia de vectores de E. (Sin más que elegir todos los coeficientes nulos). - Todo vector es combinación lineal de sí mismo, y en general, de
cualquier familia que lo contenga, pues (y para el resto de los vectores de la familia se les atribuyen coeficientes nulos). - Si es combinación lineal de y cada uno de ellos es combinación lineal de otros, entonces el vector es combinación lineal de los. 7.3 Sistemas libres y sistemas ligados. - Un sistema de vectores { } se dice que es libre (o que los vectores son linealmente independientes) cuando la relación: se cumple sólo si: Observaciones: * Un sistema { } es libre si todo subsistema que podamos formar a partir suyo es libre. * Un sistema { } que no es libre se llama ligado. - Un sistema de vectores { } se dice que es ligado (o que los vectores son linealmente dependientes) cuando en la anterior relación: existan algunos i que no sean nulos. PROPIEDADES INMEDIATAS: Sistemas libres: a) Un sistema formado por un solo vector no-nulo es libre. b) Todos los vectores de un sistema libre son distintos de. c) Todos los vectores de un sistema libre son distintos. d) Toda parte de un sistema libre es libre. Sistemas ligados: a) Si en un sistema uno (al menos) de sus vectores es
combinación lineal del resto, se trata de un sistema ligado. b) Todo sistema en el que figure el es ligado. c) Si a un sistema ligado le añadimos varios vectores resulta otro sistema también ligado 7.4 Subespacios vectoriales Sea E un espacio vectorial (sobre K), y sea, decimos que E' es un subespacio vectorial (sobre K) en el caso de que E' tenga estructura de espacio vectorial para las operaciones inducidas por las de E. Es decir, se deben cumplir las dos condiciones: a) E es subgrupo del grupo aditivo E: b) Se conserva la ley de composición externa: Estas dos condiciones se suelen expresar en una sola de la siguiente manera: * La CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE para que E sea subespacio vectorial es que: E sea no vacío, y además: EJEMPLOS: - En el espacio vectorial E sobre R de los vectores libres en el espacio (que se utiliza en geometría, física,...) el conjunto de los vectores libres paralelos a una recta (respecto a un plano) es un subespacio de E. - El conjunto de los polinomios en x con coeficientes reales de grado inferior o igual a n (incluido el polinomio cero), Pn(x), es un subespacio del espacio vectorial de los polinomios en x, (x). 7.5 Intersección de subespacios vectoriales Sea E un espacio vectorial, la intersección de dos subespacios no es nunca vacía (pues por lo menos contiene al ). Si tenemos una cantidad finita de subespacios de E, el
conjunto intersección,, es también subespacio vectorial de E.. Esto puede extenderse a una cantidad infinita de subespacios de E. Consideremos una parte no vacía A de E (supongamos que A no sea subespacio de E), existen subespacios de E que contienen a A. Consideremos la intersección de todos estos subespacios conteniendo a A -que como queda dicho arriba es un subespacio vectorial de E-, y es el menor posible (para la inclusión), se le llama subespacio vectorial engendrado por A. Por ejemplo, el subespacio vectorial F engendrado por la familia A={ } También se dice que la familia A={ generatriz del espacio vectorial F. } es una parte 7.6 Suma de subespacios. Suma Directa. * Subespacio suma: Sea un espacio vectorial E, y sea un número finito de subespacios de E:, el conjunto de vectores de la forma: formado por la suma de un elemento de E1, otro de E2,..., etc., es un subespacio llamado subespacio suma. Se designa por: E1 + E2 +... + Ek (ATENCIÓN: No debe confundirse este subespacio suma con la unión de subespacios ) * Suma directa: Sea un espacio vectorial E, y sea un número finito de subespacios de E:, si expresamos a vectores de la forma: en general, esta suma no es única, es decir, puede haber vectores que tengan dos o más sumas coincidentes:
En el caso de que cada vector tenga una única descomposición, se habla de suma directa de subespacios de E y se expresa: Teorema 1: La condición necesaria y suficiente para que una suma E1 + E2 +... + Ek sea suma directa de subespacios es que: Teorema 2: La condición necesaria y suficiente para una suma de dos subespacios, E1 + E2, sea una suma directa es que: 7.7 Subespacio engendrado Sea una familia de vectores de un espacio vectorial E. Como ya hemos dicho en 3.5 el conjunto de todas las combinaciones lineales de esta familia de vectores es un subespacio vectorial. Vamos ahora a demostrar que efectivamente esto es así: Llamemos E' al conjunto de las combinaciones lineales de los vectores de S. Al cumplirse la condición necesaria y suficiente E` es un subespacio vectorial. * Propiedades: a) Una familia de vectores S y otra S (formada al añadir a S un número cualquiera de combinaciones lineales de S)
engendran el mismo espacio vectorial. b) Sea una familia de vectores S, y sea E el subespacio engendrado, este susbespacio E no cambia (es el mismo) si modificamos los vectores de S por alguna de estas operaciones: - Multiplicación de algún vector de S por un escalar (no nulo). - Suma de un múltiplo de un vector de S a otro vector de S. 7.8 Espacios de dimensión finita. Sistema de generadores. Sea un sistema formado por n vectores,, pertenecientes a un espacio vectorial E sobre un cuerpo K. Se dice que S engendra el espacio E, (o que S es un sistema de generadores de E), cuando todo vector de E se puede expresar como combinación lineal de los vectores de S. Es decir, * Teorema: De todo sistema de generadores de un espacio vectorial formado por los vectores, se puede siempre extraer un sistema libre que también engendre a E. Demostración: Ahora tomemos el siguiente, es un sistema libre continuamos añadiendo el siguiente,, pero si es ligado tenemos :, y en este caso los dos primeros términos de: quedan reducidos a:, con lo que podríamos prescindir de. Etcétera, si es un sistema libre continuaríamos con, pero si es ligado tendríamos:, y en este caso los tres primeros términos de la expresión de arriba quedarían reducidos a:
, con lo cual podríamos prescindir de. Siguiendo este procedimiento se concluye que para todo, puede llegar a expresarse como una combinación lineal de un sistema libre de vectores extraído de S. 7.9 Base de un espacio vectorial. Se dice que un espacio vectorial, E, es de dimensión finita, cuando existe un sistema finito, S, que engendra a E. (Nosotros consideraremos sólo espacios vectoriales de dimensión finita) Si un espacio vectorial E admite un sistema libre de generadores, S, se dice que S es una base de E. * Propiedades de la base. - Todo espacio vectorial de dimensión finita posee al menos una base. - Si una base de E posee n elementos, todo conjunto de p elementos (p > n) está formado por elementos linealmente dependientes. - Si un espacio vectorial E posee una base de n elementos, y sabemos que p elemento de E son linealmente independientes, entonces p n. - Si un espacio vectorial E posee una base B formada por n vectores, cualquier otra base de E, B, posee también n vectores. Se dice que la dimensión del espacio vectorial E es n. * Teorema: Dada una base de un espacio vectorial E, todo vector viene expresado en una única manera como combinación lineal de los elementos de esta base: La demostración es muy simple, pues si hubiera otra forma de expresarlo:, podríamos restar las dos expresiones y tendríamos:
lo que significaría que todos los coeficientes son nulos: es decir, las componentes xs e ys serían identicas. 7.10 Subespacios suplementarios. Dos subespacios E y E, de E, se llaman suplementarios si se tiene que: E = E' E En este caso, resulta que cualquier vector descompuesto de manera única como: puede ser * Teorema: Sea un espacio vectorial E (dimensión n), todo subespacio E (dimensión m) admite al menos un subespacio suplementario (dimensión n-m). * Teorema de las dimensiones. (fórmula de Grassmann). Sea un espacio vectorial E, y sean E y E dos de sus subespacios, entonces se tiene: dim(e ) + dim(e ) = dim(e + E ) + dim(e E ) 7.11 Cambio de base. Matriz de cambio de base. Sea un espacio vectorial E (dimensión n), y sea base de E. Entonces, como ya sabemos, todo vector de E puede expresarse de forma única : una {1} Pero supongamos ahora otra base de E, todo vector puede expresarse:, en la que
{2} Ahora vamos a ver la relación existente entre estas componentes en una y otra base. Para ello expresamos los elementos de la base B' en la base B: De una forma expandida tenemos: f 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2 +... + a 1n e n f 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2 +... + a 2n e n... f n = a n1 e 1 + a n2 e 2 +... + a nn e n Por lo tanto sustituyendo en {2} tenemos: que si lo comparamos con {1} llegamos a la relación deseada para la relación entre las coordenadas en una y otra base: ATENCIÓN: Hay que observar arriba cómo para cada componente x j, es i el índice que va recorriendo desde 1 hasta n (o sea, el índice primero y no el segundo como antes). O sea, desarrollándolo queda: x 1 = a 11 y 1 + a 21 y 2 +... + a n1 y n x 2 = a 12 y 1 + a 22 y 2 +... + a n2 y n... x n = a 1n y 1 + a 2n y 2 +... + a nn y n Es decir, nosotros llamaremos matriz de paso a la matriz P:
tal que X = P.Y, y también Y = P -1. X que como puede apreciarse es la transpuesta de la matriz que relaciona la Base de las f base de las e.