Tema : Pincipios de la electostática 1, Antonio Gon nzález Fená ández Antonio González Fenández Depatamento de Física Aplicada III Univesidad de Sevilla Pate 4/7 Leyes de la electostática
Leyes de la electostática: deteminación ió de las fuentes l cálculo del campo eléctico mediante integación diecta 1 ' ' ' ' d ' ' d ' ' q d ' k k S l 4 ' ' ' s S k k es impacticable salvo en los casos más simples, o mediante métodos numéicos 1, Antonio Gon nzález Fená ández Se necesitan fomulaciones altenativas de la electostática Con ayuda del teoema de Helmholtz, podemos =??? detemina el campo electostática si conocemos sus fuentes =??? Se deducián a pati de la ley de Coulomb y el pincipio de supeposición
Flujo del campo eléctico de una caga puntual Supongamos una caga puntual q q 4 Situamos O en q 1, Antonio Gon nzález Fená ández Flujo de su campo eléctico a tavés de una supeficie abieta d S q d q S S 4 S 4 n una supeficie i ceada d S q S
Flujo del campo de una distibución: Ley de Gauss Si tenemos una distibución, se supeponen los flujos d 1 d S d S q k q Qint 1 q k k q qk k 1, Antonio Gon nzález Fená ández Ley de Q d Gauss S Válida también en situaciones no electostáticas int La caga exteio no contibuye al flujo, peo sí poduce campo Pemite halla la caga enceada Q int d S 4
Foma difeencial de la ley de Gauss La foma integal es válida paa cualquie supeficie ceada d S Q Se aplica el teoema de Gauss a la ley de Gauss int τ τ ρ 1, Antonio Gon nzález Fená ández d S d Paa todo τ d d int 1 d Ley de Gauss (foma difeencial) Q Las cagas elécticas son manantiales y sumideos del campo eléctico: el campo va de las cagas positivas a las negativas jemplo: caga puntual q 4 q q 4 5
Discontinuidad del campo eléctico en una supeficie i cagada Una distibución de caga que se educe a una supeficie poduce una discontinuidad en el campo eléctico 1 P Se descompone en un pequeño disco alededo de P, más el esto de la distibución: = +, 1, Antonio Gon nzález Fená ández : campo 1 1 P del disco 1 P 1 Discontinuo 1 ' ' 1 1 s n asociada a la s 1 ' ' 1 n : campo del esto del univeso Continuo Condición de salto s asociada a la n [ ] ley de Gauss 6
Rotacional del campo electostático l campo electostático de s iotacional una caga puntual q es cental q 4 1, Antonio Gon nzález Fená ández l campo electostático táti de una distibución es iotacional Iotacionalidad del q k q k qk qk l campo electostático campo electostático caece de fuentes vectoiales No vale en situaciones dependientes del tiempo 7
l campo electostático es consevativo La ciculación ió del campo electostático táti a lo lago de una cuva ceada es nula 1, Antonio Gon nzález Fená ández S d ds d S Γ l campo electostático es consevativo S S l campo electostático no puede tene líneas de d campo ceadas La ciculación a lo lago de Γ dicha línea seía no nula d dl d 8
Continuidad de la componente tangencial del campo eléctico La anulación de la ciculación impide que la componente tangencial del campo eléctico sea discontinua en una supeficie (cagada o no). 1, Antonio Gon nzález Fená ández n Si t es discontinua, t Γ 1 la ciculación sobe Γ 1t Γ no seía nula 1 t 1t 1n 1 1n 1 Condición de salto n[ ] t () = t (1) [ t ] = tangencial 1 u n v n u v n u v n u v n v u n n u n v n n u v u v 9
Resumen de las leyes de la electostática táti Fueza F 1 = q 1 ( 1 ) Ley de Gauss Iotacionalidad del campo electostático 1, Antonio Gon nzález Fená ández Foma integal Foma difeenciali Condición ió de salto d S Q int d l flujo de es popocional a la caga enceada Las cagas son manantiales y sumideos l campo electostático es consevativo n s La componente nomal es discontinua en las supeficies cagadas l campo electostático es iotacional n La componente tangencial es siempe continua Validez Univesal Sólo en electostática 1
Aplicaciones de las leyes: el campo de una caga puntual (I) A pati de las leyes de la electostática puede deducise el campo ceado po cualquie distibución q Paa una caga puntual, empleando coodenadas esféicas u u u 1, Antonio Gon nzález Fená ández Simetía de evolución: al ota el sistema no cambia: Las componentes no dependen de θ ni de φ; k = k () Po se consevativo: Tomando un paalelo d sen φ = θ Γ q Tomando un meidiano y un diámeto θ = 11
1, Antonio Gon nzález Fená ández Aplicaciones de las leyes: el campo de una caga puntual (II) Po tanto, el campo de la caga es cental ds Hallando el flujo Qint q sobe una esfea concéntica Q q int d 4 con la caga S ds u sen d d u cte cte Constante sobe la supeficie d 4 ds Paalelos: 1 u q 4 u Tasladando el oigen q 4 u u = 1 1
Deducción de la ley de Coulomb y el pincipio i i de supeposición ió Una vez deducido d el campo de una caga puntual se tiene la ley de Coulomb 1 1 1 4 1 q qq F q 1 1 1 1 4 1 1, Antonio Gon nzález Fená ández l pincipio de supeposición es consecuencia de la linealidad de las ecuaciones 1 1 1 1 1 1
Campo eléctico de una esfea cagada unifomemente en su supeficie i Las simetías son las k = k () θ = mismas que paa la caga puntual φ = = ()u 1, Antonio Gon nzález Fená ández Hallando el flujo sobe una esfea de adio, concéntica d S Q int d S 4 La caga enceada depende de Q 4 Caga R R puntual Si > R, toda la caga Si < R, ninguna Q int u Nulo R Q R R R 14
Campo eléctico de una esfea cagada unifomemente en el volumen De nuevo, existe k = k () θ = simetía esféica φ = = ()u Q 4 R φ 1, Antonio Gon nzález Fená ández Hallando el flujo sobe una esfea de adio, concéntica d S 4 R Si > R, toda la caga Q int = Q int () R Si < R, depende Q () 4 int Lineal 1 u R Q u R Caga 4 puntual Q int Q Q R R Q R 15
Compaación de los campos de las esfeas cagadas 1, Antonio Gon nzález Fená ández n [ ] Supeficie Discontinuo en = R u R R s Volumen Continuo en = R Pueden supeponese +Q en el volumen Qu Q 4R s u Q i 4 Q en la supeficie R? 16
sfea con hueco: supeposición de soluciones siméticas i Una esfea de adio b tiene un agujeo esféico de adio a con su cento a una distancia c del cento. Hay una caga Q distibuida unifomemente. Cuánto vale el campo en el inteio del hueco? Cuánto vale el campo en el exteio? 1, Antonio Gon nzález Fená ández A 1A A = + 1 1 A 1A 1 1 1 c A c c 4 b a Q c Se supeponen las densidades de caga Q Q 4 b a l campo es unifome dento del hueco 17
sfea con hueco: solución exteio= suma de cagas puntuales n el exteio de la distibución, también se aplica supeposición p 1, Antonio Gon nzález Fená ández B 1B B Cagas desiguales = Q Q1 4 1B l campo total es suma del de dos cagas puntuales + 4 Qb 1 b b a Q Q 4 b a l campo exteio de cada esfea es el de una caga puntual Q c n puntos B 4 alejados, se c apoxima a Qa Q una sola caga b a puntual Q B Q b a c 4 b a c 18
Campo de un hilo infinito (I): simetías y componentes nulas mpleando coodenadas cilíndicas: = ρ u ρ + φ u φ + z u z Simetía taslacional l k z Simetía otacional k k k 1, Antonio Gon nzález Fená ández λ Po se iotacional deiva de un potencial escala Hallando el gadiente Po las simetías u 1 u u u z También aplicable a otos sistemas con simetía cilíndica z 19
Campo de un hilo infinito (II): cálculo de la componente adial Flujo sobe una supeficie cilíndica d S d S d S ds z zh cte h dd z h u u n las bases, Φ =, po se ds 1, Antonio Gon nzález Fená ández Caga enceada dento del cilindo Q dl h int Análogamente paa un Campo de un hilo u cilindo macizo R u u R R
Cuándo la ley de Gauss es útil......y cuándo no lo es La ley de Gauss siempe es cieta, peo no siempe es útil Solo es útil cuando las simetías pemiten extae el campo eléctico de la integal del flujo No es útil si no hay suficiente simetía 1, Antonio Gon nzález Fená ández spia o segmento: no sive aplica la ley de Gauss Si no hay simetía d S S A menudo hay que combinala con el pincipio de supeposición No hay simetía taslacional 1
Sevilla, noviembe de 1 1, Antonio González Fenández