3. FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN.

3. FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN.. FUNCIÓN GAMMA. Los libros de Funciones de Variable Compleja suelen incluir un estudio de la función Gamma. 3,, Definición. La integral Γs = + 0 t s e t dt, Res > 0 define una función analítica en el semiplano Res > 0. A la que se llama función Gamma. 3,, Proposición. La función gamma se prolonga a una función meromorfa en todo el plano. Que tiene un polo simple en cada entero n 0. Estos son sus únicos polos. Esta función verifica la ecuación funcional Γs + = sγs. 3,,3 Corolario. Para valores enteros positivos Γn + = n!, y Γ = 0! =. 3,,4 Proposición. Γ/ = π, Γ n + = n! π n!. n 3,,5 Proposición. 0 t α t β dt = ΓαΓβ, Reα > 0, Reβ > 0. Γα + β Calculamos ΓαΓβ usando el mismo truco que para calcular Γ/. 3,,6 Fórmula de los complementos. Γs Γ s = Caso particular de la proposición anterior. 3,,7 Fórmula de duplicación de Legendre. π sen πs, s Z. Γs Γ s + = s π Γs. Calculamos 0 ts t s dt de dos maneras distintas. 3,,8 Expresión de Gauss. Uniformemente en cada compacto K que no contenga polos de Γs se cumple n! n s Γs = lim n + ss + s + n. En consecuencia la función Γs no toma nunca el valor 0. Teoría Analítica de Números, 00-003 3

3,,9 Producto infinito. 3,,0 Proposición. Γs = seγs Γ = + 0 n= + s e s/n. n log te t dt = γ. Aunque no veremos la prueba quiero incluir aquí el conocido desarrollo de Stirling. Puede verse la demostración en el libro de Edwards. 3,, Proposición. Dado s número complejo no negativo, designemos por θ el argumento de s tal que θ < π, se tiene entonces log Γs = donde s log s s + log π + B s + B 4 4 3 s + + B n 3 nn s + J ns, n J n s B n+ n + n + cos n+ θ s n+. Los B n son los números de Bernoulli B 0 =, B = /6, B 4 = /30 B 6 = /4, B 8 = /30,.... FUNCIÓN ZETA DE RIEMANN. El libro de Karatsuba es una buena referencia salvo por la traducción y la prueba de la fórmula de Poisson. Muchos libros de Teoría de números hacen una exposición de las propiedades de la función ζs. 3,, Definición. La serie ζs = n= ns, Res > define una función analítica en el semiplano Res >. A la que se llama función zeta de Riemann. Riemann probó que esta función se extiende a una función meromorfa en todo el plano, con un único polo en el punto s =. Naturalmente se llama función zeta de Riemann a esta prolongación única. 3,, Teorema Producto de Euler. Para Res > el producto siguiente es convergente y se da la igualdad. ζs =, Res >. p s p Teoría Analítica de Números, 00-003 4

3,,3 Corolario. La función ζs no se anula en el semiplano Res >. 3,,4 Teorema. La función ζs se prolonga a una función meromorfa en el semiplano Res > 0. Para Res > 0, y todo número natural N se tiene ζs = N n= n + N s s s + N s / {t} + s dt. N t s+ 3,,5 Corolario. La función ζs es analítica en el semiplano Res > 0 salvo en el punto s =. En el punto s = la función ζs posee un polo simple de residuo igual a. Pasamos ahora a probar la ecuación funcional de la función ζs. Riemann dió tres demostraciones y posteriormente se han visto numerosas más. La más instructiva es la segunda de Riemann. Esta prueba depende de una propiedad de la función theta definida por θx = n Ze πnx, x > 0. 3,,6 Fórmula de Poisson. θ = x x θx, x > 0. Un primer paso intermedio es relacionar la función ζs y la función θx. 3,,7 Proposición. s π s/ Γ ζs = + 0 t s/θt dt, Res >. t 3,,8 Proposición. La función ζs se extiende a una función meromorfa en todo el plano. Además para s {0, }, se tiene s π s/ Γ ζs = ss + + t s/ + t s/ θt dt t. 3,,9 Teorema Ecuación funcional. La función π s/ Γs/ζs queda invariante al cambiar s por s, es decir s π s/ Γ ζs = π s / Γ s ζ s. 3,,0 Corolario. La función ζs es meromorfa en todo el plano, tiene un único polo en s =, no se anula en Res >. Tiene ceros simples en los puntos, 4,..., n,... y éstos Teoría Analítica de Números, 00-003 5

son sus únicos ceros en Res < 0. Éstos son los llamados ceros triviales. Los únicos ceros no triviales posibles se encuentran en la banda crítica 0 Res. Riemann probó que existían infinitos ceros no triviales, y afirmó que era muy probable que todos los ceros no triviales se encontraran en la recta Res = /. Esta afirmación, que de ser cierta tendría numerosas consecuencias, no ha podido ser probada hasta hoy; es la que se conoce como Hipótesis de Riemann. Dadas las propiedades de la función Γs podemos escribir la ecuación funcional en varias formas equivalentes ζs = χsζ s, χs = π s Γscosπs/. ζs = s π s sen πs Γ sζ s. La ecuación funcional induce a definir las funciones enteras ξs = ss π s/ Γs/ζs, Ξt = ξ + it. Mediante ellas la ecuación funcional es equivalente a cualquiera de estas dos ξs = ξ s, ó Ξt = Ξ t. 3. EL PRODUCTO INFINITO DE LA FUNCIÓN ZETA. La existencia de un expresión de la función Ξt como producto infinito fue anunciada por Riemann. Posteriormente Hadamard consiguió probar teoremas generales sobre funciones enteras del cual se desprendía este hecho. Este fué un paso esencial en la prueba del teorema de los números primos, de hecho, esta fué la motivación de Hadamard para probar estos teoremas. Dado que no todos los alumnos han visto la demostración de estos teoremas, daremos aqui la prueba siguiendo en gran parte el camino que esquematizó Riemann en su trabajo. 3,3, Principio del argumento. Sea f:ω C una función analítica. P Ω un polígono cerrado y convexo, P la frontera orientada en el sentido contrario a las agujas del reloj. Si f no se anula en la frontera de P tendremos πi P f z fz dz = NP, donde NP es el número de ceros de f en P contados cada uno según su multiplicidad. Teoría Analítica de Números, 00-003 6

3,3, Teorema. Existe una constante C < + tal que para R > e y z < R se tiene Ξz e CR log R. 3,3,3 Proposición. Sea f analítica y acotada en el disco de centro 0 y radio R. Sea M la cota de f en dicho disco y a un punto tal que 0 < a < R. Si f no se anula en el segmento [0,a], Re a f z πi 0 fz dz + log M log R. f0 a 3,3,4 Teorema. Sea NR el número de ceros de Ξz en el disco de centro 0 y radio R, se tiene que NR CRlogR, R > e para cierta constante C. 3,3,5 Proposición. α α < +, donde la suma se extiende a todos los ceros α de Ξz, contado cada uno tantas veces como indique su multiplicidad. Más adelante veremos que la suma anterior tiene infinitos términos, es decir, que Ξz tiene infinitos ceros, pero en el teorema anterior no se presupone esto. En lo que sigue denotaremos por log aquella rama del logaritmo definida por log z = log z + iargz, con π < argz < π, en todo el plano menos el eje real negativo. También llamaremos Ω 0 la región del plano definida por Ω 0 = C {xα : x R, x }. α Este es un abierto estrellado respecto del origen, es decir, para cada punto z Ω 0 el segmento cerrado que une z y 0 está contenido en Ω 0. Por tanto Ω es simplemente conexo. 3,3,6 Proposición. La serie ft = α log t α define una función analítica en Ω 0. 3,3,7 Proposición. Sea f la función definida en la proposición anterior, existe una constante C tal que Im fz C z log z, z Ω 0, z > e. Teoría Analítica de Números, 00-003 7

3,3,8 Proposición. Existe una constante C tal que Im log Ξz C z log z, z Ω 0, z > e. 3,3,9 Proposición. Sea f una función analítica definida en el disco unidad D tal que f0 = 0, Suponemos que Refz A, para todo z D, entonces si 0 < r <, se tiene fz r A, cuando z r. r 3,3,0 Teorema. En Ω 0 se tiene la igualdad α log t + log Ξ0 = log Ξt. α 3,3, Corolario. Para todo t C Ξt = Ξ0 α t α. 3,3, Teorema. Para todo s C π s/ ζs = Ξ0 + s Γ + s/ α s /. α 3,3,3 Teorema. Para todo s C se tiene ζs = π s/ s Γ + s/ Re ρ>0 { s s }. ρ ρ En consecuencia la función ζs tiene infinitos ceros no triviales. Designaremos por ϱ n n= la sucesión formada por los ceros no triviales de la función ζs ordenados según el orden creciente de sus partes imaginarias, y cuando sean iguales las magnitudes absolutas de sus partes imaginarias en orden arbitrario. 3,3,4 Corolario. Para cierta constante A se tiene ξ s ξs = A + n +, s ϱ n ϱ n Teoría Analítica de Números, 00-003 8

Por consiguiente ζ s ζs = s + n + + s ϱ n ϱ n s + n + B. n n= 4. TEOREMAS SOBRE LOS CEROS. 3,4, Teorema. Sean ρ n = β n + iγ n, n =,,..., los ceros no triviales de la función zeta. Si T se tiene c log T. + T γ n n= En la descomposición en fracciones simples de ζ s/ζs poner s = + it y separar la parte real. 3,4, Corolario. El número de ceros ρ n de la función zeta para los cuales T Imρ n T + no sobrepasa a c 4 log T. 3,4,3 Corolario. Para T se tiene T γ n > = Olog T. T γ n 3,4,4 Corolario. Sea s = σ + it, donde σ y t, entonces ζ s ζs = t γ n s ρ n + Olog t, donde la suma se extiende a todos los ceros ρ n de la función ζs que satisfacen t Imρ n. Usar la expresión en fracciones simples de ζ s/ζs, acotar los términos usando los corolarios. Eliminar los términos /ϱ n restando la misma expresión en s = + it. Esencial para obtener el teorema de los números primos, es demostrar que la función ζs no se anula en la recta Res =. En el siguiente teorema se consigue un poco más, demostrando que existe una estrecha banda alrededor de dicha linea donde no hay ceros. Este tipo de teoremas, como veremos, son esenciales para obtener cotas del error en el teorema de los números primos. 3,4,5 Teorema de la Vallée-Poussin. Existe una constante absoluta c > 0 tal que no hay ceros de la función zeta en el dominio Res = σ c, t 5. log t Teoría Analítica de Números, 00-003 9

La prueba se basa fuertemente en el hecho de que { 3 ζ σ } ζσ { + 4 Re ζ σ + it ζσ + it } { + Re ζ σ + it ζσ + it } 0. Suponiendo que β +iγ es un cero de ζs se obtienen las cotas ζ σ ζσ < σ + B, Re ζ σ + iγ ζσ + iγ < log γ σ β, y Re ζ σ + iγ ζσ + iγ < log γ. 5. RELACIÓN ENTRE LA SUMA DE LOS COEFICIENTES DE UNA SERIE DE DIRICHLET Y LA FUNCIÓN DADA POR ESTA SERIE. El tema está bien desarrollado en el libro de Karatsuba y el de Davenport. En este apartado consideramos una serie de Dirichlet fs y la función Sx fx = n= a n n s ; Sx = n x a n. Este es el camino natural de probar el teorema de los números primos y muchos otros resultados de carácter análogo. El método empleado se denomina método de integración compleja. En primer lugar necesitamos un lema técnico 3,5, Lema. Sea x > 0, T > 0, y b > números reales. Se tiene entonces para x b+it x sds πi b it s = + O x b T log x O x b T log x, si x > ;, si 0 < x <. 3,5, Teorema. Supongamos que la serie para fs converge absolutamente para Res = σ >, y que a n An, donde Ax es una función monótona creciente. Supongamos además que cuando σ + n= a n n σ = O σ α, α > 0. Teoría Analítica de Números, 00-003 0

Entonces para cualesquiera b 0 > b >, T y x = N + / se tiene Sx = n x a n = b+it fs xs πi b it s x b ds + O Tb α donde las constantes en los símbolos O dependen sólo de b 0. + O xaxlog x, T 6. TEOREMA DE LOS NÚMEROS PRIMOS El tema está bien desarrollado en el libro de Karatsuba y el de Davenport. 3,6, Teorema de la Valleé Poussin. Existe una constante absoluta c > 0, tal que ψx = n x Λn = x + O xe c log x ; πx = p x = x du log u + O xe c log x. 3,6, Teorema. Sea T x. Entonces ψx = Λn = x n x Imρ T x ρ ρ + O xlog x, T donde ρ recorre los ceros de la función zeta contenidos en la banda crítica. Teoría Analítica de Números, 00-003