IES ATENEA. 1 er CONTROL. MATEMÁTICAS B. 4º ESO. Nombre: Evaluación: Segunda. Fecha: de febrero de 011 NOTA Ejercicio nº 1.- Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (, 6) y B (,3). 1 punto Ejercicio nº.- El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a x una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B(x) = x + 10x 1. a) Representa la función B(x). b) Determina el precio al que hay que vender el producto, para obtener el máximo beneficio. puntos Ejercicio nº 3.- Resuelve algebraicamente el siguiente sistema de ecuaciones y = x 6x + 7 y = x 3 Representa las gráficas de ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas y haz una interpretación gráfica de la solución del sistema. puntos 3 Ejercicio nº 4.- Dada la función y = 1, se pide: x + a) Dominio de definición. c) Representación gráfica y nombre de la curva. Ejercicio nº 5.- Se considera la siguiente función definida a trozos: x + 5 si x < 3 y = x + 3 si x 3 Representa la función y estudia su crecimiento, decrecimiento y continuidad. Ejercicio nº 6.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas: 5 x 1 x a) = b) log = 1 16 x puntos puntos 1 punto
SOLUCIONES E.1. Calcula la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (,6) y B (,3). Como se trata de una recta, su ecuación ha de ser de la forma r y = mx + n. Calculamos su pendiente m: A(, 6) y y 1 6 3 3 3 m = = = r y = x + n. B(,3) x x 1 ( ) 4 4 Calculamos su ordenada en el origen n: 3 3 3 9 A(, 6) r y = x + n 6 = + n 6 = + n n =. 4 4 3 9 Por lo tanto, la ecuación de la recta es r y = x +. (1 punto) 4 E.. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a x una unidad de un determinado producto viene dado por la fórmula B(x) = x + 10x 1. a) Representa la función B(x). b) Determina el precio al que hay que vender el producto, para obtener el máximo beneficio. a) Representación gráfica. b 10 x = = = 5; y = 5 + 10 5 1 = 4 0 0 a Vértice: ( ) Puntos de corte con el eje X: Tabla de valores: Gráfica: V ( 5,4 ). x + 10x 1 = 0 x = = = 7 10 ± 100 84 10 ± 4 3 x 5 3 7 4 6 y 4 0 0 3 3 (1,5 puntos) Examen de Funciones. Matemáticas B. 4º ESO. IES Atenea. San Sebastián de los Reyes. 1
b) Solución. Hay que vender el producto a 5 la unidad; de esta forma se obtiene un beneficio máximo de 4.000 euros. (0,5 puntos) E.3. Resuelve algebraicamente el siguiente sistema de ecuaciones = + y = x 3 y x 6x 7 Representa las gráficas de ambas funciones en los mismos ejes de coordenadas y haz una interpretación gráfica de la solución del sistema. Solución analítica. Resolvemos el sistema por el método de igualación: y = x 6x + 7 y = x 3 IGUALACIÓN x 6x + 7 = x 3 x 7x + 10 = 0 7 ± 49 40 7 ± 3 5 y = 5 3 = P(5,) x = = =. (0,75 puntos) y = 3 = 1 Q(, 1) Solución gráfica. Dibujamos, sobre los mismos ejes de coordenadas, la parábola y la recta: Vértice: b 6 a = = = = + = V ( 3, ) x 3; y 3 6 3 7 0 0. 6 ± 36 8 4,41 Puntos de corte con el eje X: x 6x + 7 = 0 x = = 3 ± 1,59 Tabla de valores de la parábola: Tabla de valores de la recta: x 3 4,41 1,59 1 5 y - 0 0 x 0 3 5 y -3 0 Gráfica: (0,75 puntos) Examen de Funciones. Matemáticas B. 4º ESO. IES Atenea. San Sebastián de los Reyes.
Interpretación gráfica. Las soluciones del sistema de ecuaciones coinciden exactamente con los puntos de intersección entre la parábola y la recta. (0,5 puntos) 3 E.4. Dada la función y = 1, se pide: x + a) Dominio de definición. c) Representación gráfica y nombre de la curva. a) Dominio de definición. Dom y = { x lr / x + 0} = lr { } o Vertical: x =. o Horizontal: y = 1. (0,5 puntos). (0,5 puntos) c) Representación gráfica. Tabla de valores: x -3-4 -5-1 0 1 y -4-5/ - 1/ 0 (1 punto) Nombre de la gráfica: Hipérbola. (0,5 puntos) E.5. Se considera la siguiente función definida a trozos: x + 5 si x < 3 y = x + 3 si x 3 Representa la función y estudia su crecimiento, decrecimiento y continuidad. Debemos dibujar una semirrecta en el intervalo (, 3) y media parábola tumbada en el intervalo 3, ) +. Examen de Funciones. Matemáticas B. 4º ESO. IES Atenea. San Sebastián de los Reyes. 3
Hacemos una tabla con tres valores para el trozo de recta y = x + 5, considerando 1 su dominio, y que finaliza en x = 3, que debe ser un punto abierto ( hueco ): x -5-4 -3 y 15 13 11 Hacemos una tabla de valores para el trozo de función radical y = x + 3, considerando su dominio y que comienza en x = 3, que debe ser un punto cerrado ( relleno ): x -3-1 6 y 0 1 3 Representamos la función: (1,5 puntos) La función es decreciente en el intervalo (, 3) y creciente en el intervalo ( 3, ). (0,5 puntos) Presenta un punto de discontinuidad en x = 3. Se trata de una discontinuidad de salto finito y tamaño 11. (0,5 puntos) 5 x 1 5 x 1 5 x 4 E.6. a) = = = 5 x = 4 x = 9 x = 9 = ± 3. 4 16 (0,5 puntos) x x 1 x 1 b) log = 1 = 10 = 0 10x = x 11x = 0 x x x 10 (0,5 puntos) x = 0. Examen de Funciones. Matemáticas B. 4º ESO. IES Atenea. San Sebastián de los Reyes. 4