REVISTA INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, 86-9, 007 Exensón mulvarane del índce de caacdad real de rocesos Teodoro García (), Maura Vásquez (), Gullermo Ramírez () y José García (3) () Unversdad de Carabobo, Faculad de Ingenería, Venezuela () Unversdad Cenral de Venezuela, Escuela de Esadísca, Caracas, Venezuela (3) Paeles Venezolanos C.A., Guacara, Venezuela Emal: garca@uc.edu.ve Resumen Cuando el consumdor evalúa el roduco de forma negral y esán resenes correlacones esadíscamene sgnfcavas enre las varables de caldad, el índce de caacdad de rocesos debe evaluarse medane un enfoque mulvarane. En ese rabajo se obene un índce mulvarane de caacdad real de rocesos MC k ara rocesos N(μ,Σ), como una exensón del índce de caacdad real ara un roduco caracerzado or un gruo de varables ndeendenes. Bajo el suueso de normaldad mulvarane, se rouso usar la ransformacón de comonenes rncales ara calcular la robabldad del cumlmeno smuláneo de las esecfcacones y defnr un índce de caacdad, basado en los valores de z asocados a dchas robabldades. La rouesa fue comarada con ora meodología y se obuveron resulados más conservadores, cuando ambas fueron alcadas al roceso de fabrcacón del ael hgénco. La alcacón del índce mulvarane de caacdad real de roceso ermó valorar de manera negral el cumlmeno de las esecfcacones de caldad. Palabras clave: Índce mulvarane de caacdad real de rocesos, dsrbucón normal mulvarane, análss de comonenes rncales. Mulvarae exenson of he rocess real caably ndex Absrac When consumers evaluae he roduc n an negral way, sgnfcan sascally correlaons aear n roduc qualy varables, he rocess caably ndex mus be evaluaed usng a mulvarae aroach. In hs work a mulvarae real caably ndex MC k for N (μ, ) rocesses s obaned, as an exenson of he real caably ndex of a roduc characerzed by a grou of ndeenden varables. Under mulvarae normal dsrbuon assumon, he use of he rncal comonen ransformaon s roosed o calculae he robably of smulaneous fulfllmen of he secfcaons o defne a rocess caably ndex based on he z-values assocaed o hose robables. The roosal was comared wh anoher mehodology and more conservave resuls were obaned when boh mehodologes were aled o assess he qualy of he economc hygenc aer. The use of he mulvarae real caably ndces on he manufacure of he hygenc aer allowed evaluang he fulfllmen of he secfcaons under an negral aroach. Keywords: Mulvarae real caably ndces, mulvarae normal dsrbuon, rncal comonen analyss.. INTRODUCCIÓN Los índces de caacdad son muy ulzados en el conrol de rocesos. Medane su uso es osble deermnar s un roceso esá cumlendo con odas las esecfcacones de caldad. Generalmene, la caldad de un roceso nvolucra a más de una varable y ésas se encuenran frecuenemene correlaconadas. Una écnca ara calcular el índce de caacdad real de un roduco fue rouesa or [], asumendo ndeen- 86 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, Dcembre 007
García, Vásquez, Ramírez y García denca enre las varables. Varos auores han roueso índces de caacdad mulvaranes ara omar en cuena la deendenca: el índce mulvarane MC k calculando la robabldad de obener un roduco bueno usando la funcón de densdad de la normal mulvarane []; un índce basado en zonas de oleranca de un recángulo sóldo [3]; una rouesa ara el análss de caacdad exloraoro usando el conceo de laces [4]; índces de caacdad mulvaranes ara dsrbucones normales usando el análss de comonenes rncales y la meda geomérca [5], y en [6] se exendó la rouesa de [5] ara los casos donde no se cumle la normaldad mulvarane. En ese rabajo se resena un rocedmeno ara obener un índce de caacdad real mulvarane MC k, en un conexo smlar al de [], ero usando una ransformacón reva, basada en comonenes rncales esandarzados. De esa forma, el roblema orgnal es raado como una exensón mulvarane de [].. MARCO TEÓRICO. Análss de comonenes rncales Exsen dos razones ara ulzar análss de comonenes rncales (ACP): Obener una dmensón reducda del roblema o consrur unas nuevas varables lnealmene ndeendenes. En ese rabajo se le dan ambos usos. Se asume que X es una marz muesral nx, donde denoa el número de caraceríscas de caldad meddas de un roduco y n reresena el número de roducos. S X es una marz de rango r, enonces su descomoscón en valores sngulares es: X U(r) D(r) V (r) () donde V (r) y U (r) son marces cuyas columnas son los vecores oronormalzados asocados con los auovalores comunes no nulos de X X y XX, y D (r) es la marz dagonal dag ( λ, λ,..., λ r) de valores sngulares. Prevendo una evenual heerocedascdad y roblemas de escala, la descomoscón se le alcará a los daos esandarzados. Las comonenes rncales esandarzadas se obenen alcándole la descomoscón en valores sngulares a la marz Z Z, donde z j es el corresondene elemeno esandarzado de X. Las coordenadas de los n roducos sobre el -ésmo eje rncal se defnen como: ψ Zv v Z donde V es el -ésmo vecor columna V (r). Las coordenadas de las varables sobre el -ésmo eje rncal se defnen: ϕ donde u es el -ésmo vecor columna de U (r). La razón de cada auovalor reseco de la suma de auovalores se corresonde con la varabldad asocada a cada comonene rncal, como se muesra en (4). De acuerdo con [7] cado en [8], normalmene las rmeras comonenes rncales caan enre el 70 al 90% de la varabldad del ssema. Luego, usando esa roedad uede reducrse la dmensón del roblema. El análss de comonenes rncales no esá lmado a dsrbucones normales mulvaranes ero, s es el caso, las comonenes rncales serán varables normales muuamene ndeendenes [9]. En conrol de caldad usualmene se dan esecfcacones de ngenería ara cada varable, esecífcamene valores máxmos y mínmos en la mayoría de los casos. Eso erme formar vecores ara las esecfcacones suerores (USL) e nferores (LSL). Los valores objevos de cada caracerísca se denoan y forman el vecor arge (T). En el análss de comonenes rncales los vecores de esecfcacones y el del arge son raados como casos sulemenaros. Eso sgnfca que no se ulzan ara calcular la descomoscón en valores j n Z u λ u λ j Z j () (3) λ (4) Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, Dcembre 007 87
Índce de caacdad real de rocesos sngulares. Las coordenadas de los casos sulemenaros se obenen medane: LSL Z V USL PC PC PC LSL USL Para decdr cuánas comonenes rncales exraer, [0] cado en [9] roone la sguene rueba: H o : λ k+ + λ k+ +... + λ H : no odos los λ son guales ( k+, k+,..., ) χ El esadísco de rueba es: donde: grados de lberad ara χ o (/)(-k-)(-k-) K número de auovalores selecconados La nerreacón de comonenes rncales requere del análss de las correlacones varablefacor, las cuales geomércamene se reresenan medane el ángulo formado enre el vecor de la varable orgnal y el de la comonene rncal. La exresón analíca es:. Prouesa de Bohe Z V,,..., T Z V T λ k o + ( n ) lnλ + ( n )( k ) ln k + k ρ j (5) El índce de caacdad real unvarane ara un roduco se obene sguendo res asos: Se calcula la robabldad P de cumlr smuláneamene con odas las esecfcacones, luego se obene el valor de Z corresondene a -P, y or úlmo, el valor de C k se obene dvdendo el valor de Z enre 3. La rouesa de Bohe se lma a varables ndeendenes ero no necesaramene normales. ϕ j ϕ j (6) (7).3 Prouesa de Werda S se denoa a x como el vecor de caraceríscas de caldad y se asume que x N ( μσ, ), la robabldad de que un roceso roduzca un roduco bueno es: Donde: n (x / μ, Σ)es la funcón de densdad de robabldad. El esmador unformemene nsesgado de varanza mínma ara θ cuando μ y Σ son desconocdas es: n ˆθ Γ π n n S n n Γ [ L,U] Donde la funcón ndcaríz es defnda or: I θ [ LU, ] n y X n n - s 0 < (y-x)s ( y-x ) < (y) n- 0 oro caso G n ( x / μ, Σ ) dx El índce de caacdad real mulvarane roueso es: MC k 3 Φ ( θ ) (0) La exresón (0) concde con la rouesa de []..4 Prouesa de Wang y Chen (n 3) ( y X ) S ( ) I G(y)dy La caacdad de un roceso mulvarane uede obenerse medane: / ν (8) (9) ν MC C ;PC () donde: C ;PC el valor unvarane de caacdad de roceso ara la j-ésma comonene rncal v número de auovalores selecconados Adconalmene C ;PC uede reemlazarse or C k;pc, C m;pc, C mk;pc roducendo meddas mulvaranes 88 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, Dcembre 007
García, Vásquez, Ramírez y García ara los más cláscos índces de caacdad unvaranes. En esa rouesa el número de auovalores a escoger se obene en dos eaas: rmero se ulza la rueba de Anderson [0] ya descra y luego se conservan solo aquellas comonenes con alas correlacones varable-facor en odos sus elemenos..5 La rouesa de ese rabajo Para obener una exensón mulvarane del índce de caacdad real de rocesos, en ese rabajo se roone alcar la ransformacón de comonenes rncales esandarzados ara consegur el valor de Z de -P y luego calcular MC k medane (0). De esa forma se reduce el roblema mulvarane al caso unvarane. En noacón formal, asumendo que x ~ N (μ o, Σ) y defnendo la ransformacón yu x ~ N (U μ o, Σ), enonces: donde: {a < x < b } Pμ o, Σ z y U μ o λ P {a x b } ' ' U o, Σ,D μ < < ~ NID(0,) ara,,..., Sendo orogonal la ransformacón y U x y ' ' los y ndeendenes, además los a y b se obenen alcando la ransformacón orgnal a los vecores formados con las esecfcacones de las varables a ( a, a,, a ) y b ( b, b,, b ) : a' a U b' U b En resumen los asos son: obener las comonenes rncales esandarzadas, desués alcar la rueba de Anderson ara escoger el número de comonenes, segudamene se esman las robabldades en () con los a LSL y b USLcorresonden- es a cada varable, y or úlmo se alca la exresón (0) ara obener la exensón mulvarane del índce de caacdad real de rocesos. {a y b } ' ' PU μ, λ o < < " " P 0, {a z b } < < () 3. LA APLICACIÓN El ael hgénco económco es un roduco cuyo orgen es una combnacón de ula químca y ael recclado, or lo cual no ene las roedades del ael hgénco de lujo []. Para consrur un gráfco de conrol mulvarane, las varables consderadas son: eso base, calbre y esfuerzo a la raccón en la dreccón de la máquna (TMD). Se omó una muesra de 50 observacones rvaranes cuando el roceso se enconraba esadíscamene esable. Las ablas a connuacón muesran un resumen de las varables orgnales y las comonenes rncales esandarzadas. En la Tabla se observa que los valores máxmos y mínmos se encuenran denro de esecfcacones y ambén ueden arecarse el romedo y la desvacón esándar ara cada varable. Tabla. Resumen esadísco de las varables orgnales Varables LSL USL Promedo Desvacón esándar Mínmo Máxmo Peso base 5.5 6.3 5.86 0.098 5.57 6.045 Calbre 4 38 9.888.5 4.40 36.50 TMD 60 50 84.730 3.3 77.0 9.650 Al observar la marz de correlacones en la Tabla, se areca que la correlacón enre el eso base y el calbre es ráccamene nula, que enre el eso base y el TMD la correlacón es osva y medanamene fuere y que enre el calbre y el TMD la correlacón es negava y fuere. Tabla. Marz de correlacones. Varables Peso base Calbre TMD Peso base.00-0.04 0.5 Calbre -0.04.00-0.80 TMD 0.5-0.80.00 La varabldad caada or las dos rmeras comonenes es de 97.87%, como se muesra en la Tabla 3; lo cual ndca que el rmer lano facoral caa cas la oaldad de la varabldad observada. Aun cuando el segundo auovalor es nferor a uno, el valor 0.9595 es lo sufcenemene róxmo como ara no desrecarlo omando en cuena que caa el Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, Dcembre 007 89
Índce de caacdad real de rocesos Las cargas de las varables acvas ndcan ara el rmer facor que el TMD ene una muy ala relacón osva, menras que el calbre ene una ala relacón negava. El eso base resena una relacón más fuere con el segundo facor ero negava. Al ser comonenes esandarzadas las Tablas 4 y 5 muesran la msma nformacón, ero revsando las rouesas anerormene exlcadas, al exsr una correlacón an baja enre TMD y el segundo facor, la segunda comonene sería elmnada de acuerdo con el crero de Wang y Chen. Tabla 3. Auovalores. Orden Auovalores Porcenaje Porcenaje Acumulado.9767 65.89 65.89 0.9595 3.98 97.87 3 0.0639.3 00.00 Traza 3.0000 Tabla 4. Cargas de las varables acvas. Varables Eje Eje Eje 3 Peso base 0.56-0.8 0.09 Calbre -0.83-0.54-0.5 TMD 0.98 0.0-0.8 Facor EI Tabla 5. Correlacones varable-facor. Varables Eje Eje Eje 3 Peso base 0.56-0.8 0.09 Calbre -0.83-0.54-0.5 TMD 0.98 0.0-0.8 La nformacón que resenan las Tablas 6 y 7 srve de base ara la consruccón del rmer lano facoral reresenado en la Fgura. Tabla 6. Auovecores normalzados. Varables Eje Eje Eje 3 Peso base 0.40-0.84 0.37 Calbre -0.59-0.55-0.59 TMD 0.70 0.0-0.7 Tabla 7. Coordenadas de los casos sulemenaros. Indvduo Dsanca al orgen Eje Eje Eje 3 USL 49.8 3.77-5.45-4.6 LSL 7.93-5.5 3.9 5.48 Po med esec 38.0 4.30-0.77-4.35 uno medo esecfcacones ES Fgura. Prmer lano facoral. Facor 90 Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, Dcembre 007
García, Vásquez, Ramírez y García En el lano mosrado en la Fgura se areca un desvío enre el uno medo de esecfcacones y el valor del cenrado. S se corrge el cenrado reducendo la dferenca enre ambos, se obendrán mejores resulados en la caacdad real del roceso. Resulados de acuerdo con cada rouesa Alcando la rouesa de [5] se selecconaron las dos rmeras comonenes rncales medane la rueba de [0], luego se descaró la segunda comonene orque su correlacón con TMD era muy róxma a cero (ver Tabla 5). El MC k obendo usando (0) es.8. Usando la rouesa de ese rabajo, las dos rmeras comonenes rncales se usaron ara calcular MC k. La robabldad de cumlr smuláneamene con odos los requermenos de caldad usando () es 0.9998 y el MC k obendo es.06. 4. CONCLUSIONES El índce de caacdad de roduco roueso rovee un ndcavo numérco de la habldad del roceso ara cumlr smuláneamene con las esecfcacones en los casos donde se cumle la normaldad mulvarane. El uso de la aroxmacón medane comonenes rncales esandarzadas smlfca el cálculo de las robabldades requerdas en la rouesa de Werda. Con esa aroxmacón es osble alcar la formula de Bohe en un conexo más general. [4] Boyles, R. (996). Exloraory Caably Analyss. Journal of Qualy Technology. Vol. 8,, 9-98. [5] Wang, F.K., Chen, J.C. (998). Caably ndex usng rncal comonen analyss. Qualy Engneerng. Vol.,, -7. [6] Wang, F.K., Du,T.C.T. (000). «Usng rncal comonen analyss n rocess erformance for mulvarae daa. Omega. Vol. 8, 85-94. [7] Johnson, R. Wchern, D. (00) Aled Mulvarae Sascal Analyss. Prence Hall.5 h edon [8] Pearn, W. Koz, S. (006) Encycloeda and Handbook of Process Caably Indces. World Scenfc. Seres on Qualy, Relably and Engneerng Sascs. Vol. 339 [9] Jackson, E. (99). A user s Gude o Prncal Comonens. John Wley & Sons. New York. [0] Anderson, T.W. (963). Asymoc heory for rncal comonen analyss. Annals of Mahemacal Sascal. 34, -48. [] García, T., Vásquez, M., García, J. (004). Effecs on he qualy of he hygenc aer when oulers mulvarae ake lace non deecable by he unvarae conrol chars. Revsa Ingenería UC. Vol., Nº, 67-77. Para la alcacón arcular sobre la caldad del ael hgénco económco, los resulados obendos fueron smlares al índce de Wang y Chen ero más conservadores al nclur el efeco de la segunda comonene. 5. REFERENCIAS [] Bohe, D. (99). A caably sudy for an enre roduc. ASQC Qualy Conrol Transacons.9-95. [] Werda, S.J. (993). A mulvarae rocess caably ndex. ASQC Qualy congress ransacons..34-348. [3] Chen, H. (994). A mulvarae rocess caably ndex over a recangular sold olerance zone. Sasca Snca. Vol. 4 749-758. Rev. INGENIERÍA UC. Vol. 4, N o 3, Dcembre 007 9