lase 4. ampos Vectorialesy Operadoresiferenciales Un campo vectorial en R n es una función F : R n R n. i F es un campo vectorial, una línea de flujo (línea de corriente o curva integral) para F es una trayectoria σ(t) tal que σ (t) = F(σ(t)).e esta manera F define el campo de velocidad de las trayectorias. uponemos que F es de clase. Analíticamente el problema de hallar una línea de flujo que pase por el punto x en t =, implica resolver la ecuación diferencial σ (t) = F(σ(t)), con condición inicial σ() = x. En R 3, si F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) (coordenadas cartesianas) se obtiene el sistema x (t) = P(x(t), y(t), z(t)) y (t) = Q(x(t), y(t), z(t)) z (t) = R(x(t), y(t), z(t)) con x() = x y() = y z() = z Geométricamente el problema de hallar una línea de flujo que pase por x es el de hallar una curva que colocada en el campo vectorial, su vector tangente (a la curva) coincida con el campo vectorial, como se muestra en la figura (??) El problema de valor inicial x Figura : σ(t) = F(σ(t)), σ() = x es equivalente a la ecuación integral σ(t) = t F(σ(t)) dt + x
En general la solución única, la línea de flujo (en condiciones adecuadas) estaría dada por una función φ(x, t) indicando la posición del punto en la línea de flujo que pasa por x después de transcurrido el tiempo t. Luego de, φ(x, t) = F(φ(x, t)), φ(x, ) = x sería t φ(x, t) = y así la integral representa el flujo F. t F(φ(x, t)) dt + x efinición 3.8 (Rotor). onsideremos el campo vectorial F de clase en R 3, F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). e define el rotor de F como el campo vectorial de clase dado por Rot(F) = (R y Q z, P z R x, Q x P y ) Usando el símbolo del gradiente,, dado por = (,, ) y su interpretación como x y z un operador diferencial se obtiene que i j k Rot(F) = F = x y z = (R y Q z, P z R x, Q x P y ) P Q R y su acción en un campo escalar f es ( f = x, y, ) ( f f = z x, f y, f ) z el gradiente de f. efinición 3.9 (ivergencia). La divergencia del campo vectorial F se define por div F = F = P x + Q y + R z Teorema 3.. Para cualquier campo escalar f de clase 2 se cumple que Rot (grad(f)) =, es decir, f = emostración : La demostración es sencilla, basta calcular i j k f = x y z = (f yz f zy, f zx f xz, f yx f xy ) = f x f y f z ya que las derivadas cruzadas son iguales por ser f de clase 2.
Teorema 3.. Para cualquier campo vectorial F de clase 2 se cumple que div(rot F) =, es decir, ( F) = emostración : Hacemos F = (P, Q, R) y calculamos ( F) = (R y Q z, P z R x, Q x P y ) = x (R y Q z ) + y (P z R x ) + z (Q x P y ) = R yx Q zx + P zy R xy + Q xz P yz = porque las derivadas cruzadas son iguales por ser F de clase 2 Teorema 3.2. ean f y g campos escalares de clase 2. e cumple que div( f g) = emostración : Para realizar la demostración de nuevo hay que realizar las operaciones indicadas: luego i j k f g = f x f y f z = (f y g z f z g y, f z g x f x g z, f x g y f y g x ) g x g y g z div( f g) = x (f yg z f z g y ) + y (f zg x f x g z ) + z (f xg y f y g x ) al calcular las derivadas de los productos y tomando en cuenta que las derivadas cruzadas son iguales porque f y g son de clase 2 se obtiene que div( f g) =. Algunas identidades sencillas en el análisis vectorial serían las siguientes: f y g denotan campos escalares y F y G campos vectoriales (a) (f + g) = (f) + (g). (b) (kf) = k (f), donde k es una constante. (c) (fg) = f (g) + g (f). (d) (f/g) = g (f) f (g) g 2. (e) div(f + G) = div(f) + div(g). (f) Rot (F + G) = Rot (F) + Rot (G).
(g) div(ff) = fdiv(f) + F f. (h) Rot (fg) = frot (G) + f G. Así por ejemplo, para probar (h), si G = (g, g 2, g 3 ), entonces fg = (fg, fg 2, fg 3 ). Luego i j k Rot fg = x y z fg fg 2 fg 3 ( = y (fg 3) z (fg 2), z (fg ) x (fg 3), x (fg 2) ) y (fg ) ( g3 = f y g 2 z, g z g 3 x, g 2 x g ) y ( f + y g 3 f z g 2, f z g f x g 3, f x g 2 f ) y g i j k = frot G + f x f y f z g g 2 g 3 = frot G + f G. Observación 4. i F representa el campo velocidad de un fluido, la divergencia de F se puede interpretar como la tasa de expansión del fluido por unidad de volumen en la unidad de tiempo. Más adelante estudiaremos esto de nuevo.
lase 6. Teorema de tokes La generalización de la forma vectorial del teorema de Green (Teorema (4.)) al espacio R 3 se obtiene cuando la superficie es acotada por una curva cerrada en R 3, así podemos enunciar el teorema de tokes Teorema 4.2 (tokes). ea una superficie de clase en R 3 orientada, con vector normal η unitario. upongamos que su curva frontera, denotada por, se orienta de manera que la superficie queda a la izquierda de la curva (contrario al movimiento de las agujas del reloj). ea F un campo vectorial en un conjunto abierto que contiene a W y su frontera, entonces Rot F η d = F dσ i la superficie es la gráfica de una función z = f(x, y), de manera que se parametriza por φ : R 2 R 3, φ(u, v) = (u, v, f(u, v)), donde es una región cuya frontera es una curva cerrada simple con orientación positiva de manera que se cumple el teorema de Green. i σ : [a, b] R 2, σ(t) = (x(t), y(t)) es una parametrización que conserva la orientación positiva, entonces la curva frontera es la curva cerrada simple orientada que es imagen de la función η(t) = (x(t), y(t), f(x(t), y(t))) con la orientación indicada por η(t). La superficie debe quedar ya la izquierda al movernos sobre de acuerdo a la regla de la mano derecha. η z x Figura : Teorema 4.3 (tokes para Gráfica). ea la superficie orientada definida por una función 2, z = f(x, y), (x, y) y sea F un campo vectorial en. i denota la curva
frontera orientada que acota a, entonces Rot F d = F dσ Recordemos que Rot F = Rot F η d. Así el teorema de tokes afirma que la integral de la componente normal del rotor de un campo vectorial F sobre una superficie es igual a la integral de la componente tangencial de F alrededor de la frontera. La demostración puede verse en el libro álculo Vectorial de Marsden-Tromba, simplemente realizando los cálculos que se indican al suponer F = (P, Q, R), la parametrizacón de dada por η(t) = (x(t), y(t), f(x(t), y(t))) y aplicaciones de la regla de la cadena y el teorema de Green. A continuación enunciaremos el teorema para superficies parametrizadas. Teorema 4.4 (tokes Para uperficies Parametrizadas). ea una superficie orientada definida por una parametrización φ inyectiva φ : R 2 R 3. i denota la curva frontera orientada que acota a y F es un campo vectorial en, entonces F dσ = Rot F d i σ(t) = (u(t), v(t)) es una parametrización de en la dirección positiva, la imagen de bajo φ, φ( ) será la frontera geométrica de = φ() y la frontera de será la curva cerrada simple orientada que es la imagen de la función η(t) = φ(u(t), v(t)) con la orientación inducida por η Ejemplo 4.5. ea la curva intersección entre las superficies de ecuación z = x 2 + y 2 y x 2 + (y ) 2 = con orientación anti-horaria vista desde arriba. i el campo vectorial F está dado por F(x, y, z) = (y, x, z), calcule F dσ olución. El cilindro corta sobre el paraboloide z = x 2 + y 2 una superficie acotada por, como se muestra en la figura (2). e cumplen las condiciones del teorema de tokes, F es y la orientación inducida η en es hacia arriba. parametrizamos el paraboloide z = f(x, y) = x 2 + y 2 con φ(x, y) = (x, y, x 2 + y 2 ); : x 2 + (y ) 2, T x T y = ( f x, f y, ) = ( 2x, 2y, ). Así esta parametrización conserva la orientación η. alculemos Rot F = (,, 2) y aplicando el teorema de tokes
z η x y Figura 2: tenemos F dσ = Rot F d = (,, 2) ( 2x, 2y, ) dxdy = 2 dxdy = 2Área() = 2π Ejemplo 4.6. alcule la integral F dl, donde el campo vectorial F está dado por F(x, y, z) = (2y + z, x + z, x + y) y la curva es la intersección del plano z = y con el cilindro x 2 + y 2 = 2y son sentido anti-horario vista desde abajo. olución. alculamos Rot F = (,, ). encierra una superficie acotada sobre el plano z = y, como se muestra en la figura (3), con orientación η hacia abajo. Parametrizando dicho plano φ(x, y) = (x, y, y), z = f(x, y) = y, T x T y = ( f x, f y, ) = (,, ) y la parametrización invierte la orientación. omo F es, aplicando el teorema de tokes F dl = Rot F d = (,, ) (,, ) dxdy,η = da = x 2 +y 2 2y da = Área() = π Note que anti-horario desde abajo es horario desde arriba.
z η y x Figura 3: lase 7. ampos onservativos ea F un campo vectorial F : R 3 R 3. efinición 4.7. e dice que F es conservativo en si para toda curva cerrada orientada simple en se cumple que F dl =. efinición 4.8. e dice que la integral de línea F dl = es independiente de la trayectoria (o que depende sólo de los puntos extremos de la curva) si para cualesquiera dos curvas y 2 en con idénticos puntos extremos se cumple que F dl = F dl 2 Es claro que estas dos definiciones son equivalentes: si suponemos que se cumple (4.8) para probar (4.7), tomamos una curva cerrada, se tiene que y tienen los mismos extremos. Por (4.8) es F dl = F dl = F dl, así 2 F dl = y F dl = cumpliéndose (4.7). uponiendo ahora que se cumple (4.7), elegimos dos curvas arbitrarias y 2 con extremos iguales. Luego 2 es cerrada, ver figura (4). Por (4.7) es 2 F dl =, es decir, F dl 2 F dl = y así F dl = 2 F dl, cumpliéndose (4.8). i F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) en la integral F dl = Pdx+Qdy + Rdz aparece la expresión Pdx + Qdy + Rdz. iremos que esta expresión es una diferencial
2 Figura 4: exacta si existe un campo escalar f : R 3 R de manera que su derivada total df coincida con ella, es decir, si df = Pdx + Qdy + Rdz. Luego f x dx + f y dy + f z dz = Pdx+Qdy +Rdz y así df df = P, = Q y df = R. En forma equivalente si el campo vectorial dx dy dz F satisface que F = f se dirá en este caso que f es un potencial de F. Usando el teorema (3.2), si F = f, entonces Rot F = Rot f = f =. Por otra parte, si Rot F = y es una curva cerrada orientada en, tomamos una superficie cuya frontera sea y aplicando el teorema de tokes (F sería ) se tiene que F dl = Rot F d =. Luego Teorema 4.9. i existe un potencial f del campo vectorial F : R 3 R 3, entonces Rot F = y el campo es conservativo. La forma general del teorema de campos conservativos sería enunciado así Teorema 4.. ea F un campo vectorial definido en R 3. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) F es conservativo. (ii) La integral de línea F dl es independiente de la trayectoria. (iii) Existe una función de potencial f para F, es decir, F = f. (iv) La expresión P dx +Qdy +Rdz es una diferencial exacta, F = (P, Q, R). (v) Rot F = emostración : ólo resta ver que (ii) (iii), lo cual se hace considerando la función f(x, y, z) = x P(t,, ) dt + y Q(x, t, ) dt + z R(x, y, t) dt
Ejemplo 4.. onsidere el campo vectorial F, F(x, y, z) = (2xy + z 3, x 2, 3xz 2 + z). (a) ecida si es conservativo. (b) En caso afirmativo obtenga un potencial f. (c) alcule la integral F dl, donde es una curva que une el punto (, 2, ) con el punto (3,, 4) olución. (a) El campo F es, calculemos su rotor i j k Rot F = F = x y z = 2xy + z 3 x 2 3xz 2 + z Luego por el teorema (4.) F es conservativo. (b) Para calcular el potencial f, es decir, el campo escalar f tal que F = f, resolvemos el sistema: f x = P, f y = Q y f z = R: f x = 2xy + z 3 f y = x 2 f z = 3xz 2 + z Integrando la primera ecuación con respecto a x será f(x, y, z) = (2xy + z 3 ) dx + ϕ(y, z) = x 2 y + z 3 x + ϕ(y, z) derivando respecto de y f y = x2 + ϕ y = x2 así, ϕ ϕ =. Integrando ϕ(y, z) = y y dy + ψ(z) = ψ(z). Luego f(x, y, z) = x2 y + z 3 x + ψ(z), al derivar respecto de z, f z = 3z 2 x + ψ (z) = 3xz 2 + z. Así ψ (z) = z, ψ(z) = z 2 /2 + k. Por último (c) F dl = f(x, y, z) = x 2 y + z 3 x + z2 2 + k. f dl = f(p ) f(p ) = f(3,, 4) f(, 2, ) = 45 2
Observación 5. e puede obtener f muy fácilmente calculando P dx, Q dy y R dz: P dx = 2xy + z 3 dx = x 2 y + z 3 x + k Q dy = x 2 dy = x 2 y + k R dz = 3xz 2 + z dz = xz 3 + z 2 /2 + k e toman los términos semejantes sin repetirlos (deben tener los mismos coeficientes), así f(x, y, z) = x 2 y + z 3 x + z2 2 + k. i los términos semejantes tienen coeficientes distintos el sistema no es conservativo. Ejemplo 4.2. onsideremos el campo vectorial F dado por F(x, y, z) = (y 2 + 2xyz + h(z), 2xy + x 2 z + 2yz 2, x 2 y + 2y 2 z + x cos(z)) (a) Obtener la función real derivable h(z) para que el campo sea conservativo. (b) Usando esta función, halle un potencial f olución. (a) F es y resolvemos el sistema Rot F =. e obtiene Rot F = (, h (z) cos(z), ) = (,, ) e h (z) = cos(z) es h(z) = sin(z) + c. Tomando c = es h(z) = sin(z). (b) F(x, y, z) = (y 2 + 2xyz + sin(z), 2xy + x 2 z + 2yz 2, x 2 y + 2y 2 z + x cos(z)) Resolviendo F = f o integrando será P dx = y 2 + 2xyz + sin(z) dx = y 2 x + x 2 yz + x sin(z) + k Q dy = 2xy + x 2 z + 2yz 2 dy = xy 2 + x 2 yz + y 2 z 2 + k R dz = x 2 y + 2y 2 z + x cos(z) dz = x 2 yz + y 2 z 2 + x sin(z) + k Luego f(x, y, z) = y 2 x + x 2 yz + x sin(z) + y 2 z 2 + k
lase 8. Teorema de la ivergencia La generalización del teorema (5.5), de ladivergencia en el plano (ode Green) al espacio R 3 se obtiene al considerar el flujo de un campo vectorial a través (hacia afuera, orientación exterior) de una superficie cerrada la cual encierra a una región (volumen), en condiciones adecuadas el flujo del campo coincidirá con la integral triple de la divergencia. Teorema 4.3 (ivergencia). ea V una región el el espacio de tipo IV y denotemos por V la superficie cerrada orientada que acota a V. i F es un campo vectorial definido en V, entonces F d = divf dv V V Teorema 4.4 (Leyde Gauss). eav una regiónenelespacio de tipoiv ydenotemos por V la superficie cerrada orientada con η que acota a V. onsideremos el campo vectorial r(x, y, z) = (x, y, z) y r(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2. i el origen no está en V, entonces V { r η 4π si (,, ) V ; r d = 3 si (,, ) V. Para interpretar la divergencia como tasa de expansión de flujo, recurrimos al siguiente teorema Teorema 4.5. ea la región esférica de radio t, con centro en el punto P en R 3. La esfera (superficie) de radio t, denotada por (t), es la frontera de con vector normal unitario η exterior. i denota el volumen de y F es un campo vectorial (en las esferas), entonces (divf)(p) = lím t (t) F η d Es decir, la divergencia de F en el punto P es la razón de cambio del flujo saliendo de la esfera por unidad de volumen, por unidad de tiempo en el punto. i se interpreta F como una densidad de masa, entonces la divergencia de F en P sería la razón de cambio de la masa por unidad de volumen en la unidad de tiempo en el punto P emostración : La función escalar f(x, y, z) = divf es continua por ser F de clase y se puede escribir que f(x) = f(p) + h(x), donde x = (x, y, z) y lím x P h(x) =. Al aplicar el
teorema de la divergencia se obtiene F η d = (t) = divf dv f(p) dv + h dv como f(p) = divf(p) es constante F η d = f(p) (t) ahora podemos probar que lím t máx h(x) si t. Luego x P t = f(p) + h dv máx h(x) x P t dv + h dv h dv h dv =. Por ser h(x), para x P es dv máx h(x) x P t tomando límite es Así, lím t lím t h dv lím t h dv = y f(p) = lím t (t) máx x P t F η d h(x) = Ejemplo 4.6. onsidere el campo vectorial F dado por F(x, y, z) = (zx z 2 y 2, 2yz, y x 2 y 2 z 2 ) y las superficies = {(x, y, z) : x 2 +y 2 9, z = 3}, 2 = {(x, y, z) : x 2 +y 2 = z 2, z 3}, 3 = {(x, y, z) : x 2 + y 2, z = }. ea = 2 3 con la orientación de los vectores normales exteriores. alcule F d olución. e cumplen las condiciones del teorema de la divergencia. alculamos divf = z z 2 y 2. Así F d = divf dv V
η η 2 2 3 η 3 V divf dv = = 2 3 z Figura 5: z 3 z = 8 z 5 3 5 = 936 5 z 3 z 2 y 2 z z z 2 y 2 dx dy dz 2 y 2 z(z 2 y 2 ) dy dz = 8 3 3 z 4 dz Ejemplo 4.7. onsideremos el cilindro de ecuación x 2 +y 2 = 2y. Este cilindro corta al cono z = x 2 + y 2 en una superficie acotada. La superficie lateral del cilindro comprendida entre el cono y el plano z= se denota por 2 y sea = 2 con la orientación exterior. i el campo vectorial F está dado por F(x, y, z) = (2x, x, z + ) calcule F d = Flujo(). olución. ea 3 la tapa inferior dada por z =, x 2 + y 2 2y. Así 3 acota (encierra) una región de volumen V. El campo F es suave y aplicando el teorema de la divergencia es divf dv = F d = F d + F d V 3 e aquí es F d = V divf dv 3 F d. alculemos la integral de volumen de la divergencia y el flujo en 3 (la tapa inferior). obre 3 será z = = f(x, y), : x 2 + (y ) 2. La parametrización usual es φ(x, y) = (x, y, f(x, y)) = (x, y, ), T x T y = ( f x, f y, ) = (,, ). La orientación exterior η 3 está dada η 3 = (,, ). Luego φ invierte 3
η 2 η 2 3 η 3 Figura 6: la orientación y así Flujo( 3 ) = F d = (2x, x, ) (,, ) dx dy 3 = da alculemos divf dv == 3 = Area() = π x 2 +y 2 dz dx dy = 3 V x2 + y 2 dx dy. Usando coordenadas polares x = r cos(t), y = r sin(t), y sustituyendo en x 2 + y 2 = 2y es r 2 = 2r sin(t), r =, r = 2 sin(t), t π divf dv = 3 x2 + y 2 dx dy V = 3 = 8 π 2 sin(t) π r 2 dr dt = 8 π 3 3 sin 3 (t) dt sin 2 (t) sin(t) dt = 8 π ( cos 2 (t)) sin(t) = 32 3 sustituyendo F d = V divf dv F d = 3 32 3 ( π) = 32 3 + π