Razón de cambio de una función cuadráica Ejemplo.5 Un puno se desplaza en el plano describiendo el lugar geomérico correspondiene a la función f ( x x 6x 3. Obén la razón promedio de cambio. Considera 0 valores enre - y 4, pueden ser consecuivos o no. Complea la abla x (x f x x f x f ( ( x f ( x x f ( x x -.5 6.5 - -0.5 - -0.5 6.5-9 0 3 0.5 0.5-5 - -3.5 -.5 - -.5 0.5 3 3 5 3.5 6.5 7 4 9 Como podrás observar, los valores de la úlima columna no son iguales a qué se debe eso, si para una función lineal sí resularon iguales? Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio
Observa la gráfica siguiene que corresponde a esa función cuadráica Para dar respuesa a la preguna anerior necesiamos considerar un concepo ya conocido por i, la Secane a una curva. Concepo clave Reca Secane La secane a una curva es la reca que pasa por dos punos de ella. Considera una función f(x que es coninua en un puno x Considera ambién que esa función f(x esá definida en un inervalo abiero y que los punos P y Q esán en ese inervalo, P iene coordenadas P(x, f(x y las coordenadas de Q son Q(x, f(x. P y Q son punos muy cercanos. Considera que el puno P es fijo y el puno Q podría esar a la derecha o a la izquierda de P Q f(x -f(x P x -x Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio - 3
Cualquier reca que pase por P y Q es una secane a la curva. Como los punos ienen coordenadas P x, f ( x y Q( x, f ( ( x La pendiene de la reca secane es f ( x x f ( x x Ese cociene proporciona un promedio de los valores de las pendienes de las secanes razadas enre P y Q. Se puede considerar como la razón de cambio promedio de la pendiene de la secane enre dos punos de la curva. Ejemplo.6. Para la función f ( x x 8x 5, obén la pendiene promedio de la secane enre los siguienes pares de punos: a x 0.5 y x 3 b x.5 y x 4 Para el inciso a x f( x x x -0.5 0.5 f ( x f ( x x x f ( x f ( x 3 3.5 0.5 0.5 3 3.5 La pendiene promedio de la secane enre los punos (-0.5, 0.5 y (3, es igual a 3 Para el inciso b x f( x x x.5.5 f ( x f ( x x x f ( x f ( x La pendiene promedio de la secane enre los punos (.5,.5 y (4,5 es igual a -3 4 Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio
4 5.5-7.5 7.5 3.5 En la siguiene figura se muesran ano la gráfica de la función como las dos secanes a b Qué sucedería si alguna de esas secanes secane se hace girar maneniendo fijo uno de sus punos? Más adelane daremos respuesa a esa preguna, por ahora esudiemos el siguiene problema. El siguiene problema esá escrio como secuencia didácica, e sugerimos abordarlo con los alumnos incluyendo odos los pasos, soliciando a los alumnos e enreguen un repore de la solución. Ejemplo.7 Problema del proyecil Un proyecil es lanzado vericalmene hacia arriba desde una alura de 0 meros con una velocidad inicial de m 7.5. Enonces la función que describe su posición es: seg s( 7.5 4.9 ; Siendo s( la alura o disancia recorrida al iempo segundos. Calcula en qué momeno alcanza el proyecil la mayor alura y en qué insane ocará el suelo. Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio - 5
. Consruye una abla en la que el primer renglón corresponda a diferenes valores de iempo como 0, 0.5,,.5,,.5, hasa 6 segundos y en el segundo renglón calcula los valores de s(. 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 s(. Ahora raza la gráfica de s( 3. Qué ipo de gráfica obuvise? 4. En qué insane alcanza el proyecil la máxima alura? 5. Si el proyecil pudiera llegar hasa el nivel del piso, cuáno iempo arda en llegar? 6. Escribe ahora la abla en forma verical y agrégale res nuevas columnas: 6 Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio
a En la ercera obendrás la diferencia enre dos iempos consecuivos, cuyo encabezado es b En la cuara columna calcula la diferencia enre dos aluras o disancias consecuivas de la abla, s s( ( c Y en la quina columna, obén el cociene s( s( ( 0 0.5.5.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 s s s( ( s( s( Observa que en la columna correspondiene a son iguales. s( s( los resulados no Esás de acuerdo? 7. Cómo inerpreas ahora a los valores enconrados en la úlima columna de la Tabla? 8. Qué podrías deducir de los valores obenidos en esa úlima columna? Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio - 7
Considera que esamos dividiendo la diferencia de aluras o disancias recorridas enre la diferencia de iempo ranscurrido. Dicho de ora forma, la disancia recorrida enre el iempo ranscurrido. Cómo se inerprea eso en un problema de movimieno? Por ejemplo, la razón de cambio promedio enre y.5 segundos sería s( s( s(.5 s( 7.5 4.6 5.5.5 0.5 como la enías calculada en la abla; pero enre 3.5 y 4 segundos sería: s( s( s(4 s(3 3.6 3.5 9.5 4 3.5 0.5 9. Calcula ahora el siguiene ie: s ( s ( llámalo v( ( 7.5 4.9 ( 7.5 4.9 7.5( 4.9( iempo Anoa aquí el valor del ie que obuvise 0. Ese úlimo resulado podemos evaluarlo para diferenes valores de. Por ejemplo al iempo =.5 será igual a v(.5 7.5 9.8(.5.8 y al = 3 será igual a v(3 7.5 9.8(3.9. Qué consideras que se esá obeniendo al evaluar v(? Qué significado iene eso en un problema de movimieno? 8 Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio
Hagamos un resumen anes de coninuar. Para una función lineal, obuvimos una razón de cambio promedio consane y al observar la gráfica y obener el f ( x f ( x x x x x obuvimos el mismo valor. Inerpreamos lo anerior como la pendiene de la reca que corresponde a la función lineal. En el problema del proyecil, que corresponde a una función cuadráica, el cociene s( s( nos proporciona la razón de cambio promedio del desplazamieno del proyecil con respeco al iempo y eso lo podemos inerprear como la velocidad promedio enre los punos y. Al calcular el ie s ( s ( y evaluarlo en un puno esamos obeniendo la razón de cambio insanánea en un puno, que para nuesro ejemplo será la velocidad insanánea.. Agrega ahora a la abla la columna v (, o si ya no dispones de espacio, inicia una nueva abla con las columnas y v(, recuerda v( 7.5 9.8 v ( 0 0.5.5.5 3 3.5 4 Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio - 9
4.5 5 5.5 6 3. Elabora la gráfica de v( 4. Ahora agrega a la abla las columnas v( v(, y v( v( ( 0 3 4 5 6 7 8 9 0 v v v( ( v( v( 0 Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio
3 Observa los valores de la úlima columna 5. Qué consideras que has obenido en ella? Expresa en us propias palabras lo que consideres que es el significado de los valores obenidos en la úlima columna Calcula ahora el ie siguiene v ( v ( e inerprea el resulado. Unidad La Derivada: Esudio de la variación y el cambio -