Pr actico 4 1. Areas: Figuras y disecciones 1. Reacomodar las partes del siguiente rect angulo de 9 unidades de alto por 16 unidades de ancho para formar un cuadrado si la medida de los segmentos XK, Y B es 3 unidades y la medida de los segmentos DK, HY es 5 unidades. (a) 2. a) En la siguiente figura, AC es el diametro de la semicircunferencia. Probar que AP 2 = AB AC b) C omo diseccionar 1 un rect angulo y armar un cuadrado con sus partes? Sobre el lado m as largo del rect angulo, encontrar/determinar con regla y comp as el punto X tal que las tres partes en la siguiente figura se puedan reordenar en un cuadrado. (b) (c) 1 El teorema de Wallace, Bolyai y Gerwien dice que dos pol ıgonos convexos son equidescomponibles si y solo si tienen la misma area. La generalizaci on a poliedros (pr actico 7) es falsa; ver tercer problema de Hilbert, y es cierta en las otras geometr ıas no Eucl ıdeas
Universidad Nacional de Córdoba 3. Recortar una hoja A4 y armar un cuadrado con sus partes 4. Recortar una hoja A4 y armar un triángulo equilátero con sus partes. 5. Diseccionar un hexágono regular y armar con sus piezas un cuadrado. Realizarlo intentando usar la menor cantidad posible de figuras. 6. En la siguiente figura, calcular el cociente del área del polígono BEGF C entre el área del rectángulo ABCD. Puede generalizar el ejercicio? 7. En la siguiente figura, el cuadrado más grande tiene un área de 64 unidades, y la circunferencia está inscripta en dicho cuadrado. Si el cuadrado más pequeño está inscripto en la circunferencia Cuál es el área de la región sombreada? 8. Calcular las áreas sombreadas de las siguientes figuras (en las figuras (a) (e) calcular el área en función del lado del cuadrado). (d) (e) (f) (g) (h) (i) 9. Demostrar que el área de un polígono circunscripto a una circunferencia es igual a la mitad del producto del perímetro por el radio de la circunferencia. 2 Práctico 4
Facultad de Matemática, Astronomía y Física 10. Expresar el área del rombo y del romboide en términos de sus diagonales. 11. Demostrar que cualquier mediana de un triángulo separa al mismo en dos regiones que tienen áreas iguales. 12. Doblar las puntas de un cuadrado de papel en la forma que indica la Figura 1., de tal modo que el cuadrado que queda en el centro tenga la mitad del área del cuadrado dado. Figura 1: Cuadrado de Papel 13. A partir de las siguientes Figuras (Figura 2.) y usando lo que se sabe sobre las áreas de los triángulos y cuadrados, demostrar el Teorema de Pitágoras. Figura 2: Pitágoras 14. Demostrar que el área de la imagen de una figura por una homotecia de razón k se multiplica por el factor k 2 con respecto al área de la figura original. [Nota: debe asegurarse primero de algunas propiedades de las homotecias, como por ejemplo, que llevan triángulos en triángulos.] 15. Azul tiene una foto de tamaño 10 15 y quiere una copia ampliada que tenga por área cuatro veces el área de la original cuáles son las dimensiones de la nueva foto? 16. Demostrar que lo mismo ocurre al aplicar una semejanza de razón k. 17. Dado el cuadrilátero convexo abcd y el punto medio e de la diagonal ac, calcular el área del cuadrilátero abed en función del área de abcd. Precaución: abed podría no ser convexo (inclusive, podría ser un triángulo). Pero en cualquier caso es una figura a la que se puede calcular el área. 18. Si e y f son los puntos medios de los lados ab y bc del cuadrilátero convexo abcd, calcular el área del cuadrilátero ebfd en función del área de abcd. Ejercicios Opcionales 1. Determinar el rectángulo de mayor área inscripto en un triángulo. [Hint: hacer primero el caso de un triángulo rectángulo; luego se puede usar esto para resolver el caso general.] Áreas: Figuras y disecciones 3
Universidad Nacional de Córdoba 2. En el hexágono inscriptible abcdef las diagonales ad, be y cf son diámetros de la circunferencia circunscripta. Probar que el área del hexágono es igual al doble del área del triángulo ace. 3. Dado el triángulo abc, rectángulo en b, y el cuadrado bghc sobre uno de sus catetos, construimos sobre la hipotenusa un rectángulo de igual área que el cuadrado: sea cdef el rectángulo con cd ac, cd ac y ef es la paralela a cd que pasa por b. Probar que realmente el área de cdef es igual a la de bghc. Ayuda: considerar los triángulos cdf, bcd, hca y hcb. 4. Dibujar un rombo de lado 1 y ángulo interno π 3 y un rectángulo de lados 1 2 y 3. Recortar una de estas figuras, descomponerla en triángulos, y luego armar la segunda con los triángulos de la primera. Cuántos triángulos usó? 5. Sea I una inversión de centro o. Demostrar que dado M un número real arbitrariamente grande, existe una circunferencia C con o exterior a C tal que el área de I(C) es mayor que M por el área de xc. 6. La siguiente figura muestra parte de una circunferencia y CE es tangente a esta. Calcular el área de la figura sombreda. 7. La siguiente figura muestra un cuadrado, una semicircunferencia y dos cuartos de circunferencia. Calcular la diferencia de las regiones sombreadas. 8. La siguiente figura muestra un triángulo rectángulo isosceles y parte de una circunferencia. Si el punto M es un punto medio del cateto, calcular la diferencia de las regiones sombreadas. 9. En la siguiente figura ABCD es un trapecio y el segemento AD es paralelo a EC. Si EB = 2 AE, comparar el área del cuadrilatero AEF D con respecto al área de ABCD. 4 Práctico 4
Facultad de Matemática, Astronomía y Física 10. Calcular las áreas sombreadas de las siguientes figuras. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) Áreas: Figuras y disecciones 5