Contenido Prefacio 13 Los números reales y la recta numérica Los números na turales: N Los números enteros: Z.. Los números racionales: Q Números irracionalcs: II.. Números reales: lr Propiedades de los números reales Propiedades algebraicas Propiedades de orden Desigualdades. Intervalos.... Valor absoluto.. Propiedades Inecuaciones con valor absoluto Inecuaciones cuadráticas Distancia entre 2 puntos...... Rectas. Introducción a las secciones cónicas Circunferencias Parábolas. 15 15 16 17 20 23 24 25 27 28 29 30 37 38 42 42 45 7
Relaciones y funciones Relación. Dominio y rango gráficamente Relación funcional. Función. Otras formas de representar una función Criterio gráfico para el calculo del dominio y recorrido de una función Funciones polinómicas. Función constante. Función lineal... Función idéntica.. Función cuadrática Función cúbica Funciones racionales Funciones radicales. Funciones a trozos Función valor absoluto Función escalón unitario Función parro entera Operaciones con funciones Composición de funciones Funciones algebraicas... Transformaciones gcométricas con funciones Desplazamientos verticales y horizontales de las gráficas Dilat aciones y contracciones verticales Dilataciones y contracciones horizontales Simetría con respecto al eje r Simetría con respecto al eje y... Simetría con respecto al origen...... Acción del valor absoluto sobre una función Funciones pares... Funciones impares Funciones periódicas Extensión periódica de una función Funciones trigonométricas........ Círculo unitario y ángulos en radianes y grados 59 59 68 70 70 73 74 75 76 76 77 77 78 79 81 83 84 84 85 86 90 91 93 93 95 98 102 103 103 105 107 108 108 llo ll2 112 8
Funciones seno y coseno 114 Función tangente. 120 Función cotangente 1 Función secante. 122 Función cosecante. 123 Ley de los senos.. 126 Ley de los cosenos. 128 Identidades trigonométricas 134 Funciones inversas 141 Funciones inyectivas 141 Funciones sobreyectivas. 142 Funciones biyect ivas 142 Inversa de una función. 143 Funciones trigonométricas inversas 149 Inversa de la función seno.. 149 Inversa de la función coseno. 150 Inversa de la función tangente 152 Inversa de la función cotangente 154 Inversa de la función secante.. 155 Inversa de la función cosecante. 157 Funciones exponenciales.... 160 Propiedades........... 161 Función exponencial natural: e... 164 Propiedades de la función exponencial natural 166 Función logaritmo natural: In x.......... 166 Propiedades de la función logaritmo natural. 167 Función logaritmo en base a: log,.......... 170 Propiedades de la función logaritmo en base a 171 Algunas aplicaciones de las funciones........ 174 Límites 181 Introducción........................... 181 Tres problemas clásicos que llevan al concepto de límite 181 Definición de límite....... 186 Noción intuit.iva de límite 186 Definición formal de límite 191 Límites laterales.... 193 9
Propiedades de los límites... 198 Definición de continuidad. 206 Límite de un polinomio.. 206 Límites algebraicos de la forma 2 Límites trigonométricos.. 7 Sustitución en límites....... 224 Límites infinitos y al infinito... 228 Límites al infinito, asíntotas horizontales 228 Límites de valor infinito y asíntotas verticales 234 Límites al infinito de valor infinito....... 241 Continuidad de funciones a trozos.......... 245 Límites y continuidad de funciones exponenciales, logarítmicas y funciones inversas 254 Teoremas de continuidad. 261 Teorema de I3olzano 261 Derivadas 267 Introducción................... 267 Velocidad media y velocidad instant ánea 267 Rectas secantes y rectas tangentes. 270 Derivadas......... 274 Derivadas básicas.......... 281 Álgebra de derivadas........ 283 Derivadas de las funciones trascendentes 292 Derivadas de orden superior....... 296 Regla de la cadena o derivada de una función compuesta 298 Derivadas implícitas 302 Derivadas de las funciones trigonométricas inversas.. 309 Aplicaciones de la derivada 315 Razones de cambio..... 315 l\iáximos y mínimos (absolutos) 324 l\iáximos y mínimos relativos. 332 Trazo de curvas o construcción de gráficas de funciones 339 Funciones monótonas y criterio de la primera derivada 339 Concavidad...... 342 Problemas de optimización. 354 Regla de L'Hópital..... 364 10
Apéndice 1. Algunas identidades trigonomótricas. 2. Respuesta a algunos ejercicios.... 369 370 371 11