Matemáticas Aplicada

GESTIÓN DITORIAL Clemente Mora González Jefe del Departamento de Fomento Editorial Leticia Mejia García Coordinadora de Fomento Editorial Ulises Ramírez Hernández Coordinador de Diseño Gráfico Miguel Antonio González Vidales Gestión Administrativa Mayra Guzmán Gallego Diseño Gráfico DIRECCIÓN GENERAL Av. Panamá #199 Esquina con Buenos Aires. Col. Cuauhtémoc Sur Tels. 01 (686) 9 05 56 00 al 08 Correo Electrónico: principal@cecytebc.edu.mx Página Web: www.cecytebc.edu.mx CICLO ESCOLAR 01-1 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra incluido el diseño tipográfico y de portada por cualquier medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor. Nota: Al personal Docente interesado en enriquecer el contenido del presente documento, le agradeceremos hacernos llegar sus comentarios o aportaciones a los siguientes correos: acaro@cecytebc.edu.mx fomentoeditorial@cecytebc.edu.mx

José Guadalupe Osuna Millán Gobernador del Estado de Baja California Javier Santillán Pérez Secretario de Educación y Bienestar Social del Estado CECYTE BC Adrian Flores Ledesma Director General Jesús Gómez Espinoza Director Académico Ricardo Vargas Ramírez Director de Administración y Finanzas Olga Patricia Romero Cázares Directora de Planeación Argentina López Bueno Directora de Vinculación Ángela Aldana Torres Jefe del Departamento de Evaluación Académica MUNICIPIO DE MEXICALI Cristina de los Ángeles Cardona Ramírez Directora del Plantel Los Pinos Laura Gómez Rodríguez Encargada del Plantel San Felipe Carlos Zamora Serrano Director del Plantel Bella Vista Jesús Ramón Salazar Trillas Director del Plantel Xochimilco Directorio Rodolfo Rodríguez Guillén Director del Plantel Compuertas Abraham Limón Campaña Director del Plantel Misiones Francisco Javier Cabanillas García Director del Plantel Guadalupe Victoria Román Reynoso Cervantes Director del Plantel Vicente Guerrero MUNICIPIO DE TIJUANA Martha Xóchitl López Félix Directora del Plantel El Florido María de los Ángeles Martínez Villegas Directora del Plantel Las Águilas Amelia Vélez Márquez Directora del Plantel Villa del Sol Bertha Alicia Sandoval Franco Directora del Plantel Cachanilla Rigoberto Gerónimo González Ramos Director del Plantel Zona Río Jorge Ernesto Torres Moreno Director del Plantel El Niño Joel Chacón Rodríguez Director del Plantel El Pacífico Efraín Castillo Sarabia Director del Plantel Playas de Tijuana Benito Andrés Chagoya Mortera Director del Plantel Altiplano Juan Martín Alcibia Martínez Director del Plantel La Presa MUNICIPIO DE ENSENADA Alejandro Mungarro Jacinto Director del Plantel Ensenada Emilio Rios Macias Director del Plantel San Quintín MUNICIPIO DE ROSARITO Manuel Ignacio Cota Meza Director del Plantel Primo Tapia Héctor Rafael Castillo Barba Director del Plantel Rosarito Bicentenario MUNICIPIO DE TECATE Christopher Díaz Rivera Encargado del Plantel Tecate

MENSAJE DEL GOBERNADOR DEL ESTADO Jóvenes Estudiantes de CECYTE BC: La educación es un valuarte que deben apreciar durante su estancia en el Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, dado la formación y calidad educativa que les ofrece la Institución y sus maestros. Por ello, asuman el compromiso que el Gobierno del Estado hace para brindarles educación media superior, a fin de que en lo futuro tengan mejores satisfacciones de vida, y se conviertan en impulsores y promotores del crecimiento exitoso, con la visión que tiene nuestra entidad en el plano nacional. Esta administración tiene como objetivo crear espacios y condiciones apropiadas para que en un futuro inmediato, el campo laboral tenga profesionistas técnicos de acuerdo al perfil de la industria que cada día arriba a nuestra entidad; por lo que los invito a ser mejores en sus estudios, en su familia y en su comunidad. En ustedes se deposita la semilla del esfuerzo y dedicación que caracteriza a los bajacalifonianos. Son el estandarte generacional que habrá de marcar la pauta de nuestro desarrollo.como Gobierno del Estado, compartimos el reto de ser formadores de los futuros profesionistas técnicos que saldrán del CECYTE BC. Unamos esfuerzos, Gobierno, Sociedad, Maestros y Alumnos, para brindar y recibir una mejor educación en Baja California, ser punta de desarrollo humano, crecimiento industrial y económico, y factor importante del progreso de México.

MENSAJE DEL SECRETARIO DE EDUCACIÓN Alumno de CECYTE BC: La educación es una herramienta que aumenta tus oportunidades de desarrollo personal, y permite ampliar tu horizonte de posibilidades de progreso económico y social. Bajo esa perspectiva, el Gobierno del Estado de Baja California asume con responsabilidad su compromiso con los jóvenes en la tarea de crear espacios educativos en el nivel medio superior, y ofrecerles programas de estudios tecnológicos que les permitan integrarse con competencia a fuentes de trabajo y/o continuar estudios superiores. El Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, es un ejemplo de lo anterior. En las escuelas de esta Institución, los estudiantes pueden encontrar el camino de la superación, y el apoyo para alcanzar las metas que visualizan para forjar su futuro. Entre esos apoyos se encuentran la publicación y entrega de este material educativo, que el CECYTE BC distribuye, con el objetivo de que lo utilices en beneficio de tus estudios. La tarea que han desarrollado maestros, alumnos y autoridades aducativas en torno a CECYTE BC, han convertido a esta Institución en un modelo para la formación de generaciones de profesionistas técnicos que demanda el sector productivo que se asienta en la región. Además de eso, el Cole gio se ha destacado por alentar el acercamiento de los padres de familia con la escuela, como una acción tendiente a fortalecer los vínculos que deben existir entre ellos, los docentes y administrativos en el proceso educativo, por ser esta, una responsabilidad compartida. Por todo esto, te felicito por realizar tus estudios en un plantel del CECYTE BC. Te exhorto a valorar este esfuerzo que hace la sociedad a través de la Administración Estatal, y a que utilices con pertinencia los materiales que se te otorgan para apoyar tu formación profesional.

PRESENTACIÓN El libro que tienes en tus manos representa un importante esfuerzo del Colegio de Estudios Científicos y Tecnológicos del Estado de Baja California, que a través de sus academias de profesores te proporciona material de calidad para el estudio de las distintas asignaturas que cursarás en tu preparación como Bachiller Técnico. Los contenidos corresponden a los programas establecidos para cada una de las asignaturas de acuerdo a la reforma integral de la educación media superior, y enriquecidos por las competencias comunes del Sistema Nacional de Bachillerato. Este ejemplar, encierra conocimientos, aprendizaje, análisis y habilidades que deberás de poner en práctica en tu vida diaria, convertida en una acción educativa más, que el Colegio te ofrece para obtener una mejor formación académica. Te invitamos a que valores y obtengas el mayor provecho a esta obra, que fue diseñada especialmente para lo más preciado del Colegio: sus Alumnos. Atentamente Adrian Flores Ledesma DIRECTOR GENERAL DEL CECYTE BC

gradecimiento Un especial agradecimiento a los Docentes y Administrativos de CECYTE BC, que colaboraron e hicieron posible la edición de estas Guías de Aprendizaje Básicas y Material Didáctico. El Colegio SEGUNDO SEMESTRE MANUAL DE QUÍMICA II Mario Báez Vázquez ASESOR ACADÉMICO DEL DIRECTOR GENERAL DEL CECYTEBC GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA Andrés Sarabia Ley COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G. Andrés Aguilar Mezta DOCENTE DEL PLANTEL XOCHIMILCO INGLÉS Mauro Alberto Ochoa Solano Alonso Palominos Tapia Bertha Alicia Canceco Jaime Alejandra Agúndez DOCENTES DEL PLANTEL ENSENADA QUÍMICA Saúl Torres Acuña Agustín Valle Ruelas DOCENTES DEL PLANTEL XOCHIMILCO LECTURA, EXPRESIÓN ORAL Y ESCRITA María Guadalupe Valdivia Martínez DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS María Elena Padilla Godoy COORDINADORA DE FORMACIÓN VALORAL, D.G. María Trinidad Salas Leyva CAPTURISTA DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA, D.G. Lina Rodríguez Escárpita ENCARGADA DEL GRUPO OVIEDO MOTA CUARTO SEMESTRE CÁLCULO Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA INGLÉS 4 Adriana Cera Morales DOCENTE DEL GRUPO PORTALES Verónica Murillo Esquivias DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS Manuel Arvizu Ruíz Joaquín Alberto Pineda Martínez Lina Roxana Cárdenas Meza Juan Olmeda González Juliana Camacho Camacho DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA FÍSICA I Andrés Sarabia Ley COORDINADOR DE FORMACIÓN PROPEDÉUTICA, D.G. Juan Francisco Cuevas Negrete Silvia Elisa Inzunza Ornelas Manuel Norberto Quiroz Ortega Javier Iribe Mendoza María Del Carmen Equihua Quiñonez Alvaro Soto Escalante María Guadalupe Bañuelos Cisneros DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA ECOLOGÍA Aidé Aracely Pedraza Mendoza Clara Angélica Rodríguez Sánchez DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS Gloria Mosqueda Contreras Sulma Loreto Lagarda Lagarda Petra Cantoral Gómez Eva Pérez Vargas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA SEXTO SEMESTRE MATEMÁTICAS APLICADA Manuel Norberto Quiroz Ortega Silvia Elisa Inzunza Ornelas DOCENTES DEL PLANTEL BELLAVISTA Eloísa Morales Collín Ismael Castillo Ortíz DOCENTES DEL PLANTEL COMPUERTAS BIOQUÍMICA José Manuel Soto DOCENTE DEL GRUPO PORTALES Aidé Araceli Pedraza Mendoza DOCENTE DEL PLANTEL COMPUERTAS Alejandra Machuca Cristina Félix DOCENTES DEL PLANTEL MISIONES Enid Quezada Matus Sergio Alberto Seym Guzmán DOCENTES DEL GRUPO CENTENARIO COORDINACIÓN Y REVISIÓN ACADÉMICA Alberto Caro Espino JEFE DEL DEPARTAMENTO DE DOCENCIA Denisse Samaniego Apodaca RESPONSABLE DE FORMACIÓN PROFESIONAL

ÍNDICE UNIDAD I. Métodos de integración 18 1.1 Inmediatas 18 1. Integración por partes. 1 1. Integración por sustitución o cambio de variable... 4 1.4 Integración por fracciones parciales. 7 UNIDAD II. La integral como área bajo la curva. 7.1 Áreas por aproximación de límites de sumas. 7. Suma de Riemann.. 4. Integral definida... 45.4 Teorema fundamental del cálculo 54.5 Calculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas 54 UNIDAD III. Aplicaciones de la integral 57.1 Calculo de volúmenes 57. Aplicación del cálculo integral en la geometría.. 61. Aplicación del cálculo integral en la física... 66.4 Aplicaciones a la economía... 68 BIBLIOGRAFÍA 71 1

Objetivo: El alumno: Resolverá problemas sobre razones de cambio y la derivada, aplicando sus principios, conceptos y reglas en la interpretación gráfica de contextos de las ciencias naturales, económico-administrativas y sociales; contribuyendo a generar un ambiente escolar colaborativo y responsable. 15

UNIDAD I. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN COMPETENCIA: Formula y resuelve problemas relacionados con la integral indefinida, aplicando diferentes métodos. SABERES: 1. Inmediatas.. Integración por partes.. Integración por sustitución o cambio de variable. 4. Integración por fracciones parciales. 1. Inmediatas. Para el cálculo de integrales indefinidas por el método de integración inmediato se utilizan las reglas básicas de integración. Reglas básicas y propiedades de la integral indefinida: 1. 0 dx = C 7. senxdx = cos x + C. kdx = kx + C 8. sec xdx = tan x + C. kf ( x) dx = k f ( x) dx 9. sec x tan xdx = sec x + C 4. [ f ( x) ± g( x)] dx = f ( x) dx ± g( x) dx 10. csc xdx = cot x + C 5. n+ 1 n x x dx = + C, n + 1 n 1 la potencia) 6. cos xdx = senx + C (Regla de 11. csc x cot xdx = csc x + C EJEMPLO 1: Encontrar: 1 x 5 dx n+ 1 n x Utilizando la regla de la potencia x dx = + C, n 1: n + 1 Solución: 5+ 1 6 x x = 1 = 1 5 + 1 6 = x 6 + C 16

17 EJEMPLO : Encontrar: dx x 4 6 Solución: reescribimos dx x 4 6 C x x x + = = + = + 1 4 6 1 4 6 EJEMPLO : Encontrar: ( ) + dx x x Solución: reescribimos + dx x x 1 c x x x x x x + + = + = + + + = + + 4 4 1 1 1 4 4 1 1 1 EJERCICIO 1. Reescribir antes de integrar Individualmente completa la tabla reescribiendo la integral original y resuelve por el método de integración inmediata. Integral original Reescribir Integrar Simplificar 1. dx x 5 1. dx x. senxdx 4. dx x 5. + dx x x ) 4 (

EJERCICIO. En equipo de tres personas resuelve las siguientes integrales por el método de integración inmediata utilizando las fórmulas y reglas de integración. Ejercicios ( x + 4 ) dx ( x) dx Solución 1 x + 4x + c 1 x x + c (4 x 6x ) dx x x + c x 4 + x 5x + c (4x + 9x 5) dx ( x + 4x + ) dx 5 x + x + x + c 5 x 1 dx x 1 x x c ( x + )(x 1) dx ( t ) dx x + x x + c 4 t 6t + 9t + c ( 4 senx + cos x dx 4 cos+ senx + c ( 4 csc x cot x dx 4 x + csc x + c SOLUCIONES: EJERCICIO 1. Reescribir antes de integrar 1. 1 c x + 4 4 1 x + x + c. x + c 4. x + c 4. cos+ c 4 5. 18

1. Integración por partes. De la derivada del producto de dos funciones obtenemos la fórmula de la derivación por partes. ( u. v)' = u'. v + u. v' que se puede escribir d ( u. v) = du. v + u. dv Tomando integrales en los dos miembros de la igualdad tendremos: ( u. v) du. v + d = u. dv Teniendo en cuenta que la integral de la derivada de una función es la misma función y utilizando la notación de integral tendremos: u. v = du. v + u. dv Despejando llegamos a la fórmula de integración por partes u. dv = u. v v. du que permite calcular la integral de un producto de dos funciones Seleccionamos u de manera que se simplifique al derivar, y dv que sea fácilmente integrable. En caso de reiterar el método, elegimos los mismos tipos de funciones en cada paso. Teniendo en cuenta que dv = v y que du = u La fórmula también se puede escribir: 19

Ejemplos: 1.- Hallar la xsenxdx Solución: Sean u = x du = dx dv = senxdx v = cos x Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: x cos x cos xdx = xcos x + cos xdx dado que xsenxdx cos udu = senu + c finalmente nos queda: = xcos x + senx + c.- Hallar la x ln xdx Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces. Solución: Sean u = ln x du = dx dv = x dx v = x x Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: x ln x 1 por lo tanto: x x dx = x ln x 1 x dx = x ln x 1 x x ln xdx = x ln x x 9 + c 0

.- Hallar la x 1+ xdx Solución: Sean u = x du = dx dv = 1+ xdx v = ( 1+ x ) Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: = x ( 1+ x ) ( 1+ x) dx = x ( 1+ x ) ( 1+ x) 5 5 = x 1+ x por lo tanto: ( ) ( ) 5 [ ] 4 15 1+ x x 1+ xdx = x ( 1+ x ) 4 ( 15 1+ x ) 5 + c 4.- Hallar la sen xdx Solución: Sean u = senx du = cosxdx dv = senxdx v = cos x + c Sustituyendo en la formula de integración por partes tenemos: cos xsenx + cos x cos xdx = cos xsenx + cos xdx = Aplicando la identidad senxcos x = 1 senx tenemos: 1 senx + 1 sen xdx = 1 senx + dx sen xdx = 1

ya que la expresión original es sen xdx y nuevamente nos resulta en el procedimiento, se procederá a sumar ambas expresiones: sen xdx = 1 por lo tanto: senx + dx sen xdx = sen xdx = 1 sen xdx = 1 4 senx + x + c senx + dx = 1 senx + x 1. Integración por sustitución o cambio de variable. Con un cambio de variables formal se puede reescribir la integral en términos de u y du (o cualquier otra variable), esto resulta útil para integrandos complicados. Si u=g(x) y du=g (x) dx la integral toma la siguiente forma: f ( g( x)) g'( x) dx f ( u) du = F( u) + = c EJEMPLO 1: Encontrar: x 1dx Solución: u = x 1 du = dx du dx = du x u Integrar en términos de u. 1dx = 1 1 u 1 u du = + c = u + c 9 (x 1) + c 9 Resultado en términos de x.

EJEMPLO : Encontrar: x x 1dx Solución: u = x 1 du = dx du dx = x = u +1 1 u + 1 du x x 1dx = u Integrar en términos de u. 1 9 5 1 u u 5 1 + u u du = + + c = u + u + c 9 5 + 45 7 5 = (x 1) + (x 1) + c 45 7 Resultado en términos de x. EJEMPLO : Encontrar: ( senx) cos xdx Solución: du u = senx du = cosxdx cosxdx = ( x) cos xdx = du sen u Integrar en términos de u. 1 1 u u du + 1 = = c = u + c 6 1 = ( sen x) + c 6 Resultado en términos de x.

EJERCICIO 1. Identificando a u y du Individualmente completa la tabla identificando u y du para cada integral. Integral en términos de x U du 1. (4x + ) 8xdx. x x + dx x. x dx 4 4. (x + 4) (6x ) dx dx 5. ( 5x ) 4 EJERCICIO. Individualmente integra con cambio de variable. Ejercicios Soluciones + xdx ( ) + x + c 1 dx 1 x 1 x + c x x + dx ( x + ) + c 1 9 xdx x + x dt x 1 1 ln x + + c 4 x 1 + c 4

( 1 4 ) 4 + x (4) dx 1 5 5 ( 1 + 4 x ) + c x ( x) dx ( x ) + c 1 4t dt 1 4t + c xdx ( x ) 1 4( x ) + c t 1 tdx 4 5 7 5 7 ( 1 t ) ( 1 t) + ( 1 t) + c SOLUCIONES: EJERCICIO 1. Identificando a u y du Número u Du 1 4x + 8 xdx x + x dx x xdx 4 x + 4 6 x dx 5 5x 5 dx 5

1.4 Integración por fracciones parciales. Función Raciona Una función racional es aquella en que tanto el numerador como el denominador son expresiones en donde la variable tiene solamente exponentes enteros y positivos. Es una función racional, donde P y Q son polinomios. Si el grado de P es menor que el grado Q entonces f(x) es una fracción racional propia; en caso contrario es impropia. Las fracciones racionales propias se pueden expresar como una suma de fracciones simples. EJEMPLO 1. Calcular por fracciones parciales Dividiendo entre x+, entonces: Para poder aplicar este método de integración, es importante recordar los siguientes puntos: a) Factorización b) Los procedimientos para la solución de un sistema de ecuaciones lineales c) Solución de integrales inmediatas. 6

Una vez que Q(x) se ha factorizado, el procedimiento para determinar las fracciones parciales depende de la naturaleza de los factores lineales y cuadráticos. Se pueden presentar cuatro casos. CASO 1. Todos los factores lineales del denominador son distintos. Factorizando denominador: La descomposición por fracciones parciales seria: Simplificando la fracción: A=1 7

Sustituyendo: Simplificando Caso. Algunos de los factores lineales del denominador se repiten Por división sintética: 8

Eliminando A de (1) y (): Eliminando A de (1) Y () (4) Formando un sistema con (4) y (5) CASO : Todos los factores cuadráticos del denominador son distintos Resolver: x + x x 4 + x + 4 x + x + 1 dx = 9

Resolviendo el denominador por división sintética 1 4 1-1 1-1 - - -1 1 1 0 = x + x + x + 1 1 1-1 1-1 -1-1 1 1 1 0 = x + x + 1 = ( x + 1) A ( x +1) + B x +1 + Cx + D x + x +1 = Ax ( + x +1)+ Bx+1 ( )( x + x +1)+ Cx + D ( x +1) x + x +1 ( ) ( )( x +1) Ax + Ax + A + Bx + Bx + Bx + B + Cx + Cx + Cx + Dx + Dx + D = x +1 x ( ) ( ) x + x +1 ( B + C)+ x ( A + B + C + D)+ xa+ ( B + C + D)+ A + B + D x +1 ( ) ( ) x + x +1 ( ) = Formando un sistema de ecuaciones: B +C =0 (1) A +B +C +D = () A +B +C +D =1 () A +B +D =0 (4) RESOLVIENDO EL SISTEMA DE ECUACIONES ELIMINANDO B DE (1) Y () (-) B +C =0 (1) A +B +C +D = () -B -C =0 (1) A +B +C +D = () A +D = (5) 0

Eliminando B de (1) y () (-) B +C =0 (1) A +B +C +D =1 () -B - =0 (1) C A +B +C +D =1 () A -C +D =1 (6) ELIMINANDO B DE (1) Y (4) (-1) B +C =0 (1) A +B +D =0 (4) -B -C =0 (1) A +B +D =0 (4) A -C +D =0 (7) ELIMINANDO C DE (6) Y (7) (-1) A -C +D =1 (6) A -C +D =0 (7) A -C +D =1 (6) -A +C -D =0 (7) D =1 1

DESPEJANDO A DE (5) A=-D A=-1 A=1 Despejando C de (6) C=A+D-1 C= (1)+(1)-1 C= Despejando B de (1) B=-C B=-() B=- Sustituyendo incógnitas en integral: 1 ( x +1) + x +1 + x +1 x + x +1 dx = 1 x +1 x +1 dx x +1 + dx = x + x +1 ( ) dx 1 u = x + 1 u = x + x + 1 du = dx du = ( x +1)dx [ ] = u du ln[ x + 1]+ ln x + x +1 = 1 ln x +1 x +1 [ ]+ ln [ x + x +1]+ c CASO 4: Algunos factores cuadráticos del denominador se repiten. Por cada factor de la forma ax + bx + c ( ) n que resulte de la factorización de Q(x), le corresponde una suma de n fracciones de la forma: Ax + B ( ax + bx + c) + Cx + D n ax + bx + c ( ) =+...+ Lx + M n 1 ( ax + bx + c)

Ejemplo: x + x + x + x +1 dx = factorizando el denominador: x + x + 1 = ( x + 1) = ( x + 1)x ( +1) como los factores cuadráticos se repiten: x + x + = Ax + B ( x +1) x +1 x + x + = ( x +1) ( ) + Cx + D x +1 ( ) = ( x +1) Ax + B + ( Cx + D) x +1 Ax + B + Cx + Cx + Dx + D ( x +1) Formando un sistema de ecuaciones: C = (1) D =0 () A +C =1 () B +D = (4) DESPEJANDO A DE () A=1-C A=1- A=-1 DESPEJANDO B DE (4) B=-D B=-0 B= La integral a resolver es: x + ( x +1) + x x +1 dx = x + ( x +1) dx + x x +1 dx

u = x + 1 du = xdx = u du + ln[ x +1] = 1 u + ln [ x +1]+ c= ( x +1) + ln [ x +1]+ c 1.- EJERCICIOS: Individualmente resolver las siguientes integrales por fracciones parciales 1.- x x + x 6 dx Solución: 9 5 ln [ x + ]+ 4 5 ln [ x ]+ c.- ( x + x + ) x + 4x + 6x + 4 dx Solución: ln[ x + ] 1 [ tan 1 x +1]+ c.- 0 x x + x +1 dx Solución: 1 1 4.- ( 4x 5x 0) x + x 10x dx Solución: ln[ x]+ ln[ x + 5] 1ln[ x ]+ c au 4

UNIDAD II. LA INTEGRAL COMO ÁREA BAJO CURVA.1 Áreas por aproximación de límites de sumas. Notación sigma En el capitulo anterior se estudio la antiderivada. En esta capitulo se estudiara el problema de encontrar el área de una región en el plano. A primera vista estas dos ideas parecen no relacionarse entre sí. Aunque se estudiara que se relacionan de una manera muy estrecha por medio del teorema fundamental del cálculo. Por lo cual empezaremos estudiando la notación sigma. Debido a que se nota con la letra griega mayúscula sigma.. Notación sigma La suma de n términos a₁, a₂, a, an se escribe en notación matemática como Donde i es índice de suma, ai es el i-esimo término de la suma y los limites superior e inferior de la suma son n y 1 Nota: los límites inferior y superior han de ser constantes respecto al índice de suma. Sin embargo el límite inferior no siempre tiene que ser uno, puede tomar cualquier valor menor o igual al límite superior. Ejemplo 1. Como desarrollar una sumatoria. 5

d) e) f) En ocasiones tendremos que realizar el proceso inverso al expresar una suma en forma de sumatoria, en los siguientes ejemplos intentaremos aclarar cómo se realiza. Por ejemplo en la siguiente suma:, el termino inicial es i =1 y el termino final es i = 19, la variación que se presenta es que el denominador es mayor por una unidad que el numerador, por ello una posible representación de la sumatoria es: Las siguientes propiedades de la suma empleando la notación sigma se dice a las propiedades asociativas y conmutativas de la suma y de las propiedades distributivas de la suma sobre la multiplicación.(primera propiedad, k es una constante). 6

Teorema suma: El problema del área. Probablemente se tiene una idea intuitiva de que el área de una figura geométrica es la medida que proporciona el tamaño de la región encerrada por dicha figura. El área de un polígono puede definirse como la suma de las áreas de los triángulos en que puede ser descompuesto y se puede demostrar que el área obtenida es independiente de cómo se descompuso el polígono en triángulos. Esta idea de trabajo es muy antigua y fue propuesta por primera vez por el sabio griego Antifón alrededor del año 40 a.c. y se conoce como el "método del agotamiento". Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a ella, aumentar el número de los lados de los polígonos y hallar el área buscada. Eudoxo consiguió de esta manera encontrar la fórmula para calcular el área de un círculo. Teniendo en cuenta el uso del método dado por Eudoxo, se lo conoce como método de exacción de Eudoxo y el mismo fue empleado tiempo después por Arquímedes para resolver problemas de este tipo. Hasta aquí tenemos una idea intuitiva de lo que es el área de una región y que, calcular áreas de regiones con lados rectos resulta sencillo. Sin embargo no es fácil hallar el área de una región limitada por lados que son curvos. También podemos observar, sin mayores inconvenientes que: El área de una región plana es un número (real) no negativo. Regiones congruentes tienen áreas iguales. El área de la unión de dos regiones que se superponen sólo por un segmento es la suma de las áreas de las dos regiones. Si una región está contenida en una segunda el área de la primera es menor o igual que el área de la segunda. 7

Aproximación del área de una región plana. Cómo encontramos el área de una región limitada por los ejes coordenados positivos si conocemos la expresión analítica de la función que la limita? El desafío es encontrar el área bajo la gráfica de, desde x = 0 a x =. Debemos encontrar el valor del área representada gráficamente. Si tenemos en cuenta la forma de trabajo usada por Arquímedes una aproximación de esta región se puede encontrar usando dos rectángulos. La altura del primer rectángulo es f(0) = y la altura del segundo rectángulo es. El ancho de cada rectángulo es 1.5 El área total de los dos rectángulos es: Como observamos en la gráfica esta aproximación es mayor que el área real. Para lograr una mejor aproximación podemos dividir el intervalo [0, ] en tres partes iguales, cada uno de una unidad de ancho. 8

La altura del primer rectángulo es f(0), la del segundo es f(1) y la del tercero f(). En todos los casos el ancho del sub-intervalo es 1 es decir, la medida de la base es 1 unidad. El área total de los tres rectángulos es: Área 8,0644 unidades cuadradas. Aquí podemos observar que esta aproximación se ve mejor que la anterior pero aún es mayor que el área real buscada. Para mejorar la aproximación podemos dividir el intervalo en seis partes con anchos iguales, es decir considerar como medida de la base de cada rectángulo 0,5 unidades. rectángulo x F(x) Ancho de base Área 1 0 0.5 1.5 0.5 0.5 1.4790 1 0.5 1.414 4 1.5 0.5 1.990 9

5.0 0.5 1.1180 6.5 0.5 0.891 Área total 7.695 U² Debemos seguir haciendo tantos cálculos o intentamos buscar otra forma más sencilla para resolver este problema...? Si visualizamos gráficamente esta situación, a medida que el número n de rectángulos es cada vez más grande observamos que la suma de sus áreas se acerca cada vez más al área real de la región. En este caso podemos decir que el área real es el límite de esas sumas cuando n crece indefinidamente, lo que puede escribirse: Área = (suma de las áreas de los n rectángulo) Es bueno saber que el método de aproximación usado es básico para la comprensión intuitiva del Cálculo Integral. Ejercicios de evaluación: A. Desarrolla las siguientes sumas. 1. 6.-. 7.. = 8. 4. = 9. 5. = 10. 40

B. expresa las siguientes sumas en notación de sumatorias. 11. 1. 1. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 0.. Suma de Riemann. Suma de Riemann como te darás cuenta las aproximaciones son mejor que las anteriores (entre mas rectángulos se tengan). Imagínense que ahora podemos dividir el intervalo en una infinidad de sub-intervalos y no necesariamente del mismo tamaño, es decir, de longitudes diferentes e inclusive con rectángulos por debajo de la curva, donde la curva seria ahora la función evaluada en cada sub-intervalo. Luego entonces el procedimiento anterior lo podemos generalizar bajo el contexto del límite tal como se hizo con la derivada, es decir el área aproximada tanto por debajo de la curva como por encima de esta. En la definición de área, las particiones tenían sub-intervalos de igual ancho. Esto se hizo por conveniencia del cálculo. El siguiente ejemplo muestra que no es necesario tener sub-intervalos de igual ancho. Ejemplo Una partición con anchos desiguales. Considere la región acotada por la grafica de muestra en la figura, encontrar el límite., como se 41

Donde ci es el punto terminal derecho de la partición dada por y Solución: el ancho del i-esimo intervalo esta dado por:. De tal modo el límite es: Definición de la suma de Riemann. Sea f definida en el intervalo cerrado, y sea una partición de dada por Donde es el ancho del i-esimo sub-intervalo. Si ci es cualquier punto en el i-esimo sub-intervalo entonces la suma. Se denomino suma de Riemann de f para la partición. C. en n sub-intervalos iguales y finalmente calcule el área del poligonal circunscrito correspondiente. 1. f(x) = x +; a=1, b= y n=. f(x) = x-; a=1, b= y n= 4. f(x)= x² + ; a=0, b= y n= 6 4. f(x)= x² +1; a=-1, b=1 y n=8 4

. Integral definida. Sea f una función continua definida para a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n sub-intervalos de igual ancho. Sean x 0 = a y x n = b y además x 0, x 1,..., x n los puntos extremos de cada sub-intervalo. Elegimos un punto t i en estos sub-intervalos de modo tal que t i se encuentra en el i- ésimo sub-intervalo [x i 1, x i ] con i = 1,.., n. Entonces la integral definida de f de a b es el número.la integral definida es un número que no depende de x. Se puede utilizar cualquier letra en lugar de x sin que cambie el valor de la integral. Aunque esta definición básicamente tiene su motivación en el problema de cálculo de áreas, se aplica para muchas otras situaciones. La definición de la integral definida es válida aún cuando f(x) tome valores negativos (es decir cuando la gráfica se encuentre debajo del eje x). Sin embargo, en este caso el número resultante no es el área entre la gráfica y el eje x. Observación: La suma que aparece en la definición de integral definida se llama suma de Riemann en honor al matemático alemán Bernahrd Riemann. Su definición incluía además sub-intervalos de distinta longitud. Límite superior de integración Signo de integración x, la variable a integrar Propiedades de la integral definida: Límite inferior de integración 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero. 4

. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales 5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función. Integral Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función integral: Depende del límite superior de integración. Para evitar confusiones cuando se hace referencia a la variable de f, se la llama t, pero si la referencia es a la variable de F, se la llama x. Geométricamente la función integral, F(x), representa el área limitada por la curva y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x. A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b]. 44

La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo. Ejemplos: Calcular las siguientes integrales definidas aplicando la regla de Barrow. 1.. =. El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la función continua f(x) es la propia f(x). F'(x) = f(x) El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas. Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original. 45

Problemas propuestos: 1 =. Evalúa las siguientes integrales. 5. 7). 6. 8). 7. 9. 8. 40). = 9. 41). 0. 4) 1. 4. 44). 45) 4. 46) 5. 47) 6. 48) 46

Teorema de la media o del valor medio para integrales Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que: Ejemplo: Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = x en el intervalo [ 4, 1]. Como la función es continua en el intervalo [ 4, 1], se puede aplicar el teorema de la media. 6= f(c)=1 =1 c= La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo Área entre una función y el eje de abscisa. 47

La función es positiva Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por: Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x)=0 y resolviendo la ecuación. º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte. Ejemplo: 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 x y el eje X. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración. Como la parábola es simétrica respecto al eje Y, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x =. 48

. Calcular el área limitada por la curva, y el eje X las rectas= 6, x=1. Calcular el área del triángulo de vértices A(, 0), B(6, ),C(8, 0). Ecuación de la recta que pasa por AB: Ecuación de la recta que pasa por BC: = = = 49

. Cuando la función es negativa Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por: Ejemplo 1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x 4x y el eje X.. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje x entre π/ y π/. 50

4. Cuando la función toma valores positivos y negativos En ese caso de que la grafica tiene zonas por abajo y por arriba del eje x. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje X, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites a integrar º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. Ejemplos: 1) Hallar el área limitada por la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4. 51

.4 Teorema fundamental del cálculo. x Definimos la siguiente función: S(x) = a x+ Δx f (x)dx y por lo tanto S(x+Δx) = f (x)dx a x+ Δx x ΔS = S(x+Δx)-S(x)= f (x)dx - f (x)dx = f (x)dx = f (c) Δx a a x ΔS Δs = f (c) lim = lim f (c) S'(x)=f(x) pues c tiende a x cuando incremento de x Δx Δx 0 Δx Δx 0 tiende a cero. Por lo tanto S(x) es una primitiva de f(x). x+δx.5 Cálculo del área de regiones comprendidas entre dos curvas. El calcular el área comprendida entre dos unciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos 1). Calcular el área limitado por la parábola y = x² + y la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (1, 4). 5

y=x²+ Y=x+ ) Hallar el área de la figura limitada por: y = x, y = x, x = 0, x = en los puntos de corte de la parábola y la recta y = x. De x=0 x = 1, la recta queda por encima de la parábola De x = 1 a x =, la recta queda por debajo de la parábola 5

Evalúa las siguientes áreas bajo la curva. 1) Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, en el eje x y las ordenadas x = y x = 8. ) Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 - x² en el eje 0X. ) Calcular el área del triangulo de vértices A (, 0 ), B ( 6, ), C ( 8,0 ). 4) Calcular el área limitada por la grafica de las funciones y² = 4x e y = x². 5) Calcular el área limitada por la curva xy=6 en el eje X y las rectas x=6, x=1. 6) Calcular el área limitada por la curva y = (1- x²) y la recta y = -1. 7) Calcular el área del resinto limitado por la parábola y = x² + y la recta que pasa por los puntos (-1, 0) y (1, 4). 8) Hallar el área limitada por la recta, el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4. 9) Calcular el área limitada por la curva y = 6x x y el eje de abscisas. 10) Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = y los ejes coordenados. 11) Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x + y = 9. 1) Hallar el área de una elipse de semiejes a y b. 1) Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = x 4x + y el eje OX. 14) Hallar el área de la figura limitada por: y = x, y = x, x = 0, x = 15) Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x x y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX 54

UNIDAD III. APLICACIONES DE LA INTEGRAL.1 Cálculo de volúmenes. El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y limitado por x = a y x = b, viene dado por: Ejemplos 1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al girar en torno al eje OX: y = sen x = 0x = π. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y =, x = 1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.. Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera. 55

4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y = x y la recta x =, alrededor del eje OY. Como gira alrededor del eje OY, aplicamos: El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los extremos y = 4 e y = 4. Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen engendrado entre y = 0 e y = 4. 5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x + 5y = 400, al girar: 56

1 Alrededor de su eje mayor. Alrededor de su eje menor. Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos. 6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = x x, y = x +. Puntos de intersección entre la parábola y la recta: 57

La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración. Evalúa los siguientes volúmenes. 1) Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 x, y = 0, x = 0, x = 4. ) Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(, 0), B(6, ), C(8, 0) al girar 60 alrededor del eje OX. ) Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX. 4) Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX. 5) Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = x x, y = x +. 6) Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/ + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π. 7) Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x x, y = x. 58

8) Hallar el volumen engendrado por el círculo x + y 4x = al girar alrededor del eje OX. 9) Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje OX.. Aplicación del cálculo integral en la geometría. 1) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva y = x² + que sea paralela a la recta 8x y + = 0 Solución: y = x² + sea : m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = 4x (1) 8x y + =0, y = 8X + () Si m1 = 8 () Ahora como las dos rectas de interés son paralelas entre sí, tienen pendientes iguales, por lo que se iguala la ecuación (1) y () se obtiene: 4x =8, x = (4) Solución: ) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva, que sea perpendicular a la recta x - y =0 Sea 59

m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = -/ x (1) x y = 0, y = x () Si m1 es la pendiente de la recta definida por () entonces m1 = 1 () Ahora como las rectas referidas son perpendiculares entre si, el producto de sus pendientes es igual a -1, esto es (m)(m1) = -1 m = -1/m1 (4) sustituyendo () en (4), se obtiene m = -1/1, m = -1 (5) Igualando (5) en (1), se obtiene Para obtener la ordenada del punto de tangencia, sustituimos (6) en ecuación original, se tiene: (7) 60

De (5), (6) y (7) y la forma del punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene: Por lo tanto, es la ecuación buscada. ) Halle la ecuación de la recta tangente a la curva, en el punto (,4) Solución: Y = x³ -4 (0) Sea m= pendiente de la recta tangente a la curva, entonces m= y' = x² (1) m() = ()² = x4 =1 () el punto de tangencia P, coordenadas es P(,4) () de () y () y la forma punto pendiente para la ecuación de una recta se tiene; y= 1 ( x ) - 4, y = 1x 8 por lo tanto 1x y -8 =0 es la ecuación buscada. grafica de ecuación 61

4) Determine una ecuación de la recta normal de la curva y = 10(14 - x²) en el punto (4,5). Solución: Y = 10 / (14 - x²) = (0) Sea m = pendiente de la recta tangente a la curva, entonces: m = y' = = (1) = 0 () Hemos hallado que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (4. -5) tiene un valor numérico de 0. Como la recta normal a la curva en un punto determinado es aquella recta perpendicular a la tangente en dicho punto, el valor de la pendiente m1 de la normal que buscamos es: () El punto tangente P, coordenadas, es P (4,-5) (4) De () y (4) y de la forma punto pendiente para la ecuación de la recta, se tiene: Por lo tanto x + 0y + 96 =0 ecuación buscada 6

5) Determine una ecuación para cada una de las rectas normales de la curva y = x³ -4x, paralelas a la recta x +8y -8 =0 6

. Aplicación del cálculo integral en la física. 64

.4 Aplicaciones a la economía. 66

BIBLIOGRAFÍA Calculo diferencial e integral Pearson (Pretice Hall) Purcell, Varberg, Rigdon Novena edición Calculo diferencial e integral Mc Graw Hill Larson-Hostetler- Eduards Séptima edición Cálculo trascendente temprano Internacional Thomson Editores Steward, James Quinta edición http://www.vitutor.com/index.html http://www.fca.unl.edu.ar/intdef/integraldefinida.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/curso-elsie/integraciondefinida/html/integracion.pdf 69