Guía de Modelos Probabilísticos 1. Distribución Binomial 1. Una máquina produce cierto tipo de piezas de las cuales el 5 % son defectuosas. Se seleccionan en forma independiente 5 piezas al azar. Calcule la probabilidad de que: a) exactamente una pieza sea defectuosa. b) a lo mas 2 piezas sean defectuosas. c) a lo menos una pieza sea defectuosa. d) mas de una y a lo mas 4 sean defectuosas. Determine el número esperado de piezas defectosas y la varianza. 2. Una firma informa que el 30 % de sus cuentas por cobrar están vencidas. Si un contador escoge aleatoriamente una muestra de cinco de las cuentas, determinar la probabilidad de: a) ningun de las cuentas esté vencida. b) exactamente dos cuentas estén vencidas. c) exactamente 20 % de las cuentas estén vencidas. d) a lo mas 3 cuentas estén vencidas. 3. Un ingeniero en seguridad de automóviles afirma que 1 de 10 accidentes automovilísticos se debe a la fatiga del conductor. Calcule la probabilidad de que a lo menos 3 de 5 accidentes de automóvil se deban a fatiga del conductor. (Suponga que la muestra se escoge con reemplazo). 1
2. Distribución Hipergeométrica 1. De los pagos efectuados en una tienda comercial un dia cualquiera, se sabe que 6 fueron en efectivo y 4 con tarjetas de crédito. Si se escogen 3 pagos aleatoriamente, calcule la probabilidad de que: a) exactamente los 3 pagos sean en efectivo. b) exactamente 2 de los pagos sea con tarjetas de crédito. c) ninguno de los pagos sea en efectivo. d) al menos uno de los pagos sea con tajetas de crédito. e) Determine el valor esperado y la varianza de los pagos en efectivo. 2. Se sabe que 5 de cada 20 lámparas incandescentes se queman antes de una semana si se dejan encendidas todo el tiempo. Si se escogen al azar y sin reposición 4 lámparas, determine la probabilidad de que: a) una de las lámparas se queme antes de una semana. b) al menos 2 de las lámparas se quemen después de una semana. c) ninguna de las lámparas se quemen antes de una semana. 3. De un lote de 300 artículos se sabe que 24 presentan defectos. Si se escogen al azar 12 artículos, calcular la probabilidad de que: a) exactamente 4 presentan defectos. b) ninguno presenta defectos. c) a lo menos 3 presentan defectos. 4. El fabricante de unidades de discos de una determinada marca de microcomputadores, afirma que solo el 2 % de las unidades pueden tener problemas de funcionamiento antes del tiempo de garantía. Si el último mes se distribuyeron 1000 de los discos, considere una muestra de 40 unidades escogidas al azar y determine la probabilidad de que: a) exactamente una tenga problemas antes del tiempo de garantía. b) a lo mas 2 unidades tengan problemas antes del tiempo de garantía. c) a lo menos una unidad tenga problemas antes del tiempo de garantía. Universidad Tecnológica INACAP 2 Ricardo Salinas P.
5. Una muestra de 4 fusibles se selecciona sin restricción de un lote consistente de 3.000 fusibles. Suponiendo que el 80 % de los fusibles del lote no son defectuosos. Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga exactamente 2 fusibles defectuosos? 6. De un conjunto muy grande de productos de cierta clase se seleccionan seis al azar. Si el 40 % de los productos son defectuosos. Cuál es la probabilidad de que no mas de cuatro de los seis artículos seleccionados sean defectuosos? 3. Distribución de Poisson 1. Si el promedio de llamadas por por hora que se reciben en un banco es 12. Calule la probabilidad de que: a) en una hora cualquiera se reciban exactamente 14 llamadas. b) en una hora cualquiera se reciba a lo mas una llamada. c) en una hora cualquiera se reciban a lo menos 2 llamadas. d) en 30 minutos se reciban exactamente 4 llamadas. e) en 20 minutos no se reciban llamadas. 2. En un aeropuerto se trasladan en promedio 8,5 unidades de equipaje por minuto. Calcule la probabilidad de trasladar 10 unidades de equipaje en un minuto determinado. 3. Un manuscrito de un libro tiene un total de 50 errores en 500 páginas. Los errores están distribuidos aleatoriamente en el libro. calcule la probabilidad de que: a) en 30 páginas se encuentren 2 o más errores. b) en 50 páginas se encuentren 2 o más errores. c) una página seleccionada aleatoriamente no tenga errores. 4. Un cierta zona de un continente sufre en promedio seis huracanes por año. Calcule la probabilidad de que en un año dado: a) sufra menos de cuatro huracanes. b) sufra entre seis y ocho huracanes. Universidad Tecnológica INACAP 3 Ricardo Salinas P.
5. El número promedio de automóviles que llegan cierta plaza de peaje es de 4 en 10 minutos. Calcular la probabilidad de que: a) entre las 12:00 y 12:04 horas de un día cualquiera, llegue más de un automóvil. b) en un intervalo cualquiera de 10 minutos lleguen a lo mas 2 automóviles. 6. El 10 % de las herramientas producidas en un proceso de fabricación determinado resultan defectuosas. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas seleccionadas al azar, exactamente 2 estén defectuosas, empleando a) la distribución Binomial. b) la aproximación de Poisson de la distribución Binomial. 7. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción popr una inyección de suero es 0,001. Determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos: a) exactamente 3 sufra una reacción. b) mas de 2 sufran una reacción. 4. Distribución Geométrica 1. Hallar la probabilidad de que en el lanzamiento de un dado honrado resulte un 3 por primera vez en el quinto lanzamiento. 2. En un canal de comunicación, un modem puede equvocar un caracter enviado con una probabilidad de 0,001. Que probabilidad hay de que transmita 300 caracteres sin error? 3. En un proceso de manufactura se sabe que, en promedio, una de cada cien piezas es defectuosa. Cuál es la probabilidad de que la quinta pieza seleccionada al azar sea la primera defectuosa? 4. Un explorador de petróleo perfora una serie de pozos en una cierta área para encontrar un pozo productivo. La probabilidad de que tenga éxito en una prueba es 0,2. Cuál es la probabilidad de que el primer pozo productivo sea el tercer pozo perforado? Universidad Tecnológica INACAP 4 Ricardo Salinas P.
5. Se estima que el 6 % de los consumidores de cigarrillos prefiere una marca en particular. Cuál es la probabilidad, al entrevistar a un grupo de fumadores, de que tenga que entrevistar a exactamente cinco personas, para encontrar al primer consumidor que prefiere la marca de cigarrillos? 6. La probabilidad de que un vendedor realice una venta al entrevistarse con un cliente es de 10 %. Cuál es la probabilidad de que el vendedor tenga que entrevistar a mas de 2 personas antes de realizar la primera venta? 5. Distribución Normal 1. Una cierta máquina produce resistencia eléctrica que tiene un valor esperado de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms. Suponiendo que los valores de las resistencias siguen una distribución normal. Qué porcentaje de las resistencias tendrá un valor que exceda de 43 ohms? 2. El número de días entre el envío de una cuenta y el pago correspondiente sigue una distribución normal con valor esperado 16 y desviación estándar 5. a) Cuántos días transcurren hasta que se paga el 10 % de las cuentas? b) Después de cuantos días quedará el 25 % de las cuentas sin pagar? 3. Los puntajes obtenidos por los alumnos de una Universidad en un examen de Estadística es una variable aleatoria que sigue una distribución normal con valor esperado 70 y desviación estándar 12. a) Qué porcentaje de los alumnos tiene un puntaje mayor que 82? b) Si el 5 % de los alumnos con menores puntajes repite el examen. Cuál es el puntaje mínimo para no repetir el examen? 4. El diámetro de un cierto tipo de rodamientos sigue una distribución normal con valor esperado de 1 cm.. Si se sabe que un tercio de los rodamientos tiene un diámetro superior a 1,1 cm., cacule: Universidad Tecnológica INACAP 5 Ricardo Salinas P.
a) La desviación estándar. b) El porcentaje de rodamientos que tienen un diámetro que no difiere en más de 0,2 cm. de su valor esperado. c) El diámetro que es superado por el 75 % de los rodamientos. d) El 10 % de los rodamientos son rechazados por estar debajo de la medida permitida. Cuál debe ser el menor valor del diámetro de un rodamiento para no ser rechazado? 5. La vida útil de cierta marca de llantas de automóvil se distribuye normal con media µ = 32,000 kilómetros y desviación estándar σ = 1000 kilómetros. Si se escoge una llanta al azar: a) Cuál es la probabilidad de que su vida útil sea menor a 33.000 kilómetros? b) Cuál es la probabilidad de que su vida útil esté entre 31.500 y 32.500 kilómetros? c) La empresa que fabrica las llantas afirma que solo el 4 % de las llantas no cumplen con el kilometraje mínimo de garantía. Cuál debe ser el el kilometraje mínimo para que se cumpla lo afirmado por la empresa? d) Si se escogen al azar y con reposición 5 llantas. Cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una vida útil menor a 33.000 kilómetros? 6. Una máquina produce tornillos de los cuales se sabe que el 10 % son defectuosos. Si se toma una muestra con reemplazo de 600 tornillos, use la distribución normal para aproximar la probabilidad de que: a) A lo más 30 de los tornillos son defectuosos. b) Entre 30 y 50 tornillos son defectuosos. c) 50 o más tornillos son defectuosos. d) exactamente 30 toenillos son defectuosos. 7. Una empresa de comunicación telefónica señala que en promedio 60 de cada 1000 clientes utiliza el servicio para llamadas de larga distancia, en una hora determinada. Use la distribución normal para aproximar la probabilidad de que: a) al menos 100 clientes realizan llamadas larga distancia en una hora. b) exactamente 40 clientes realizan llamadas larga distancia en una hora. Universidad Tecnológica INACAP 6 Ricardo Salinas P.