Contenidos de los preliminares

Preliminares del tema Contenidos de los preliminares Propiedades de los logaritmos Un par de primitivas elementales Algunas ideas sobre la función arcotangente Funciones hiperbólicas Descomposición en fracciones simples Método de integración por partes Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Razones trigonométricas del ángulo doble Un par de ejercicios de primitivas Infinitésimos equivalentes Regla de L Hôpital Primitiva de la función exponencial Función Gamma Algunas identidades trigonométricas Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.. Propiedades de los logaritmos Fórmulas ln a +lnb = ln(ab) ln a a ln b =ln b Ejercicios resueltos r ln a =lna r Agrupar la expresión ln x + ln (x +) p ln x + ln (x +) = ln x + ln (x +) =ln x + ln (x +) p! x = ln + x + Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 3 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Agrupar la expresión ln(x +) +3ln(x +) 4 ln(x + 5) ln(x +) +3ln(x +) 4 ln(x + 5) = ln (x +) +ln(x +) 3 ln(x + 5) 4 (x +) (x +) 3 = ln (x + 5) 4 Ejercicios propuestos Agrupar la expresión lna 5lnb +4lnc ln a c 4 Agrupar la expresión ln(x ) + p ln (x +3) ln(x + 5) (x ) ln x +3 x +5 Agrupar la expresión ln (x +) + 3 ln (x +) 5 ln(x ) p p x +(x + ) x + ln (x ) p x b 5 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 4

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.. Un par de primitivas elementales Fórmulas Ejercicios resueltos f 0 (x) f(x) dx =ln f(x) + C f 0 (x) + f(x) dx =arctg f(x) + C dx = ln(x ) + C x x x 5 dx = x x 5 dx = p ln x 5 + C =ln x 5+C dx =arctgx + C x + 4x + dx = (x) + dx = (x) + dx = arctg (x)+c Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 5 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema x +4 dx = 4 x x 4 + dx = x dx = 4 + 4 x (x ) + dx = x + dx= x + dx= x arctg +C x (x ) + dx = arctg x + C Ejercicios propuestos x 3 dx ln(x 3) + C x x 3 3x dx ln 3p x 3 3x + C 5 9x + dx 5 arctg (3x)+C 3 p x +5 dx 5 x 5 arctg p5 + C x 64 + x 6 dx 4 arctg x 3 + C Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 6

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.3. Algunas ideas sobre la función arcotangente Ideas Se define la función arctg x como la inversa de la función tgx. Así, para calcular el valor de arctg a sólo hay que pensar en el valor de b que cumpla que tgb = a. Por ejemplo tenemos que: arctg = 4 ; arctg0 = 0 ; arctg =.4. Funciones hiperbólicas Fórmulas senh x = ex e x ; cosh x = ex +e x Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 7 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.5. Descomposición en fracciones simples Procedimiento Sea P (x) una función racional (cociente de polinomios) tal que el grado del denominador es Q(x) mayor que el grado del numerador. Pretendemos descomponer este cociente en suma de una serie de fracciones que tengan una expresión más manejable. La clave del procedimiento va a estar en las raíces del polinomio Q(x) del denominador. Por cada raíz del denominador se tiene una descomposición en fracciones, dependiendo del orden de multiplicidad de la raíz. Analicemos esos casos r una raíz real simple. A x r con A n o real a determinar r una raíz real doble. A x r + A (x r) con A,A n o reales a determinar Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema r una raíz real triple. A x r + A (x r) + A 3 (x r) 3 con A,A,A 3 n o reales a determinar r una raíz real de orden k. A x r + A (x r) + A 3 (x r) 3+ + A k (x r) k con A,A,..., A k n o reales a determinar p y p raíces complejas simples y conjugadas. Mx + N x + ax + b con M,N n o reales a determinar y x +ax+b el polinomio de raíces p y p p y p raíces complejas conjugadas de orden k. M x + N x + ax + b + M x + N (x + ax + b) + + M kx + N k (x + ax + b) k con M,..., M k,n,..., N k n o reales a determinar y x +ax+b el polinomio de raíces p y p Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 9 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Ejercicios resueltos x(x ) x(x ) = A x + B A(x ) + Bx = x x(x ) (igualando numeradores) A(x ) + Bx = < Para x =0 A = A = : Para x = B = x(x ) = x + x Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 0

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema (x )(x + 3) = (x )(x + 3) A x + B A(x + 3) + B(x ) = x +3 (x )(x 3) A(x + 3) + B(x ) = >< Para x = 3 4B = B = 4 >: Para x = 4A = A = 4 (x )(x + 3) = /4 x /4 x +3 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema x +3 (x )(x + )(x ) = = A x + B x + + x +3 (x )(x + )(x ) C x A(x + )(x ) + B(x )(x ) + C(x )(x + ) (x )(x + )(x ) A(x + )(x ) + B(x )(x ) + C(x )(x + ) = x +3 >< >: Para x = 3A = A = 3 Para x = 6B =5 B = 5 6 Para x = C =5 C = 5 x +3 (x )(x + )(x ) = /3 x + 5/6 x + 5/ x Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema x (x 5)(x + ) 3 x (x 5)(x + ) = A 3 x 5 + B x + + C (x + ) + D (x + ) 3 = A(x + )3 + B(x 5)(x + ) + C(x 5)(x + ) + D(x 5) (x 5)(x + ) 3 A(x + ) 3 + B(x 5)(x + ) + C(x 5)(x + ) + D(x 5) = x >< >: Para x = 6D = 3 D = Para x =5 6A =3 A = 7 Para x =0 A 5B 5C 5D = 5B 5C = 35 7 Para x = A 6B C 4D = 6B C = 9 yasí B = 7 ; C = x (x 5)(x + ) = /7 3 x 5 /7 x + / (x + ) + / (x + ) 3 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 3 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema x + x +=0 x = ± p 4 (x ) x + x + = ± p 7 raíces complejas (x ) x + x + = A x + Bx + C x + x + = A x + x + +(Bx + C)(x ) (x ) (x + x +) A x + x + +(Bx + C)(x ) = >< Para x = 4A = A = 4 Para x =0 A C = C =A = >: +C A Para x = A +B C = B = (x ) x + x + = /4 /4x +/ x x + x + = 4 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 4

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema dejando indicados los coeficientes. x 3 +3x +5 (x )(x ) 3 x +x +5 x x +3 x +x +5=0 x = ± p 4 5 = ± p 6 raíces complejas x x +3=0 x = ± p ( ) 4 3 = ± p raíces complejas Por lo tanto la descomposición en fracciones simples será: A x + B x + C (x ) + D (x ) + Ex + F 3 x +x +5 + Gx + H x x +3 Ejercicios propuestos x + (x )x 3/ x / x Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 5 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema indicados los coeficientes. x (x 3)(x + ) x +3x (x 3)(x + )(x 4) x +3 (x 3) (x + )(x 5) x 3 7/5 x 3 (x + ) x +3x +4 3x 9/ x 3 3/ x 3 + / x + /0 x + + /5 x 4 3/5 /75 (x 3) x + + /7 x 5 (x + ) (x ) 3 x +4x +5 7/ 7/ x + / + x + x +3x +4 dejando A x + + B (x + ) + C x + D (x ) + E (x ) + Fx+ G 3 x +4x +5 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 6

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema los coeficientes. indicados los coeficientes. x (x + ) 3 x x + x +5 dejando indicados A x + + B (x + ) + C (x + ) + D 3 x + Ex + F x + x +5 x 5 x 3 (x +4x +5)(x +x +).6. Método de integración por partes Fórmula A x + B x + C x 3 + Dx + E x +4x +5 + dejando Fx+ G x +x + u dv = uv v du Esta fórmula la podemos aplicar cuando queramos integrar el producto de una función por la derivada de otra. Será útil cuando v du sea más sencilla de calcular que u dv. A veces habrá que aplicar más de una vez el método para calcular la integral. Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 7 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Ejercicios resueltos Calcular x sen x dx < u = x du =dx : dv =senxdx v = cos x x sen xdx = x( cos x) cos xdx = x cos x+ Calcular x e x dx >< u = x du =x dx yasí, cos xdx = >: dv =e x dx v = yasí, ex x e x dx = x ex ex x dx = x e x x e x dx x cos x+sen x+c Para calcular esta última integral volvemos a aplicar el método de integración por partes Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema >< u = x du =dx >: dv =e x dx v = yasí, ex x e x dx = x ex ex dx = x ex e x dx = x ex Por lo tanto, sustituyendo en nos queda x e x dx = x e x x e x dx = x e x x e x x = e x x + + C 4 Calcular ln x dx ln x dx =lnx x >< u =lnx du = x dx >: dv =dx v = x x dx = x ln x x dx = x ln x yasí, 4 ex + C 4 ex + C x + C = x ln x + C Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 9 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Calcular sen x e x dx < u =senx du = cos x dx yasí, : dv =e x dx v =e x sen x e x dx =senxe x e x cos x dx Para calcular esta última integral volvemos a aplicar el método de integración por partes < u = cos x du = sen x dx yasí, : dv =e x dx v =e x cos x e x dx = cos x e x e x ( sen x)dx = cos x e x + sen x e x dx Por lo tanto, sustituyendo en nos queda sen x e x dx = sen x e x e x cos x dx =senxe x cos x e x + = sen x e x cos x e x sen x e x dx sen x e x dx Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 0

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Si le llamamos I a sen x e x dx nos queda: I =senx e x cos x e x I I =senx e x cos x e x I = ex (sen x cos x) A este tipo de integrales se le suele conocer con el nombre de cíclicas. Ejercicios propuestos x cos x dx x sen x + cos x + C x e x dx e x x +x + + C arctg x dx x arctg x ln p x ++C cos x e 3x dx e 3x (3 cos x +senx) 0 + C Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.7. Razones trigonométricas del ángulo doble Fórmulas sen (x) =senx cos x ; cos (x) = cos x sen x.. Un par de ejercicios de primitivas Ejercicios resueltos s s + a ds = s s + a ds = s s + a = s + a + C = s + a + C u du. Empezamos descomponiendo en fracciones simples: ds Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema u = (u )(u + ) = A u + B A(u + ) + B(u ) = u + (u )(u + ) A(u + ) + B(u ) = >< Para u = B = B = >: Para u = A = A = u = / u / u du = / u u + / u + y, por lo tanto, se tiene du = ln(u ) ln(u + ) + C = ln(u ) ln(u + ) + C =ln p u ln p u ++C = ln r u u + + C Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 3 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.9. Infinitésimos equivalentes Fórmulas Las siguientes funciones son infinitésimos equivalentes cuando x! 0: sen x x ; tgx x ; cos x x ; ln( + x) x.0. Regla de L Hôpital Enunciado Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en un entorno de un punto a. Si se tiene que f 0 (x) f(x) f(x) =ĺımg(x) =0 yademásexiste ĺım, entonces también existe ĺım x!a x!a g 0 (x) x!a g(x), ĺım x!a verificándose: f(x) ĺım x!a g(x) =ĺım f 0 (x) x!a g 0 (x) Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 4

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Notas El enunciado de este teorema también es válido para la indeterminación. Asimismo, se puede enunciar de forma análoga si a es ó. f 0 (x) Si en la expresión ĺım x!a g 0 (x) se vuelve a presentar una indeterminación del tipo 0 0 ó se puede volver a aplicar la regla de L Hôpital (siempre y cuando se cumplan las hipótesis de aplicabilidad). Ejercicios resueltos sen x ĺım = x!0 x e x sen x ĺım = x!0 x ĺım x!0 x + cos x 3x = L H cos x =ĺım = x!0 6 6 0 indeterminación 0 0 indeterminación 0 0 indeterminación 0 L H cos x =ĺım = x!0 L H e x sen x +e x cos x =ĺım x!0 L H =ĺım x!0 x sen x 6x = 0 0 indeterminación Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 5 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Ejercicios propuestos ĺım x!0 x sen x x 3 ĺım x! x x +3x + ĺım x!0 e x x x Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 6

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.. Primitiva de la función exponencial Fórmula e f(x) f 0 (x)dx =e f(x) + C Ejercicios resueltos e x dx = e x dx = ex + C e x dx = e x ( ) dx = e x + C e x x dx = e (x ) dx = e x x dx = ex + C e (x ) ( ) dx = e (x ) + C Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 7 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Ejercicios propuestos e x dx e x3 x dx e x + C 3 ex3 + C e x 3 dx e x 3 + C e x+3 dx e x+3 + C Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.. Función gamma Definición Definimos la función gamma, (p), como : R +! R + p! (p) = es decir, (p) = Propiedades () =. (p) =(p ) (p ) p>. (n) =(n )! n N. = p. 0 t p 0 e t dt t p e t dt para p>0 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 9 Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema Ejercicios resueltos (5) = 4! = 4 9 Calcular 9 = 7 7 = 7 5 = 7 5 3 p 05p = 6 5 = 7 5 3 3 = 7 5 3 Ejercicios propuestos (6) 0 7 5p (3) 5 3p 4 Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 30

Ampliación de Cálculo /3. Escuela Politécnica Superior Preliminares del tema.3. Algunas identidades trigonométricas Fórmulas sen x + cos x = sen = cos( ) ; cos = + cos( ) Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matemática Aplicada. Universidad de Málaga 3