Capíulo 4: Caracerización de la plana En el presene capíulo se describe la obención del modelo maemáico de la plana del experimeno de Franck-Herz, así como algunos concepos preliminares relacionados con sisemas físicos de primer orden. 4.1 SISTEMAS TÉRMICOS Los sisemas érmicos son aquellos que involucran la ransferencia de calor de una susancia a ora. Esos sisemas se analizan en érminos de resisencia y capaciancia, aunque la capaciancia érmica y la resisencia érmica al vez no se represenen con precisión como elemenos de parámeros concenrados, dado que, por lo general, esán disribuidas en odas las susancias. Para lograr análisis precisos, deben usarse modelos de parámeros disribuidos. Sin embargo, aquí supondremos que un sisema érmico se represena mediane un modelo de parámeros concenrados, que las susancias que se caracerizan mediane una resisencia al flujo de calor ienen una capaciancia érmica insignificane y que las susancias que se caracerizan por una capaciancia érmica ienen una resisencia insignificane al flujo de calor. El calor fluye de una susancia a ora de res formas diferenes: por conducción, por convección y por radiación, sin embargo, la mayor pare de los procesos érmicos en los sisemas de conrol de procesos no involucran ransferencia de calor por radiación, se puede despreciar frene a los demás. Para la ransferencia de calor por conducción o convección, q = K T. (4.1) En donde: q kcal es el flujo de calor s 1 cal = 4.184 J T [ C] es la diferencia de emperaura K kcal s C es un coeficiene El coeficiene K se obiene mediane ka K = (4.) A X 69
para ransferencia de calor por conducción, en donde: k kcal m s C es la conducividad érmica A [m ] es el área normal para flujo de calor A x [m] es el espesor del conducor Mienras que para ransferencia de calor por convección se define K = HA. (4.3) Donde: H kcal m s C es el coeficiene de convección A [m ] es el área normal para flujo de calor Resisencia y capaciancia érmicas La resisencia érmica R para la ransferencia de calor enre dos susancias se define del modo siguiene: T R =. (4.4) q La resisencia érmica para una ransferencia de calor por conducción o por convección se obiene mediane: d( T ) 1 R = = (4.5) dq K Dado que los coeficienes de conducividad y convección érmica son casi consanes, la resisencia érmica para la conducción ó la convección es consane. La capaciancia érmica C se define mediane Q C = (4.6) T Donde: Q [kcal] es el cambio en el calor almacenado 70
O bien C = mc (4.7) Donde: m [kg] es la masa de la susancia considerada c kcal kg C es el calor específico de la susancia A menudo es necesario conrolar la emperaura para procesos ermodinámicos complejos. Bajo algunas consideraciones de simplificación, el flujo de calor a ravés de maeriales puede ser modelado con analogías simples para sisemas elécricos. En la siguiene abla se muesran dichas analogías enre las variables para el flujo de calor y un circuio elécrico RC. Símbolo érmico Magniud érmica Símbolo elécrico Magniud elécrica q Flujo de calor i Corriene T Temperaura v Volaje R Resisencia érmica R Resisencia C Capaciancia érmica Tabla 4.1 Analogía enre variables érmicas y elécricas C elécrica Capaciancia elécrica En la figura 4.1 se muesran algunos ejemplos de flujo de calor a ravés de un maerial compueso por vidrio de ciero fluido que cambia de una emperaura T a ora emperaura T 1 al pasar a ravés del maerial. Eso fenómeno podría represenar la pérdida de calor del aire conenido en un recino érmico a una emperaura ala al pasar a ravés de un vidrio en conaco con una masa de aire frío. Figura 4.1 Ejemplos de flujo de calor a ravés de un maerial. (a) Flujo a ravés de una venana con una hoja de vidrio. (b) Flujo a ravés de dos venanas. (c) Flujo a ravés de una venana de doble espesor. (d) Flujo a ravés de una venana érmicamene aislada. 71
Para la figura 4.1(a), empleando la nomenclaura descria en la abla 4.1, se iene que q T T R 1 = = q. (4.8) 0 Una siuación análoga a la expresada por (4.8) se iene en el flujo de corriene a ravés de un circuio elécrico dada por v v1 i =. (4.9) R Considere ahora un recino érmico con dos venanas similares (cada una con una resisencia érmica R), según se muesra en la figura 4.1 (b). Ambas venanas causan un flujo de calor en paralelo, de al forma que la resisencia érmica equivalene es la combinación de las dos resisencias érmicas individuales empleando la misma regla mediane la cual se calcula la resisencia elécrica de un arreglo en paralelo. Es decir, q T T R 1 = = q (4.10) 0 Por lo ano, el flujo de calor es el doble con respeco a la expresada por la ecuación (4.8). Supóngase que se iene una venana con doble espesor, como se muesra en la figura (4.1). La resisencia érmica es R, en analogía a la combinación de dos resisores en serie. El flujo de calor resulane es q T T q R 1 0 = = (4.11) Acoplando un maerial érmicamene aislane cuya resisencia érmica sea 9R al maerial cuya resisencia érmica es R, causa una siuación análoga a la que se iene al conecar dos resisores en serie de valor 9R y R, respecivamene, para obener una resisencia oal de 10R, enonces: q T T q 10R 10 1 0 = =.. (4.1) Obeniendo como resulado una pérdida menor de calor. La emperaura de un fluido cambia de una forma similar al cambio en el volaje a ravés de un capacior elécrico. 7
Para un sisema érmico dt q = C (4.13) d Mienras que análogamene, para un sisema elécrico se iene dv i = C (4.14) d Se observa que ano en (4.13) como en (4.14), C represena ya sea la capaciancia érmica o elécrica. 4. ESQUEMA BÁSICO DE UN SISTEMA TÉRMICO El objeivo de un sisema de conrol de emperaura es manener la emperaura denro de la plana de emperaura a un valor correspondiene al que proporciona la señal de referencia. La señal de referencia es un nivel de volaje que represena la emperaura deseada para la plana T o, según se muesra en la figura 4. La emperaura del sensor conenido denro de la plana produce un volaje proporcional a la emperaura T o, dicho volaje es amplificado por K f y es acoplado al amplificador sumador juno con la señal de referencia Es. Figura 4. Diagrama de bloques de un sisema de conrol de emperaura Como resulado del proceso mosrado en la figura 4., la emperaura denro del recino érmico o plana de emperaura corresponde al indicado por la señal de referencia. 73
El equilibrio érmico denro de la plana de emperaura no permanece en equilibrio indefinidamene, debido a que las paredes del sisema no esán hechas de un aislane perfeco, y por lo ano, ciera canidad de calor se pierde a ravés de las paredes. La canidad de flujo de calor q o a ravés de las paredes del sisema de emperaura depende de la diferencia de emperaura (T o -T a ) que exise enre las paredes, y de la resisencia érmica del maerial que conforma dichas paredes. Figura 4.3 Esquema básico de un recino érmico Mediane el empleo de reroalimenación negaiva, el sisema de conrol proporciona un conrol auomáico de la emperaura del recino érmico (horno elécrico). La emperaura ambiene T a, la cual es exerna al horno, iene el efeco de una carga en el sisema, es decir, variaciones en la emperaura ambiene Ta resulan en una carga flucuane la cual iende a modificar la emperaura del horno. De igual manera, cualquier variación en la ganancia del amplificador de poencia Ka ambién iene el efeco de modificar ambién la emperaura del horno; con la uilización de reroalimenación negaiva, el sisema oma en cuena esos dos efecos y maniene la emperaura del horno en el puno de conrol (se poin) o muy cercano al puno de conrol, difiriendo únicamene por el error en esado esable. La ecuación diferencial que describe el comporamieno del sisema ilusrado en la figura 4.3 es dt q q C d 0 i 0 = (4.15) 74
Donde: qi ( ) kcal q o R s ( To Ta ) = R es el flujo de calor suminisrado al horno kcal s es el flujo de calor a ravés de las paredes del horno C s es la resisencia érmica del maerial de las paredes del horno kcal C kcal es la capaciancia érmica del medio conenido denro del horno C ( To Ta ) Susiuyendo la expresión qo = en (4.15), y ras reacomodar érminos, se R obiene la siguiene ecuación diferencial para el horno: dto τ + To ( ) = R qi ( ) + Ta (4.16) d donde τ = RC Para caracerizar el horno como un bloque lineal que forme pare del diagrama de bloques, se debe deerminar la función de ransferencia de la ecuación diferencial que describe el comporamieno del horno, es decir, se debe enconrar la relación enre la salida T o (s) y la enrada Q i (s). Se define la resisencia érmica efeciva R e o equivalene de las paredes del horno por la expresión R e ( R qi + Ta ) =.. (4.17) q i El parámero R e incluye el efeco de la carga (la emperaura exerna T a puede ser considerada como una carga para el sisema). Uilizando la expresión (4.17), la ecuación diferencial (4.16) puede ser expresada como dto τ + To ( ) = Reqi ( ).. (4.18) d 75
Tomando la ransformada de Laplace para la ecuación (4.18), se obiene To ( s) Re = Q ( s) τ s + 1 i. (4.19) donde τ = RC es la consane de iempo érmica del horno. Se observa que la función de ransferencia descria por (4.19) represena un sisema de primer orden. 4.3 RESPUESTA DEL SISTEMA A ENTRADAS ESCALÓN Análisis de la respuesa ransioria Una vez obenido un modelo maemáico para un sisema de conrol, exisen varios méodos para el análisis del desempeño del sisema. En la prácica, la señal de enrada para un sisema de conrol no se conoce con anicipación, pero es de nauraleza aleaoria, y la enrada insanánea no puede expresarse en forma analíica. Sólo en algunos casos especiales se conoce con anicipación la señal de enrada y se puede expresar en forma analíica o mediane curvas. En el análisis y diseño de sisemas de conrol, se debe ener una base de comparación del desempeño de diversos sisemas de conrol. Esa base se configura especificando las señales de enrada de prueba pariculares y comparando las respuesas de varios sisemas a esas señales de enrada. Muchos crierios de diseño se basan en ales señales o en la respuesa del sisema a los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba). El uso de señales de prueba se jusifica porque exise una correlación enre las caracerísicas de respuesa de un sisema para una señal de enrada de prueba común y la capacidad del sisema de manejar las señales de enrada reales. Ya que el iempo es la variable independiene empleada en la mayoría de los sisemas de conrol, es usualmene de inerés evaluar las respuesas del esado y la salida con respeco al iempo, o simplemene, la respuesa en el iempo. En el problema de análisis, una señal de referencia se aplica al sisema, y el desempeño del sisema se evalúa al esudiar la respuesa del sisema en el dominio del iempo. En la mayoría de los sisemas de conrol, la evaluación final del desempeño de un sisema se basa en las respuesas en el iempo. La respuesa en el iempo de un sisema de conrol se divide normalmene en dos pares: la respuesa ransioria y la respuesa en esado esable. Sea y() la respuesa en el iempo de un sisema en iempo coninuo; enonces, en general, se puede escribir: 76
y( ) = y ( ) + y ( ) (4.0) ss En donde y () indica la respuesa ransioria; y ss () indica la respuesa en esado esable. En sisemas de conrol, la respuesa ransioria esá definida como la pare de la respuesa en el iempo que iende a cero cuando el iempo se hace muy grande. Por ano, y () iene la propiedad de que: lím y ( ) = 0.. (4.1) La respuesa en esado esable es la pare de la respuesa oal que permanece después que la ransioria ha desaparecido. Todos los sisemas de conrol esables reales presenan un fenómeno ransiorio anes de alcanzar la respuesa en esado esable. Como la masa, la inercia y la inducancia son ineviables en los sisemas físicos, las respuesas de un sisema de conrol ípico no pueden seguir cambios súbios en la enrada en forma insanánea, y normalmene se observan ransiorios. En consecuencia, la respuesa ransioria de un sisema de conrol es necesariamene imporane, ya que es una pare significaiva del comporamieno dinámico del sisema; y la desviación enre la respuesa de salida y la enrada o la respuesa deseada se debe conrolar cuidadosamene anes de alcanzar el esado esable. La respuesa en esado esable de un sisema de conrol es ambién muy imporane, ya que indica en dónde ermina la salida del sisema cuando el iempo se hace grande. En general, si la respuesa en esado esable de la salida no concuerda exacamene con la referencia deseada, se dice que el sisema iene un error en esado esable. Ese error indica la precisión del sisema. En el problema de diseño de un sisema de conrol, las especificaciones se proporcionan normalmene en érminos del desempeño ransiorio y en esado esable, y los conroladores se diseñan para que odas esas especificaciones sean cumplidas por el sisema diseñado. Señales de prueba ípicas para obener la respuesa en el iempo de sisemas de conrol Para propósios de análisis y diseño, es necesario suponer algunos ipos básicos de enradas de prueba para evaluar el desempeño de un sisema. Los crierios de desempeño se pueden especificar con respeco a esas señales de prueba, en al forma que el sisema se puede diseñar para cumplir con dichos crierios. Las señales de prueba que se usan regularmene son funciones escalón, rampa, parábola, impulso, senoidales, ec. Con esas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis maemáicos y experimenales de sisemas de conrol, dado que las señales son funciones del iempo muy simples. 77
Enrada función escalón La enrada función escalón represena un cambio insanáneo en la enrada de referencia. La represenación maemáica de una función escalón de magniud R es: r() = R 0. (4.) 0 <0 en donde R es una consane real. O bien, r() = R us ( ) en donde us ( ) es la función escalón uniario. La función escalón uniario se muesra en la figura 4.4. La función escalón es muy úil como señal de prueba, ya que su brinco inicial de ampliud revela qué an rápido responde un sisema a enradas con cambios abrupos. Figura 4.4 Función escalón 78
4.3.1 SISTEMAS DE PRIMER ORDEN Considere el sisema de primer orden de la figura 4.5(a). Físicamene ese sisema represena un circuio RC, un sisema érmico o algún sisema similar. La figura 4.5(b) presena un diagrama de bloques simplificado. Figura 4.5 (a) Diagrama de bloques de un sisema de primer orden; (b) diagrama de bloques simplificado. La relación enrada-salida se obiene mediane C( s) 1 =.. (4.3) R( s) Ts + 1 Se realizará un análisis para la respuesa del sisema a una enrada escalón uniario, suponiendo que las condiciones iniciales son cero. Todos los sisemas que ienen la misma función de ransferencia exhibirán la misma salida en respuesa a la misma enrada. Para cualquier sisema físico dado, la respuesa maemáica recibe una inerpreación física. Respuesa escalón uniario de sisemas de primer orden Dado que la ransformada de Laplace de la función escalón uniario es 1 s, susiuyendo R( s) 1 s = en la ecuación (4.3), obenemos: 1 1 C( s) = Ts 1. (4.4) + s Al expandir C(s) en fracciones parciales produce 79
1 T 1 1 C( s) = = s Ts + 1 s 1 s + T (4.5) Si omamos la ransformada inversa de Laplace de la ecuación (4.5), obendremos: c( ) 1 e T =, para 0 (4.6) La ecuación planea que la salida c() es inicialmene cero y al final se vuelve uniaria. Una caracerísica imporane de al curva de respuesa exponencial c() es que, para = T, el valor de c() es 0.63, o que la respuesa c() alcanzó 63.% de su cambio oal. Ese hecho se aprecia con facilidad susiuyendo =T en (4.6), es decir: c T 1 ( ) 1 e 0.63 = =.. (4.7) Conforme más pequeña es la magniud de la consane de iempo T, más rápida es la respuesa del sisema. La curva de respuesa exponencial c() caracerizada por la ecuación (4.6), se muesra en la siguiene figura. Figura 4.6 Respuesa escalón para un sisema de primer-orden En una consane de iempo, la curva de respuesa exponencial ha ido de 0 a 63.% del valor final. En dos consanes de iempo, la respuesa alcanza 86.5% del valor final. En =3T, 4T y 5T, la respuesa alcanza 95%, 98.% y 99.3%, respecivamene, del valor final. Por ano, para 4T, la respuesa permanece denro del % del valor final. Por ano, con base en la ecuación (4.6), el esado esable se alcanza maemáicamene sólo después de un iempo infinio. 80
Sin embargo, en la prácica, una esimación razonable del iempo de respuesa es la magniud de iempo que necesia la curva de respuesa para alcanzar la línea de % del valor final, o cuaro consanes de iempo. Gráfica de la respuesa-escalón uniario para la plana de emperaura En la siguiene gráfica se muesra la respuesa-escalón para la plana de emperaura caracerizada por la ecuación (4.54) G( s) = 11.4 1.45s 3.355s + 17.65s + 1 Para una enrada escalón-uniario 1 R( s) = C( s) = G( s) R( s) s Figura 4.7 Respuesa escalón-uniario de la plana de emperaura caracerizada por la ecuación (4.69) 4.4 RESPUESTA DEL SISTEMA A ENTRADAS VARIABLES La forma de la enrada a la que el sisema esará sujeo con mayor frecuencia bajo una operación normal deermina cuál de las señales de enrada ípicas se debe usar para analizar las caracerísicas del sisema. 81
Si las enradas para un sisema de conrol son funciones del iempo que cambian en forma gradual, una función rampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sisema esá sujeo a perurbaciones repeninas, una función escalón sería una buena señal de prueba; y para un sisema sujeo a enradas de choque, una función impulso sería la mejor. Una vez diseñado un sisema de conrol con base en las señales de prueba, por lo general el desempeño del sisema en respuesa a las enradas reales es saisfacorio. El uso de ales señales de prueba permie comparar el desempeño de odos los sisemas sobre la misma base. Enrada función rampa La función rampa es una señal que cambia consanemene con el iempo. Maemáicamene, una función rampa se represena mediane: r( ) = Ru ( ).. (4.8) s en donde R es una consane real. La función rampa se muesra en la figura (4.8). La función rampa iene la habilidad de probar cómo responde el sisema a señales que cambian linealmene con el iempo. Figura 4.8 Función rampa Enrada función parabólica La función parabólica represena una señal que iene un orden más rápido que la función rampa. Maemáicamene, se represena como: R us( ) r( ) =.. (4.9) en donde R es una consane real, y el facor 1 se añade por conveniencia maemáica, ya que la ransformada de Laplace de r() es simplemene de la función parabólica se muesra en la figura 4.9. R. La represenación gráfica 3 s 8
Figura 4.9 Función parábola De la función escalón a la función parabólica, las señales se vuelven progresivamene más rápidas con respeco al iempo. En eoría, se pueden definir señales con velocidades aún más rápidas, como 3, y así sucesivamene. Sin embargo, rara vez es necesario o facible emplear señales de prueba más rápidas que una función parabólica. Respuesa rampa uniaria de sisemas de primer orden 1 Dado que la ransformada de Laplace de la función rampa uniaria es s salida del sisema de la figura 4.5 como, obenemos la C( s) 1 1. (4.30) Ts + 1 s = Si expandimos C(s) en fracciones parciales, obenemos 1 T C( s) = + s s Ts T. (4.31) + 1 Tomando la ransformada inversa de Laplace de la ecuación (4.31), obenemos T c( ) = T + Te.. (4.3), para 0 La enrada rampa uniaria y la salida del sisema se muesran en la figura 4.10. El error después de la enrada rampa uniaria es igual a T para una suficienemene grande. Enre más pequeña es la consane de iempo T, más pequeño es el error en esado esable después de la enrada rampa. La señal de error e() se define como e( ) = r( ) c( ).. (4.33) 83
T T = ( T + Te ) = T (1 e ) Conforme iende a infinio, aproxima a T, o e( ) = T T e se aproxima a cero y, por ano, la señal de error se Figura 4.10 Respuesa rampa-uniaria para el sisema mosrado en la figura 4.5 Respuesa impulso uniario de sisemas de primer orden Para la enrada de impulso uniario, R(s)=1, y la salida del sisema de la figura 4.5 puede obenerse como 1 C( s) =. (4.34) Ts + 1 Tomando la ransformada inversa de Laplace de la ecuación (4.34), se obiene 1 T c( ) = e, para 0 (4.35) T La curva de respuesa al impulso uniario para el sisema de primer orden puede observarse en la figura 4.11. Figura 4.11 Respuesa impulso-uniario para un sisema de primer orden 84
Gráfica de respuesa rampa-uniaria para la plana de emperaura En la siguiene gráfica se muesra la respuesa-rampa uniaria para la plana de emperaura caracerizada por la ecuación (4.54) G( s) = 11.4 1.45s 3.355s + 17.65s + 1 Para una enrada escalón-uniario 1 R( s) = C( s) = G( s) R( s) s Figura 4.1 Respuesa rampa-uniaria de la plana de emperaura del experimeno de Franck- Herz Gráfica de respuesa a la función impulso-uniario para la plana de emperaura En la siguiene gráfica se muesra la respuesa impulso-uniario para la plana de emperaura caracerizada por la ecuación (4.54) G( s) = 11.4 1.45s 3.355s + 17.65s + 1 Para una enrada impulso-uniario R( s ) = 1 C( s) = G( s) R( s) 85
Figura 4.13 Gráfica de respuesa al impulso-uniario R(s)=1 para la plana de emperaura 4.5 OBTENCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO Cuando es posible obener un modelo maemáico de la plana, se pueden emplear diversas écnicas de diseño mediane las cuales se obienen los parámeros del conrolador que saisfagan las especificaciones en esado ransiorio y en esado esable del sisema en lazo cerrado requeridas. Sin embargo, en caso conrario, cuando la plana es an complicada que no es fácil o prácico obener su modelo maemáico, ampoco es posible un enfoque analíico para el diseño del conrolador. Por ano, debemos recurrir a los enfoques experimenales para la sinonización de los conroladores, en ese caso, para un conrolador PID, el cual se deallará en el capíulo 5. El proceso de seleccionar los parámeros del conrolador que cumplan con las especificaciones de desempeño se conoce como sinonización del conrolador. Ziegler y Nichols sugirieron más reglas para sinonizar los conroladores PID (lo cual significa esablecer los parámeros K p, T i y T d ) con base en las respuesas escalón experimenales. Las reglas de Ziegler-Nichols, que se presenan a coninuación, son muy convenienes cuando no se conocen los modelos maemáicos de las planas. La uilidad real de las reglas de sinonización de Ziegler-Nichols se vuelve evidene cuando no se conoce la dinámica de la plana, por lo que no se cuena con enfoques analíicos ó gráficos para el diseño de conroladores. 86
4.5.1 REGLAS DE ZIEGLER-NICHOLS Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para deerminar los valores de la ganancia proporcional K p, del iempo inegral T i y del iempo derivaivo T d, con base en las caracerísicas de respuesa ransioria de una plana específica. Tal deerminación se realiza en el siio mediane experimenos sobre la plana. Exisen dos méodos denominados reglas de sinonización de Ziegler-Nichols, en ambos se preende obener un 5% de sobrepaso máximo en la respuesa escalón, como se muesra en la figura 4.14. Figura 4.14 Curva de respuesa escalón uniario que muesra un sobrepaso máximo de 5% En el presene rabajo, sin embargo, sólo se analizará el primer méodo, en el cual la respuesa de la plana a una enrada escalón uniario se obiene de manera experimenal, según se puede observar en la figura 4.15. Figura 4.15 Respuesa escalón uniario de una plana 87
Si la plana no coniene inegradores ni polos dominanes complejos conjugados, la curva de respuesa escalón uniario puede ener forma de S, y se denomina curva de reacción, según se muesra en el siguiene esquema: Figura 4.16 Curva de respuesa con forma de S (curva de reacción) Si la respuesa no exhibe una curva con forma de S, ese méodo no es perinene. Tales curvas de respuesa escalón se generan experimenalmene o a parir de una simulación dinámica de la plana. La curva con forma de S se caraceriza por dos parámeros: el iempo de reardo 0 y la consane de iempo τ. Un méodo para deerminar el iempo de reardo y la consane de iempo es dibujar una reca angene en el puno de inflexión de la curva de reacción (como se observa en la figura 4.16) y deerminar las inersecciones de esa angene con el eje del iempo y la línea c() = K. C( s) En ese caso, la función de ransferencia se aproxima mediane un sisema de U ( s) primer orden con un reardo de ranspore del modo siguiene: 0s C( s) Ke =. (4.36) U ( s) τ s + 1 4.5. CARACTERIZACIÓN DEL PROCESO Se caraceriza al proceso mediane un modelo simple de primer orden con iempo de reardo o iempo muero. La concenración de las funciones de ransferencia de la válvula de conrol, del proceso, y del sensor se hace no sólo por conveniencia, sino por razones prácicas; si a esa combinación de funciones de ransferencia se le designa como G(s): G( s) = Gv( s) Gm( s) H ( s). (4.37) 88
Donde: G v (s) es la función de ransferencia de la válvula de conrol (o elemeno final de conrol) G m (s) es la función de ransferencia del proceso enre la variable conrolada y la variable manipulada H(s) es la función de ransferencia del sensor-ransmisor Es precisamene esa función de ransferencia combinada la que se aproxima mediane los modelos de orden inferior con el objeo de caracerizar la respuesa dinámica del proceso. Lo imporane es que en el proceso caracerizado se incluye el comporamieno dinámico de la válvula de conrol y del sensor/ransmisor. El modelo que se empleará para caracerizar el proceso es el siguiene: G( s) = 0s Ke τ s + 1 (4.38) Donde: K es la ganancia del proceso en esado esacionario 0 es el iempo muero del proceso τ es la consane de iempo del proceso En ese modelo el proceso se caraceriza mediane res parámeros: La ganancia K, el iempo muero o de reardo 0 y la consane de iempo τ. De modo que el problema consise en la manera en que se pueden deerminar dichos parámeros para un sisema en paricular; la solución consise en realizar pruebas dinámicas en el sisema real; la prueba más simple que se puede realizar es la de inroducir una enrada escalón. Curva de reacción del proceso Anes del advenimieno de las compuadoras, los daos de las pruebas del proceso eran analizados mediane consrucciones gráficas de la respuesa del proceso a un cambio escalón en la salida del conrolador. La prueba se realiza como sigue: 1. Se deja que el proceso alcance un esado de equilibrio previo.. Se aplica al proceso un cambio escalón en la señal de salida del conrolador en lazo abiero (ya sea incremeno o decremeno). 3. Se recaban daos de la respuesa de la variable conrolada. En la figura 4.17 se muesra una gráfica ípica de la prueba. 89
Figura 4.17 Curva de reacción del proceso o respuesa escalón de circuio abiero El siguiene paso es hacer coincidir la curva de reacción del proceso con el modelo de un proceso simple para deerminar los parámeros del modelo. El érmino c es la perurbación o cambio de salida de la variable de proceso respeco a su valor inicial: c( ) = c( ) c(0). (4.39) Se define c como s c = lim c( ) = K u (4.40) s A parir de esa ecuación, y si se iene en cuena que la respuesa del modelo debe coincidir con la curva de reacción del proceso en esado esable, se puede calcular la ganancia de esado esacionario del proceso, la cual es uno de los parámeros del modelo que describe la ecuación (4.38) K c = s.. (4.41) u El iempo muero 0 y la consane de iempo τ se deerminan de la siguiene forma: Los valores de 0 y τ se seleccionan de al manera que la respuesa del modelo y la real coincidan en la región de ala asa de cambio. Los dos punos que se recomiendan son 1 0 + 3τ y ( 0 + τ ), y para localizar dichos punos se emplea la ecuación (4.4), calculada con base en la respuesa escalón en la salida del conrolador y un modelo de primer orden más iempo muero. 90
c( ) = K m u( 0) 1 e 0 τ.. (4.4) Susiuyendo en (4.4) se obiene: c + = K u e = c (4.43) 1 ( 0 τ ) [1 ] 0.63 s 1 + = = 3 1 3 c 0 τ K u[1 e ].83 c s (4.44) Esos dos punos, ilusrados en la siguiene figura, se denominan y 1, respecivamene. Figura 4.18 Parámeros del modelo de primer orden más iempo muero Los valores de 0 y τ se pueden obener fácilmene mediane la simple resolución del siguiene sisema de ecuaciones + τ = (4.45) 0 1 + τ =.. (4.46) 3 0 1 Lo cual se reduce a 3 1 τ τ = ( ).. (4.47) =... (4.48) 0 donde 1 = iempo en el cual c=0.83 c s = iempo en el cual c= 0.63 c s 91
Obención experimenal de la curva de reacción Daos experimenales recabados del proceso de caracerización de la plana para un cambio en la enrada escalón del conrolador en lazo abiero del 5% al 30%. T[ C] T[ C] T[ C] T[ C] T[ C] T[ C] [min] [min] [min] [min] [min] [min] 0 19 14.66 116 9.33 138 44 145 58.66 157.5 73.33 164.33 19.5 15 117 9.66 138 44.33 145 59 158 73.66 164.66 0 15.33 117.5 30 138 44.66 145 59.33 158 74 164 1 15.66 118 30.33 138.5 45 145 59.66 158 74.33 164 1.33 4 16 119 30.66 139 45.33 145 60 159 74.66 164 1.66 6.5 16.33 10 31 139 45.66 145 60.33 159 75 164 30 16.66 11 31.33 139 46 145 60.66 159 75.33 164.33 33.5 17 11.5 31.66 139.5 46.33 145.5 61 159 75.66 164.66 37 17.33 1 3 139.5 46.66 145.5 61.33 159.5 76 164 3 41 17.66 13 3.33 140 47 145.5 61.66 160 76.33 164 3.33 45 18 14 3.66 140 47.33 145.5 6 160 76.66 164 3.66 48 18.33 14.5 33 140 47.66 146 6.33 160 77 164 4 5 18.66 15 33.33 140 48 146 6.66 160 77.33 164 4.33 56 19 15.5 33.66 140.5 48.33 146 63 160 77.66 164 4.66 60 19.33 16 34 141 48.66 146 63.33 160 78 164.5 5 63 19.66 17 34.33 141 49 146 63.66 160.5 78.33 165 5.33 66 0 17 34.66 141 49.33 146 64 161 78.66 165 5.66 69.5 0.33 18 35 141 49.66 146 64.33 161 79 165 6 7.5 0.66 18 35.33 141.5 50 146 64.66 161 79.33 165 6.33 75 1 19 35.66 14 50.33 146 65 161 79.66 165 6.66 78 1.33 19 36 14 50.66 146 65.33 161 80 165 7 80.5 1.66 130 36.33 14 51 147 65.66 161.5 80.33 165 7.33 83 130 36.66 14 51.33 148 66 161.5 80.66 165 7.66 85.33 131 37 14 51.66 148.5 66.33 161.5 81 165 8 87.66 131 37.33 14.5 5 149 66.66 16 81.33 165 8.33 89.5 3 13 37.66 143 5.33 150 67 16 81.66 165 8.66 91.5 3.33 13 38 143 5.66 150 67.33 16 8 165 9 93.5 3.66 13.5 38.33 143 53 151 67.66 16 8.33 165 9.33 95 4 133 38.66 143 53.33 151.5 68 16 8.66 165 9.66 97 4.33 133 39 143 53.66 15 68.33 16 83 165 10 98 4.66 134 39.33 143.5 54 153 68.66 16.5 10.33 100 5 134 39.66 143.5 54.33 153 69 16.5 10.66 10 5.33 134 40 144 54.66 153.5 69.33 163 11 103 5.66 135 40.33 144 55 154 69.66 163 11.33 105 6 135 40.66 144 55.33 154.5 70 163 11.66 106 6.33 135 41 144 55.66 155 70.33 163 1 107 6.66 135 41.33 144 56 155 70.66 163 1.33 108 7 135.5 41.66 144 56.33 155.5 71 163 1.66 110 7.33 136 4 144 56.66 156 71.33 163 13 111 7.66 136 4.33 144 57 156 71.66 163 13.33 11 8 136.5 4.66 144.5 57.33 156 7 163 13.66 113 8.33 137 43 145 57.66 157 7.33 163 14 114 8.66 137 43.33 145 58 157 7.66 163.5 14.33 115 9 137.5 43.66 145 58.33 157 73 163.5 Tabla 4. Daos experimenales para la caracerización de la plana 9
Gráficas de vs. T En la figura 4.19 se presena la curva de reacción obenida de los daos anexados en la abla 4. para un cambio en la salida del conrolador en lazo abiero del 5% al 30% en = 50 s. Curva de reacción experimenal c() [grados celsius] 170 165 160 155 150 145 140 40 50 60 70 80 90 [min] Figura 4.19 Curva de reacción del proceso para un incremeno de 5% en la salida del conrolador. Donde: [min] es el iempo a parir del cual se efecúa el cambio en la respuesa del conrolador en lazo abiero T=c() [ C] es la emperaura medida por el ermómero de mercurio que esá conenido en el recino érmico Figura 4.0 Cambio en la salida del conrolador en lazo abiero 93
Obención experimenal del modelo maemáico de la plana Figura 4.1 Parámeros del modelo primer orden más iempo de reardo obenidos mediane el méodo de Ziegler-Nichols De la figura 4.1, se obiene que: 1 = iempo en min para el cual c() = 0.83.. (4.49) = iempo en min para el cual c() = 0.63 (4.50) Se oma = 50 s como un nuevo iempo de referencia (es decir, el insane de iempo para el cual se realiza el cambio en la señal del conrolador) c = (165-146) = 19 C s Susiuyendo cs en (4.49) y (4.50), omando como una nueva referencia de emperaura T 0 = 146 C cs cs 94
c( 1 )= 0.83 = 0.83 (19) = 5.37 C cs c( ) = 0.63 c = 0.63(19) = 1 C s De la gráfica se obiene que 1 3.5 min min 9 Susiuyendo 1 y en las ecuaciones (4.47) y (4.48) se pueden calcular los valores para el 0 y τ 3 τ = (9 3.5) = 8.65 min 0 = 9 8.65 = 0.375 min Por lo ano τ = 8.65 min 0 = 0.375 min Cálculo de la ganancia esáica del proceso K c[ C] 19 C K = = = 3.8. (4.49) CO[%] 30 5 % Susiuyendo los parámeros obenidos en el modelo de primer orden más iempo de reardo descrio por la ecuación de la plana de emperaura. Susiuyendo K, 0 y τ en (4.38) G( s) = 0s Ke τ s + 1, se obiene la función de ransferencia.375s 3.8e G( s) =.. (4.50) 8.65s + 1 95
4.5.3 SISTEMAS CON RETARDO DE TRANSPORTE Esos sisemas se caracerizan debido a que la salida no comienza a responder a la enrada sino hasa después de un inervalo de iempo dado. Los sisemas que esán descrios inherenemene por funciones de ransferencia rascendenales son más difíciles de manejar. Muchas herramienas analíicas, al como el crierio de Rouh-Hurwiz, esán resringidas a funciones de ransferencia racionales. 0s e Exisen muchas formas de aproximar a por una función racional. Una aproximación es la de Padé, la cual esá dada por una aproximación de dos érminos: e 0s 0s 1 = 0s 1+.. (4.51) Si se susiuye la relación (4.51) en (4.38) se obiene 1 1 0s K 1 0s 1+ 0s K + 0 K( 0s) G( s) = = =.. (4.5) τ s + 1 τ s + 1 ( + s)( τ s + 1) 0 K( 0s) G( s) = τ s + ( + τ ) s + 1 0 0. (4.53) Susiuyendo los valores obenidos para K, 0 y τ G( s) = 11.4 1.45s 3.355s + 17.65s + 1.. (4.54) La cual es la función de ransferencia que se emplea para represenar la plana de emperaura del experimeno de Franck-Herz y a parir de ella se obienen las respuesas del sisema a enradas variables. 96