Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del tercer eamen parcial del curso Cálculo una variable Grupo: Uno Período: Inicial del año Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. a. Después de epresar el área sombreada de la siguiente figura como una integral calcule su valor.. s b. Deduzca la fórmula para calcular el volumen de un tubo o casquillo cilíndrico. SOLUCION: a. Como el límite superior de la región sombreada es la recta que pasa por los puntos (, /)y(, ), la pendiente m de dicha recta es: m = / = / =/ m = Por tanto la ecuación de tal recta viene dada por: y = ( ) y = + = ( ) + y = ( ) + Se concluye entonces que el valor s, del área sombreada de la figura, se puede calcular de la siguiente manera: s = ( ) + d = ( + ) d = + = + = + = = 4 =.7 s = 4 =.7 b. En la siguiente figura aparece un tubo o casquillo cilíndrico de radio interior r, radio eterior r y altura h. r h r Como el área s de un círculo de radio r es s r, siendo r la diferencia entre los radios eterior e interior y r p el promedio de dichos radios, se tiene que el volumen v de un tubo como el de la figura viene dado por:
v = ( πr πr) ( h r r ) ( )( ) r + r ( ) h r + r r r h =π r r h v =πr p rh PUNTO. Encuentre la siguiente integral indefinida: ( ) + + sec + d SOLUCION: Como la derivada de =/ es ln, la derivada de tan es sec y la derivada de arcsen es /, resulta: ( ) + + sec + d = d + d + sec d+ d d = d+ + sec d d+ = +ln + tan + arcsen ( ) + + sec + d = +ln + tan + arcsen + C PUNTO. Mediante un cambio de variable evalúe la siguiente integral definida: d SOLUCION: Apoyándose en el cambio de variable u = se deduce = u + y también du = d con lo cual cuando la es igual alau es u = = y cuando la es igual alau es u = = 4, por tanto: d = 4 (u +) udu= 4 (u +)u / du = 4 (u / + u / ) du = u / 4 / + u/ / = 4/ + 4/ = + 8=64 + 6 = 9+8 = 7 8. = u/ + 4 u/ d = 7 8. PUNTO 4. Utilizando integración por partes evalúe la siguiente integral definida. ( ) e d SOLUCION: Como la fórmula para la integración por partes es: udv = uv vdu
tomando: u = dv = e d se tiene: du =d ( ) e d =( ) e v = e e d=( ) e e d ( ) e d =( ) e e d () Para llevar a cabo la última integral debemos utilizar de nuevo la fórmula para la integración por partes. Tomando ahora: u = dv = e d se tiene: du = d e d = e v = e e d = e e e d = e e () Reemplazando el resultado () en el resultado () se obtiene: ( ) e d =( ) e e d =( ) e ( e e ) = e e e +e = e e + e = e ( + ) = e ( ) ( ) e d = e ( ) + C Se concluye entonces: ( ) e d = e ( ) = e ( ) e ( ) = e e =4e e = e (4 e ) 7.9 ( ) e d =4e e = e (4 e ) 7.9 PUNTO. Respecto de las curvas: y =4 y = + Dibuje un gráfico aproimado de la región encerrada por las curvas. Encuentre el área de dicha región. SOLUCION: Para encontrar las abscisas de los puntos P y P comunes a las dos curvas reemplazamos la ordenada de la primera en la segunda obteniendo: { 4 = + = = = Las correspondientes ordenadas de dichos puntos comunes son entonces: y =4 =4 = =4 =4, y =4 =4 = ( ) =4 =4
La región sombreada de la figura siguiente constituye el gráfico aproimado de la región encerrada por las curvas. P 4 P d - La banda o franja vertical que aparece en la figura tiene una base b = d y como está limitada en la parte superior por la curva roja cuya ecuacióm es y = + y en la parte inferior por la curva de ecuación y =4, la altura h de tal franja es h =( +) 4 =. Por tanto, el área da de la mencionada franja viene dada por: da = h b =( ) d =( ) d da =( ) d Se concluye entonces que a, elárea pedida de la región encerrada por las curvas, es la suma de las áreas de todas las franjas verticales que se forman cuando la se mueve entre y, esto es: = a = da = ( ) d = ( ) d = = = = ( ) ( ) = + = ( )=4 El área de la región encerrada por las curvas mide 4 unidades cuadradas PUNTO 6. Halle el volumen del sólido que se forma cuando la región limitada por las curvas y = y y = gira alrededor del eje y =. SOLUCION: La región limitada por tales curvas es la que aparece sombreada en la figura y es la que gira alrededor del eje y =. d R o R a - 4
Para obtener las abscisas de los puntos de corte de las curvas reemplazamos la y de la primera ecuación en la segunda obteniendo: = = ( )= = = Una banda vertical de ancho d como la que se muestra sobre la región sombreada forma al girar alrededor del eje y = la arandela que aparece a la izquierda en la figura. Los radios de la arandela, R a, y del orificio de la arandela, R o, vienen dados por: R a = y recta azul y eje de giro = ( ) = + R a = + R o = y curva roja y eje de giro = ( ) = + R o = + Por tanto dv, elelemento de volumen de tal arandela, es: dv Ra Ro ancho ( +) ( +) d + + 4 4 d dv 4 d Entonces, el volumen V del sólido de revolución que se genera es la suma de los elementos de volumen de todas las arandelas que se forman cuando la se mueve desde = hasta =, esto es: V = = = dv = π 4 d ) ( La respuesta a esta parte del punto es entonces: 4 d 7 El volumen de tal sólido es de, aproimadamente,.4668 unidades cúbicas = 7π.4668