Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. 6. Cortes con los ejes de coordenadas. 7. Gráfica aproimada..- Sea la función f(), se pide:. Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Cortes con los ejes de coordenadas. 6. Gráfica aproimada..-dada la función f() =, hallar: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. b) Intervalos de concavidad y conveidad. Puntos de infleión. 4.- Dada la función f ( ) sen sen(), se pide: a) Probar que f() es continua y derivable en todo R b) Probar que f() es periódica con periodo T=. sen c) Utilizando las fórmulas de trigonometría plana sen cos cossen sen sen cos y cos cos sen, probar que: 4 f ( ) sen sen() = sen d) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas en el intervalo [0,] e) Probar que la curva no posee asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. f) Utilizando la resolución numérica de ecuaciones con Derive, calcular los etremos relativos y puntos de infleión de f() en el intervalo [0, ]. g) Deduce de los apartados a) y f) los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad en dicho intervalo. 5.- Realizar un estudio completo de la función y 6.- Realizar un estudio completo de la función f() e Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
Funciones en eplícitas 7.- Realizar un estudio completo de la función g() 4 8.- Dada la función y a) Dominio. b) Simetrías. c) Puntos críticos.. Se pide calcular: 9.- Dada la función y a) Dominio. b) Simetrías. c) Puntos críticos. 8. Se pide calcular: 0.- Dada la función a) Dominio. b) Simetrías. c) Puntos críticos. y. Se pide calcular: 4.- Hacer un estudio y representar gráficamente la curva: f( ) e.- Representar gráficamente la función f()..-representar gráficamente la función ln f(). 4.- Dada la curva f() 4 40 0 ( ), se pide estudiar: 6 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
Funciones en eplícitas.- Sea la función f() e, se pide: Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. 6. Cortes con los ejes de coordenadas. 7. Gráfica aproimada. Solución: 0.. Dom = R - 0. f() 0. Asíntotas si 0, pues la eponencial es siempre positiva. si 0 Verticales: lim f 00 0 0 0 Horizontales: lim f lim f e lim f lim 0 0 L'Hôpital Luego, = 0 es asíntota vertical por la derecha. Luego, no hay asíntotas horizontales. Oblicuas: y = m + n. Para : f m lim lim e e n lim e lim e lim 0 Análogamente, se obtiene también para la asíntota: y = + L'Hôpital Corte con la asíntota: e ; no hay (DERIVE) 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. y' e 0 ; no eiste y ' en = 0.,0 0 0,, f No eiste f No eiste e Crecte. Decrte. Mín Rel (, e) Crecte. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
Funciones en eplícitas 5. Concavidad y conveidad. Puntos de infleión. y'' e 0 ; no eiste y '' en = 0,0 0 0, f - No eiste + f. No eiste convea cóncava 6. Cortes con los ejes de coordenadas. Con OX: Con OY: 7. Gráfica aproimada: y 0 e 0 Dom f lim f No hay corte, pero 0 0 0 Dom f No hay corte. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 4
Funciones en eplícitas.- Sea la función f(), se pide:.- Dominio.. Signo de f() en función de.. Asíntotas. 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 5. Cortes con los ejes de coordenadas. 6. Gráfica aproimada. Solución:,0,.. Dom =. f() es siempre positiva.. Asíntotas Verticales: No hay lim f lim f =0 0 Horizontales: lim f lim f Luego, no hay asíntotas horizontales. Oblicuas: y = m + n. Para : f m lim n lim f() y = + / Corte con la asíntota: (-/,/6) Análogamente, se obtiene también para la asíntota: y =- - / 4. Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. 0 () y' 0 ; no eiste y ' en = 0. (),0 0 (,/) / /, f - No eiste No eiste - 0 + f Decrecte. 0 No eiste Decrecte. Crecte. Mín Rel (0,0) Má Rel 5. Cortes con los ejes de coordenadas. Con OX: yf() 0 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 5
Con OY: 0 y=0 6. Gráfica aproimada: Funciones en eplícitas Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 6
Funciones en eplícitas.-dada la función f() =, hallar: a) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. b) Intervalos de concavidad y conveidad. Puntos de infleión. Solución: ( ) a) Hallamos los puntos críticos (donde la derivada se anula o no eiste): f () =, ( ) f ()=0=0, y f () no eiste en =. 0 (-, 0) (0,) (,) (, ) Sg(f`() + + La función es estrictamente creciente en (-, 0) (, ) La función es estrictamente creciente en (0,) (,) En consecuencia la función presenta un valor máimo en =0 cuyo valor es f(0)=0 y un valor mínimo en = cuyo valor es f()=4, es decir, M(0,0) y m(,4) b) Hallamos la segunda derivada f ()= f ()0 para cualquier y f () no eiste en =. (-, ) (, ) Sg(f` () convea + cóncava Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 7
Funciones en eplícitas 4.- Dada la función f ( ) sen sen(), se pide: a) Probar que f() es continua y derivable en todo R b) Probar que f() es periódica con periodo T=. c) Utilizando las fórmulas de trigonometría plana sen sen cos cossen, sen sen cos y cos sen cos, probar que: 4 f ( ) sen sen() = sen d) Hallar los puntos de corte con los ejes de coordenadas en el intervalo [0,] e) Probar que la curva no posee asíntotas horizontales, verticales u oblicuas. f) Utilizando la resolución numérica de ecuaciones con Derive, calcular los etremos relativos y puntos de infleión de f() en el intervalo [0, ]. g) Deduce de los apartados a) y f) los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad en dicho intervalo. Solución: a) El dominio de la función f ( ) sen sen() es R por ser R el dominio de sen y de sen(). Análogamente f() es continua y derivable en R por serlo sen y sen(). b) sen es una función periódica de periodo y sen() es una función periódica de periodo / (sen() toma todos los valores posibles cuando 0, luego sen() toma todos los valores posibles cuando 0 /). Por tanto el periodo es c) f ( ) sen sen() sen sen( ) sen sen() cos cos() sen 4 = sen sen cos cos sen sen sen 4 d) sen 0 =0,,, luego son los puntos (0,0), con OX y OY, (, 0), (,0). e) Al ser periódica la función no puede tener asíntotas horizontales ni oblicuas, y por ser 4 4 acotada f ( ) la función no tiene asíntotas verticales. f) Los puntos críticos son aquellos donde f () = 0, o no eiste, pero como en este caso f es derivable en R, solo calculamos los ceros de f () (nos ayudamos con la Fig. ): f '( ) 4sen Figura : gráfica de f () en [0,] sen 0 cos 0 de forma eacta, = 0, /,, /,. cos 0 Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 8
Funciones en eplícitas Con la resolución numérica de Derive hemos de situar la raíz en un intervalo que la contenga (lo vemos en la gráfica anterior) NSOLVE(4 SIN () COS(),, -, ) = 0 NSOLVE(4 SIN () COS(),,, ) =.5707966 NSOLVE(4 SIN() COS(),,, 4) =.45965 NSOLVE(4 SIN() COS(),, 4, 5) = 4.78898 NSOLVE(4 SIN() COS(),, 5, 7) = 6.88507 Son los mismos valores en forma decimal con solo 9 cifras decimales. Para discriminar si corresponden a etremos o no, sustituimos en f () d 4 SIN() = SIN() COS() - 4 SIN() d SIN(0) COS (0) - 4 SIN(0) = 0 SIN(.5707966) COS (.5707966) - 4 SIN(.5707966) = -4 SIN(.45965) COS (.45965) - 4 SIN(.45965) = 4.65068 0-9 (con el valor eacto, = π, obtenemos SIN(π) COS (π) - 4 SIN(π) = 0) SIN(4.78898) COS (4.78898) - 4 SIN(4.78898) = 4 SIN(6.88507) COS (6.88507) - 4 SIN(6.88507) = -.459 0-9 (con el valor eacto, =π, obtenemos SIN( π) COS( π) - 4 SIN( π)=0) Observamos que f () se anula en =0, π, π, en estos valores hallamos el valor de f ()= 6cos -8cos. f (0)=8 f (π)=-8 f (π)=8 Pero podría haber otros puntos de infleión, además de éstos por lo que debemos hallar todas las raíces de f () en [0,] Observamos en la Fig. que f (), además de anularse en =0, π, π, también se anula: en un punto del interior del intervalo [0.5,.5] en un punto del interior del intervalo [.5,.5] en un punto del interior del intervalo [.5, 4.5] en un punto del interior del intervalo [4.5, 5.5] Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 9
Funciones en eplícitas Figura : gráfica de f () en [0,] NSOLVE( SIN() COS () - 4 SIN(),, 0.5,.5)= 0 = 0.955660 NSOLVE( SIN() COS () - 4 SIN(),,.5,.5)= 0 =.867608 NSOLVE( SIN() COS () - 4 SIN(),,.5, 4.5) )= 0 = 4.09690954 NSOLVE( SIN() COS () - 4 SIN(),, 4.5, 5.5)= 0 = 5.7868670 Luego, la función presenta: 4 un mínimo relativo en =/=4.78898, 4 un máimo relativo en =/=.5707966, punto de infleión en =0 (0,0), punto de infleión en = 0.955660 (0.955660, 0.75774754), punto de infleión en =.867608 (.867608, 0.75774754), punto de infleión en = (,0) punto de infleión en = 4.09690954 (4.09690954, -0.75774754), punto de infleión en = 5.7868670 (5.7868670, -0.75774754), punto de infleión en = (,0) g) Por ser la función derivable en su dominio, de los resultados del apartado anterior y de la Fig. se deduce que en el intervalo [0, ]: f () >0 en 0,, luego es estrictamente creciente en dichos intervalos. f () <0 en, luego es estrictamente decreciente en dicho intervalo. f ()>0 en 0, 0.955660 (.867608,), (4.09690954, 5.7868670) luego es cóncava en dichos intervalos. f () <0 en (0.955660,.867608) (,4.09690954), (5.7868670, ) luego es convea en dichos intervalos. Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 0
Funciones en eplícitas Figura : gráfica de f() en [0,] Crecimiento y decrecimiento de la función f() Etremos 0 0<< f () 0 + 0-0 - 0 + 0 f() 0 crece 4/ decrece 0e decrece -4/ crece 0 4 un mínimo relativo en =/, 4 un máimo relativo en =/, Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
Concavidad y conveidad. Puntos de infleión Funciones en eplícitas 0 0<<0,955 0.9556 0,955,86.8676,8 4,09 4.09690 4,09<<5,7 5.7868 5,7<< () 0 + 0-0 + 0-0 + 0-0 () 0 cóncava 0.7577 convea 0.7577 cóncava 0 convea -0.757 cóncava -0.757 convea 0 punto de infleión en =0 (0,0), punto de infleión en = 0.955660 (0.955660, 0.75774754), punto de infleión en =.867608 (.867608, 0.75774754), punto de infleión en = (,0) punto de infleión en = 4.09690954 (4.09690954, -0.75774754), punto de infleión en = 5.7868670 (5.7868670, -0.75774754), punto de infleión en = (,0) Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.
Funciones en eplícitas 5.- Realizar un estudio completo de la función Solución: a) Dom = R 0 si 0 b) f = 0 si 0 0 si 0 c) Asíntotas Verticales: No hay (Dom = R) lim f Horizontales: No hay ( ) y Oblicuas: y, para. 8 d) Puntos de corte con la asíntota:, 9 9 e) Crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos: y' 4 0 4, -,, f + No eiste - 0 + f 0 4 Crecte. Má Rel Decrte. Mín Crecte. f) Concavidad y conveidad. Puntos de Infleión. 0 si 0, - y'' 5 9 4 0 si 0 y' '() 0 ; y' '() no eiste en = - y en = 0, -,0 0 0, f + No eiste + No eiste - f 0 0. Infleión cóncava cóncava convea. g) Corte con los ejes: 0 0,0 Con OX: y0, 0 Con OY: 0 y 0 0,0 h) Gráfica aproimada: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Funciones en eplícitas 6.- Realizar un estudio completo de la función Solución: /. Representar la función f () e. / #: f() e f() e Dominio: R {0} #: f(-) - / #: e No tiene simetrías. / #4: lim f() e #5: / #6: lim f() e - #7: Luego, no tiene asíntotas horizontales. / #8: lim f() e 0 #9:? / #0: lim f() e 0- #: 0 / #: lim f() e 0+ #: Asíntota horizontal: = 0, por la izquierda. f() #4: f() #5: lim #6: Luego, no tiene asíntotas oblicuas. d / #7: f() e d U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 4
Funciones en eplícitas / #8: e ( - ) / #9: SOLVE(e ( - ), ) #0: = 0 = Crece en, #: f 0, Decrece en, 0 e #: 4 e Mínimo relativo en, 4 d / #: (e ( - )) d / e ( - + ) #4: Es cóncava en todo su dominio. / e ( - + ) #5: SOLVE,, Real #6: false No tiene puntos de infleión. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 5
Funciones en eplícitas 7.- Realizar un estudio completo de la función g() 4 / #: g() ( - 4) Dom: R #: g(-) / #: ( - 4) Es una función par. Gráfica simétrica respecto del eje OY / #4: lim g() ( - 4) #5: / #6: lim g() ( - 4) - #7: No tiene asíntotas verticales ni horizontales. g() #8: g() #9: lim #0: Tampoco tiene asíntotas oblicuas. Crecimiento y decrecimiento: d / #: g() ( - 4) d 4 #: / ( - 4) #: Branch Real U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 6
Funciones en eplícitas Crece en (-,0) U (, ) y decrece en el resto. Máimos y mínimos relativos: #4: g(0) / #5: #6: g(-) #7: 0 #8: g() #9: 0 Máimo relativo en, 6 0 Mínimos relativos en,0,,0 Concavidad y conveidad: d 4 #0: d / ( - 4) 4 ( - ) #: 4/ 9 ( - 4) 4 ( - ) #: SOLVE,, Real 4/ 9 ( - 4) #: = ± = - = Cóncava en,, Convea en,,, Puntos de infleión: #4: g( ) #5: 4 #6: g(- ) #7: 4,4 y,4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 7
8.- Dada la función a) Dominio. b) Simetrías. c) Puntos críticos. Solución: y Funciones en eplícitas. Se pide calcular: a) El Dominio de y son los intervalos donde 0 Dom y =(-,-)(,). b) Calculamos f(-) y lo comparamos con f(), así f f, por lo tanto la función dada es ( ) simétrica respecto del origen O. c) Los puntos críticos son los valores de donde f () se anula o no eiste, así f ' f() son =. f ' 0 Dom f f ' no eiste en luego los puntos críticos de U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 8
9.- Dada la función a) Dominio. b) Simetrías. c) Puntos críticos. y Funciones en eplícitas 8. Se pide calcular: Solución: a) El Dominio de y son los intervalos donde 80 Dom y = R- {-,}. b) Calculamos f(-) y lo comparamos con f(), así f f( ), por lo tanto la función dada es 8 8 simétrica respecto del origen O. c) Los puntos críticos son los valores de donde f () se anula o no eiste, así f ' 0 0, f ' 4 f ' no eiste en luego los puntos críticos de f() son = -, -, 0,,. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 9
0.- Dada la función a) Dominio. b) Simetrías. c) Puntos críticos. y Funciones en eplícitas. Se pide calcular: 4 Solución: a) El Dominio de y son los intervalos donde (,). 40 Dom y = (-,-) b) Calculamos f(-) y lo comparamos con f(), así f f( ), por lo tanto la función dada es 4 4 simétrica respecto del origen O. c) Los puntos críticos son los valores de donde f () se anula o no eiste, así f ' f, 4 f ' no eiste en 6 ' 0 0, 6 luego los puntos críticos de f() son = 6, 0,, U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 0
Funciones en eplícitas.- Hacer un estudio y representar gráficamente la curva: f( ) e Solución: La N(0,) es un caso particular de la N(,) para =, =0, cuya función de densidad es la llamada campana de Gauss : f ( ) e Veamos el estudio de la gráfica de f():. lim f ( ) 0. f() >0 para todo real.. f() es continua en R. 4. Es simétrica respecto de =0 (y respecto de = en el caso general) pues f(-)=f() 5. Estudio de máimos y mínimos: f '( ) e f y en el caso general, ( ) f '( ) e f( ) 0 si 0 0 si f () = y en el caso general f () = puesto que f()>0. 0 si 0 0 si En =0 pasa de creciente a decreciente luego eiste un máimo en (0,f(0)) = (0,) y en el caso general, en = pasa de creciente a decreciente, luego eiste un máimo en (,f( )) = (, ) donde coinciden la moda, (por ser máimo), la mediana, (por simetría) y la media. 6. Estudio de puntos de infleión: f ()= -f() - f () =-f() + f () = f ( ) =, luego al hacer f ()= 0, resulta =, las abscisas de los puntos de infleión. En el caso general: f ()=. f ( ) = 0 entonces = 0, resultando las abscisas de los puntos de infleión. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Solución: Funciones en eplícitas.- Representar gráficamente la función Dominio: #: #: SOLVE(,, Real) #4: - D=(-, -)U(, ) f(). Simetrías: Calculamos f(-) y lo comparamos con f(), así f ( ) f( ), por lo tanto, No tiene simetrías. Continuidad: Es continua en todo su dominio por ser compuesta de funciones continuas. Periodicidad: No es periódica Asíntotas horizontales: #5: lim ( + ( - )) = #7: lim ( + ( - )) = 0 - Por tanto, y = 0 es asíntota horizontal para - Asíntotas verticales: No hay, pues y solo cuando Asíntotas oblicuas: y = m + n f() #9: m = lim = n = lim (f() - ) = 0 #: Por tanto, asíntota oblicua: y = Crecimiento y decrecimiento: d #4: f() d ( - ) + #6: 0 ( - ) ( - ) + #7: SOLVE 0,, Real ( - ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
Funciones en eplícitas #8: > ( - ) + #0: SOLVE 0,, Real ( - ) #: = < - Luego, f es creciente en (, ) y decreciente en (-, -). Máimos y mínimos: En = -, y = -, f() tiene un mínimo relativo, por tomar en este punto un valor más pequeño que en cualquier otro punto del dominio próimo a él. Lo mismo ocurre en =, y =, donde f() tiene también un mínimo relativo. d #: f() 0 d para cualquier, luego no eisten más etremos relativos. El - es un mínimo absoluto y la función no tiene máimo absoluto. Concavidad y conveidad: d #: f() d - 0 #4: / ( - ) para todo valor de ; por tanto f es convea en todo su dominio. Intersección con los ejes coordenados: Con OX: #5: f() = 0 no tiene solución real. Con OY: #6: = 0 0 no es del dominio de f. Luego, no eisten puntos de intersección con los ejes coordenados. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC
.-Representar gráficamente la función Solución: Funciones en eplícitas ln f() Dominio: #: + > 0 #: SOLVE( + > 0,, Real) #4: > - #5: + 0 #6: SOLVE( + 0,, Real) #7: - Dominio f() = (-, ) Simetrías: ln( ) Calculamos f(-) y lo comparamos con f(), así f f( ), por lo tanto, No tiene simetrías. Continuidad: Es continua en todo su dominio por ser compuesta de funciones continuas. Periodicidad: No es periódica Asíntotas horizontales: LN( + ) #9: lim = 0 + Por tanto, y = 0 es asíntota horizontal para Asíntotas verticales: LN( + ) #: lim = - -+ + Luego, = - es asíntota vertical cuando - por la derecha. No tiene asíntotas oblicuas por tratarse de una función y tener asíntota horizontal para y no tomar la valores menores o iguales a -. Crecimiento y decrecimiento: d #: f() d - LN( + ) #4: ( + ) - LN( + ) > 0 #5: ( + ) - LN( + ) SOLVE > 0,, Real #6: ( + ) #7: - < < e - Luego, f es creciente en (-, e - ) y decreciente en (e -, ) Máimos y mínimos: f() alcanza un máimo relativo, por tanto, en el punto (e -, f(e-)) = (e, /e). /e es el valor máimo absoluto y la función no tiene mínimos relativos ni. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 4
Funciones en eplícitas absolutos. Concavidad y conveidad: d #4: f() d LN( + ) - #5: ( + ) LN( + ) - > 0 #6: ( + ) LN( + ) - SOLVE > 0,, Real #7: ( + ) / #8: > e - LN( + ) - < 0 #40: ( + ) LN( + ) - SOLVE < 0,, Real #4: ( + ) / #4: - < < e - - / / e #4: f(e - ) = Por tanto, f es cóncava en ( e^(/), ) y convea en (-, e^(/) - ) f() tiene un punto de infleión en = e^(/) -, y = e^(- /)/ Intersección con los ejes coordenados: Con OX: #44: f() = 0 #45: SOLVE(f() = 0,, Real) #46: = ± = 0 Con OY: #47: f(0) = 0 El único punto de corte con los ejes coordenados es el origen (0, 0). U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 5
4.- Dada la curva Solución: f() Funciones en eplícitas ( ), se pide estudiar: 6 4 40 0 Es continua en todo su dominio R. Simetrías: f(-)=-f() 4 40( - 0 + ) f ( ) -f() 6 ( +) la función es simétrica respecto del origen Bastará estudiar solamente el [0,) Asíntotas la función es continua en todo R; queda por estudiar el límite cuando 4 40( - 0 + ) lim f () lim 0 6 ( +) Luego =0 es una asíntota cuando y y, por la simetría, también cuando - Máimos, mínimos, crecimiento y decrecimiento 6 4 70 (7-5 + - ) Calculando la derivada f'() 7 ( ) 6 4 Resolviendo 7-5 + - =0 se obtiene Seleccionando solamente las raíces positivas U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 6
Funciones en eplícitas = 0.84474, = 0.79747888, =.076596 corresponden a los puntos singulares. Para estudiar el crecimiento y decrecimiento: Se calcula f(0)=0 f(0.84474)= -00.458989 (mínimo) f(0.79747888)=.4758996 (máimo) f(.076596)= -0.4770448 (mínimo) Y, dada la simetría respecto del origen, Decrece crece decrece crece -.076-0.797-0.8 0 0.8 0.797.076 f() 0.47 -.47 00.89 f () + 0-0 + 0 - - 0 + 0-0 + Má Mín Má Mín Má Mín 0-00.89.47-0.47 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 7
Dominio de definición o campo de eistencia. Conjunto de valores para los cuales se pueden efectuar los cálculos que indica la epresión analítica de la función. D R tales que, eiste y f U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 59
Asíntotas de una función Verticales: Si a y. lím f () a es una asíntota vertical a (Sólo puede haber asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio) Horizontales: Si y b. lím f () b y b es una asíntota horizontal Oblicuas: y = m + n es una asíntota oblicua, siendo: f() m lím ; n lím f() m Nota: las asíntotas nos informa de si la función está o no acotada. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 6
Crecimiento Una función es estrictamente creciente en un intervalo cuando para dos puntos cualesquiera situados en él y +h se verifica: h f f h Si f (a)>0, la función f es creciente en a U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía
Decrecimiento Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cuando para dos puntos cualesquiera situados en él y +h se verifica: h f f h. Si f (a)<0, la función f es decreciente en a U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 5
Máimos locales. La función f tiene en el punto =a un máimo local o relativo si eiste un entorno (a-h, a+h) de a tal que para todo a del entorno se verifica: f f a resulta f h f a f h. Si f (a)=0 y f (a)< 0, entonces (a, f(a)) es un máimo local También pueden eistir etremos (máimos y mínimos) donde no es derivable la función. Se dice que f tiene un máimo relativo en un punto ( 0,y 0) A cuando f ( 0, y 0) f (, y) (,y) perteneciente a un entorno de ( 0,y 0). Máimo Absoluto es el mayor de los máimos locales o relativos. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 4
Mínimos locales La función y=f() tiene en el punto =a un mínimo relativo si eiste un entorno (a-h, a+h) de a tal que para todo a del entorno se verifica: f fa resulta f h f a f h. Si f (a)=0 y f (a)> 0, entonces (a, f(a)) es un mínimo local Se dice que z=f(,y) tiene un mínimo relativo en un punto ( 0,y 0) A cuando f ( 0, y 0) f (, y) (,y) perteneciente a un entorno de ( 0,y 0). También pueden eistir etremos (máimos y mínimos) donde no es derivable la función. Mínimo Absoluto es el menor de los mínimos locales o relativos. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7
Cóncava Una función es cóncava si la gráfica de la función queda por encima de la recta tangente en cada uno de los puntos. Si f'' 0f'' 0para todos los puntos de un intervalo, f es cóncava (f es convea) en dicho intervalo. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9
Convea Una función es convea si la gráfica de la función queda por debajo de la recta tangente en cada uno de los puntos. Si f'' 0f'' 0para todos los puntos de un intervalo, f es cóncava (f es convea) en dicho intervalo. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía
Puntos de infleión. Punto de una curva plana en el que la curvatura cambia de sentido de cóncava a convea o viceversa. La tangente en un punto de infleión atraviesa la curva. Si f (a)=0 y f (a) 0, entonces (a, f(a)) es un punto de infleión U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 64
Continua Una función y=f() es continua en = a si se verifica: lim f()=f(a) a Una función z=f(,y) es continua en un punto ( o,y o ) si se verifica: lím f(,y) f(,y ) (,y) 0,y0 0 0 Continuidad en un intervalo Una función y = f() es continua en un subconjunto o en un intervalo si lo es en cada de sus puntos. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 7
Intersección Conjunto de los elementos que son comunes a dos conjuntos. Intersección de la curva con las asíntotas Los puntos de intersección de la curva con una de sus asíntotas se obtienen resolviendo el sistema formado por la ecuación de la curva y la ecuación de la asíntota. Intersección de la curva con los ejes de coordenadas Estos puntos se obtienen haciendo = 0 e y = 0, para calcular los puntos de corte con el eje de ordenadas y de abscisas respectivamente. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 0
Decrecimiento Una función es estrictamente decreciente en un intervalo cuando para dos puntos cualesquiera situados en él y +h se verifica: h f f h. Si f (a)<0, la función f es decreciente en a U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 45
Periodicidad en una curva plana Si (t) e y(t) son funciones periódicas de períodos p y prespectivamente, la función vectorial F(t) ((t),y(t)) es también periódica de período p = mínimo común múltiplo de p y p, y sólo hará falta hacer variar t en un intervalo de ). amplitud p (es decir, t a, a p La gráfica será en este caso cerrada, siempre que (t) e y(t) y sean funciones continuas. La elección de a dependerá de consideraciones de simetría aplicables a la curva. Periodicidad de una función Una función f() es periódica, de periodo T si eiste T 0, tal que, f T f para todo perteneciente al dominio de definición. (Sólo pueden ser periódicas las funciones cuya epresión analítica depende de las funciones sen, cos, tg, etc.) U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 49
Simetrías de una función f () simétrica respecto el eje OY (Función par) f( ) - f() simétrica respecto el origen O (Función impar) a) Si b) Si c) Si Simetrías en una curva plana Estudio de algunos tipos de simetría: (-t)=-(t), entonces la curva es simétrica respecto del origen. y(-t)=-y(t) (-t)=(t) y(-t)=-y(t) (-t)=-(t) y(-t)=y(t) d) Si (-t)=y(t) y(-t)=(t) cuadrante., entonces la curva es simétrica respecto del eje OX., entonces la curva es simétrica respecto del eje OY., entonces la curva es simétrica respecto de la bisectriz del primer Simetrías de una curva en forma polar Para una función r r( ) en forma polar: Simetría respecto el eje polar: Al sustituir por queda lo mismo: r( ) r( ) : Simetría respecto al polo: Al sustituir por queda lo mismo: r( ) r( ): Simetría respecto el eje Y: Al sustituir por queda lo mismo: r( ) r( ): U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 86
Punto crítico En general son los valores que anulan la derivada o derivadas o simplemente no eisten. Curva en forma paramétrica: valores del parámetro t que anulan al menos una de las derivadas '(t) o y'(t), o bien alguna de ellas no está definida en t. En una función real de dos variables reales: puntos donde las derivadas parciales valen cero o no eisten. Dichos puntos se llaman puntos críticos o estacionarios de f. U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 6