Lección 6: Extremos relativos condicionados: Multiplicadores de Lagrange Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión
Ligaduras y extremos condicionados f : R n R función de varias variables Buscaremos los extremos relativos de f, pero no en todo su dominio, sino centrándonos en los puntos (x 1,..., x n ) R n que satisfacen ciertas relaciones: φ 1 (x 1,..., x n ) =,, φ q (x 1,..., x n ) = Dichas relaciones se denominan ligaduras (independientes) Los extremos se denominan condicionados (a las ligaduras)
Ligaduras y extremos condicionados f : R n R función de varias variables Buscaremos los extremos relativos de f, pero no en todo su dominio, sino centrándonos en los puntos (x 1,..., x n ) R n que satisfacen ciertas relaciones: φ 1 (x 1,..., x n ) =,, φ q (x 1,..., x n ) = Dichas relaciones se denominan ligaduras (independientes) Los extremos se denominan condicionados (a las ligaduras) Restringimos la función al subconjunto de R n que satisface las ligaduras, y buscamos ahí cúales son los extremos relativos
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos: 1. Extremos condicionados de f(x, y) = (x 1) + y bajo la ligadura x + y = 1: Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = 1} (circunferencia de radio unidad) y buscamos los extremos relativos 5.5.5-5 8 6-5.5.5 4 5 Figure 1: f tiene un mínimo relativo en (1, ), y no tiene máximo relativos
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos: 1. Extremos condicionados de f(x, y) = (x 1) + y bajo la ligadura x + y = 1: Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = 1} (circunferencia de radio unidad) y buscamos los extremos relativos 1-1 1 5 1-1 Figure : Extremos condicionados: nos centramos únicamente en C
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos: 1. Extremos condicionados de f(x, y) = (x 1) + y bajo la ligadura x + y = 1: Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = 1} (circunferencia de radio unidad) y buscamos los extremos relativos -1 1 1 5 1-1 Figure 3: f tiene un mínimo condicionado en (1, ), y un máximo condicionado en ( 1, )
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos:. Extremos condicionados de f(x, y) = x y bajo la ligadura x + y = : Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = } y buscamos los extremos relativos 5-5 Figure 4: f no tiene extremos relativos (sólo un punto de silla)
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos:. Extremos condicionados de f(x, y) = x y bajo la ligadura x + y = : Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = } y buscamos los extremos relativos 5-5 Figure 5: Extremos condicionados: nos centramos únicamente en C
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos:. Extremos condicionados de f(x, y) = x y bajo la ligadura x + y = : Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = } y buscamos los extremos relativos 5-5 Figure 6: f tiene un máximo condicionado en (, )
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos: 3. Extremos condicionados de f(x, y) = x y bajo la ligadura x y = : Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = } y buscamos los extremos relativos 5-5 Figure 7: f no tiene extremos relativos (sólo un punto de silla)
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos: 3. Extremos condicionados de f(x, y) = x y bajo la ligadura x y = : Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = } y buscamos los extremos relativos 5-5 Figure 8: Extremos condicionados: nos centramos únicamente en C
Ligaduras y extremos condicionados Ejemplos: 3. Extremos condicionados de f(x, y) = x y bajo la ligadura x y = : Restringimos f al conjunto C = {(x, y) R : x + y = } y buscamos los extremos relativos 5-5 Figure 9: f tiene un mínimo condicionado en (, )
Resolución mediante sustitución En ciertas situaciones, las ligaduras permitirán expresar algunas variables en función de otras, reduciendo todo a un problema de cálculo de extremos relativos
Resolución mediante sustitución En ciertas situaciones, las ligaduras permitirán expresar algunas variables en función de otras, reduciendo todo a un problema de cálculo de extremos relativos Ejemplo: f(x, y) = xy Ligadura x y = : x y = y = x f(x, y) = x = g(x) Los extremos condicionados coinciden con los extremos relativos de g(x) = x
Multiplicadores de Lagrange - Método general para obtener extremos condicionados: f : R n R, ligaduras φ 1,..., φ q : R n R
Multiplicadores de Lagrange - Método general para obtener extremos condicionados: f : R n R, ligaduras φ 1,..., φ q : R n R 1. Consideramos la función de Lagrange asociada: g(x 1,..., x n, λ 1,..., λ q ) = f + λ 1 φ 1 + + λ q φ q
Multiplicadores de Lagrange - Método general para obtener extremos condicionados: f : R n R, ligaduras φ 1,..., φ q : R n R 1. Consideramos la función de Lagrange asociada: g(x 1,..., x n, λ 1,..., λ q ) = f + λ 1 φ 1 + + λ q φ q. Hallamos los puntos críticos de g: g(x 1,..., x n, λ 1,..., λ q ) = (,..., )
Multiplicadores de Lagrange - Método general para obtener extremos condicionados: f : R n R, ligaduras φ 1,..., φ q : R n R 1. Consideramos la función de Lagrange asociada: g(x 1,..., x n, λ 1,..., λ q ) = f + λ 1 φ 1 + + λ q φ q. Hallamos los puntos críticos de g: g(x 1,..., x n, λ 1,..., λ q ) = (,..., ) 3. Estudiamos los puntos críticos obtenidos Criterio
Multiplicadores de Lagrange f : R n R, ligaduras φ 1,..., φ q : R n R 3. Estudiamos los puntos críticos obtenidos Criterio: Sea P R n+q un punto crítico de g Se estudia la forma cuadrática ω dada por las derivadas parciales segundas de g respecto x 1,..., x n en el punto P, restringidas al subespacio V = {(y 1,..., y n ) R n : φ i (P ), (y 1,..., y n ) =, i = 1,..., q}
Multiplicadores de Lagrange f : R n R, ligaduras φ 1,..., φ q : R n R 3. Estudiamos los puntos críticos obtenidos Criterio: - Si ω es definida positiva Mínimo relativo condicionado - Si ω es definida negativa Máximo relativo condicionado - Si ω no es definida ni semidefinida No hay extremo relativo condicionado - Si ω es semidefinida Sin información
Ejemplos: 1. Extremos condicionados de f(x, y, z) = xl n (x) + yl n (y) + zl n (z) bajo la ligadura x + y + z = 1. Extremos condicionados de f(x, y, z) = 8xyz (con x, y, z > ) bajo la ligadura x + y + z = 1 3. Extremos condicionados de f(x, y, z) = xz + yz bajo las ligaduras x 3 y 3 4z 4 =, x + y + z 3 =
Ejemplos: 4. Extremos condicionados de f(x, y, z) = xyz bajo la ligadura x + y + z 3 = 5. Extremos condicionados de f(x, y) = xy bajo la ligadura x + y = 4 6. Extremos condicionados de f(x, y, z) = e z x + xyz, bajo las ligaduras x + y + z = 1, x + y =
Nota: Para hallar los extremos absolutos de una función en una región cerrada y acotada del plano, se puede proceder hallando primero los extremos en el interior de dicha región (cálculo de extremos relativos habitual), y luego los extremos condicionados a las ligaduras que determinan la frontera de nuestra región (método de los multiplicadores de Lagrange). Un ejemplo sería el cálculo de los extremos absolutos de una función en la región {(x, y) R : x + y 1} (que es un disco de radio unidad)