Ejercicios Física PAU Comunidad de Madrid Enunciados Revisado 17 diciembre 2014

Transcripción

1 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico 0-Modelo A. Pegunta.- Tes cagas puntuales, μc, μc y una tecea caga desconocida, se encuentan en el vacío colocadas en los puntos A (0,0), B(,0) y C(0,), espectivamente. l potencial ue cean las tes cagas en el punto P(,) es V060 V. Calcule, teniendo en cuenta ue las coodenadas vienen dadas en metos: a) l valo de la caga. b) La fueza ue expeimentaía una caga de -7 μc colocada en el punto P, debido a la pesencia de las otas tes. Datos: Constante de la Ley de Coulomb, K 0 N m C - 0-Septiembe B. Pegunta.- n el plano XY se sitúan tes cagas puntuales iguales de μc en los puntos P (,-) mm, P (-,-) mm y P (-,) mm. Detemine el valo ue debe tene una caga situada en P (, ) mm paa ue: a) l campo eléctico se anule en el punto (0,0) mm. n esas condiciones, cuál seá el potencial eléctico en dicho punto? b) l potencial eléctico se anule en el punto (0,0) mm. n esas condiciones, cuál seá el vecto de campo eléctico en dicho punto? Dato: Constante de Coulomb, K 0 N m C - 0-Junio B. Pegunta.- Un electón se popaga en el plano XY con velocidad v o constante de 00 m s - en el sentido negativo del eje X. Cuando el electón cuza el plano x 0 se adenta en una egión del espacio donde existe un campo eléctico unifome de N C - en el sentido negativo del eje X, tal y como se indica en la figua. a) Desciba el tipo de movimiento ue seguiá el electón una vez se haya intoducido en esa egión del espacio. Discuta cual seá la velocidad final del electón. b) Calcule la fueza ejecida sobe el electón así como la aceleación ue éste expeimenta. Datos: Masa del electón, m e, 0 - kg ; Valo absoluto de la caga del electón, e, C 0-Modelo A. Pegunta.- l campo electostático ceado po una caga puntual, situada en el oigen de coodenadas, viene dado po la expesión: u N C, donde se expesa en m y u es un vecto unitaio diigido en la diección adial. Si el tabajo ealizado paa lleva una caga ' desde un punto A a oto B, ue distan del oigen y 0 m, espectivamente, es de 0-6 J, detemine: a) l valo de la caga puntual ue está situada en el oigen de coodenadas. b) l valo de la caga ' ue se ha tanspotado desde A hasta B. Dato: Constante de la ley de Coulomb, K 0 N m C - 0-Septiembe A. Pegunta.- Se tiene un plano infinito con una densidad de caga supeficial positiva σ. a) Deduzca, utilizando el teoema de Gauss, el vecto campo eléctico geneado po la distibución. b) Calcule la difeencia de potencial eléctico ente dos puntos, en el mismo semiespacio, sepaados una distancia d en la diección pependicula al plano cagado. Justifiue si cambiaía su espuesta si la diección fuea paalela al plano cagado. 0-Junio B. Pegunta.- Dos cagas puntuales y están situadas en el eje X sepaadas po una distancia de 0 cm y se epelen con una fueza de N. Si la suma de Ias dos cagas es igual a 6 µc, calcule: a) l valo de las cagas y. b) l vecto campo eléctico en el punto medio de Ia ecta ue une ambas cagas. Datos: Constante de la ley de Coulomb, K 0 N m C - 0-Modelo B. Pegunta.- Una esfea maciza no conductoa, de adio R 0 cm, está cagada Página de 7

2 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico unifomemente con una caga de 0-6 C. a) Utilice el teoema de Gauss paa calcula el campo eléctico en el punto R y detemine el potencial eléctico en dicha posición. b) Si se envía una patícula de masa m 0 - kg, con la misma caga y velocidad inicial v 0 0 m s -, diigida al cento de la esfea, desde una posición muy lejana, detemine la distancia del cento de la esfea a la ue se paaá dicha patícula. Datos: K 0 N m C - 0-Septiembe A. Pegunta.- Dos cagas puntuales mc y - mc están colocadas en el plano XY en las posiciones (-,0) m y (,0) m, espectivamente: a) Detemine en ué punto de la línea ue une las cagas el potencial eléctico es ceo. b) s nulo el campo eléctico ceado po las cagas en ese punto? Detemine su valo si pocede. Dato: Constante de la ley de Coulomb, K 0 N m C - 0-Junio A. Pegunta.- Un electón ue se mueve con una velocidad v 0 6 i m s peneta en una egión en la ue existe un campo eléctico unifome. Debido a la acción del campo, la velocidad del electón se anula cuando éste ha ecoido 0 cm. Calcule, despeciando los efectos de la fueza gavitatoia: a) l módulo, la diección y el sentido del campo eléctico existente en dicha egión. b) l tabajo ealizado po el campo eléctico en el poceso de fenado del electón. Datos: Masa del electón, m e, 0 - kg; Valo absoluto de la caga del electón, e, C 0-Modelo A. Pegunta.- Se disponen tes cagas elécticas puntuales en los vétices de un tiángulo ectángulo cuyos catetos tienen una longitud L como indica la figua (L, m, nc, nc). a) Calcule la fueza total, F, ejecida po las cagas y sobe la caga, y dibuje el diagama de fuezas de la caga. b) Cuál seía el tabajo necesaio paa lleva la caga desde su posición actual al punto P de coodenadas x, m, y, m? Dato: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C -. 0-Septiembe-Coincidentes A. Cuestión.- n una egión del espacio, el flujo de campo eléctico a tavés de una supeficie ceada es ceo. a) Se puede afima ue el campo eléctico es ceo en todos los puntos de la supeficie? Razone la espuesta. b) Si se disponen dos cagas puntuales, una de µc colocada en el punto (-, 0) cm y la ota de -8 µc en el punto (, 0) cm, detemine ei flujo de campo eléctico ue ataviesa una esfea de adio cm centada en el oigen de coodenadas. Dato: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C -. B. Cuestión.- Se tienen tes cagas elécticas situadas en los vétices de un tiángulo euiláteo de lado l0, m tal y como se muesta en la figua. Si nc y - nc. a) Dibuje el diagama de fuezas de la caga debido a la pesencia de y, y calcule el vecto fueza esultante ue expeimenta. b) Calcule el tabajo necesaio paa lleva la caga desde el punto donde se encuenta a una distancia muy gande (considea ue la distancia es infinita). Dato: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C -. 0-Septiembe B. Poblema.- n el punto de coodenadas (0, ) se encuenta situada una caga 7, 0 - C y en el punto de coodenadas (, 0) se encuenta situada ota caga,,0 0 - C. Las coodenadas están expesadas en metos. a) Calcule la expesión vectoial de la intensidad del campo eléctico en el punto (, ). b) Calcule el valo del potencial eléctico en el punto (, ). c) Indiue el valo y el signo de la caga ue hay ue situa en el oigen paa ue el potencial eléctico en el punto (, ) se anule. d) Indiue el valo y el signo de la caga ue hay ue situa en el oigen de coodenadas paa Página de 7

3 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico ue la intensidad del campo en el punto de coodenadas (, ) sea 0. Dato: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C -. Aclaación: No es necesaio, peo si se desea ue en el punto (, ) el campo eléctico en el apatado d) sea un ceo exacto, hay ue considea el valo de como un númeo peiódico (6/) 0 - C. 0-Junio-Coincidentes A. Poblema.- Dos cagas elécticas positivas de nc cada una se encuentan situadas en la posiciones (, 0) m, y (-, 0) m. Ota caga negativa de - nc se encuenta situada en la posición (0, -) m. a) Halle el campo y el potencial eléctico en el punto (0, ) m. b) Si se coloca ota caga positiva de nc en el punto (0, ) m en eposo, de manea ue es libe paa movese, azone si llegaá hasta el oigen de coodenadas y, en caso afimativo, calcule la enegía cinética ue llevaá en el oigen. Dato: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C -. 0-Junio B. Poblema.- Considéese un conducto esféico de adio R 0 cm, cagado con una caga nc. a) Calcule el campo electostático ceado en los puntos situados a una distancia del cento de la esfea de y cm. b) A ué potencial se encuentan los puntos situados a 0 cm del cento de la esfea? c) Y los situados a cm del cento de la esfea? d) ué tabajo es necesaio ealiza paa tae una caga de nc desde el infinito a una distancia de 0 cm del cento de la esfea? Datos: Constante de Coulomb K/( π ε o ) 0 N m C -. 0-Modelo A. Poblema.- (nunciado 00% idéntico a 00-Modelo-A-Poblema, 007-Septiembe-B- Poblema ) 00-Septiembe-Fase specífica A. Cuestión.- Dos cagas puntuales iguales, de valo x0-6 C, están situadas espectivamente en los puntos (0,8) y (6,0). Si las coodenadas están expesadas en metos, detemine: a) La intensidad del campo eléctico en el oigen de coodenadas (0,0). b) l tabajo ue es necesaio ealiza, paa lleva una caga x0-6 C desde el punto P (,), punto medio del segmento ue une ambas cagas, hasta el oigen de coodenadas. Dato: Constante de la ley de Coulomb: K x0 N m C - 00-Junio-Coincidentes A. Poblema.- n dos de los tes vétices de un tiángulo euiláteo de lado a se encuentan dos cagas puntuales fijas de nc. Calcule el valo de la caga ue debe colocase en el punto medio ente las dos pimeas: a) Paa ue en el tece vétice del tiángulo el campo eléctico sea nulo. b) Paa ue en el tece vétice del tiángulo el potencial eléctico sea nulo. Dato: Constante de la ley de Coulomb: K x0 N m C - 00-Junio-Fase Geneal B. Poblema.- Tes cagas puntuales de valoes nc, - nc y nc están situadas, espectivamente, en los puntos de coodenadas (0,), (,) y (,0) del plano XY. Si las coodenadas están expesadas en metos, detemine: a) La intensidad de campo eléctico esultante en el oigen de coodenadas. b) l potencial eléctico en el oigen de coodenadas. c) La fueza ejecida sobe una caga nc ue se sitúa en el oigen de coodenadas. d) La enegía potencial electostática del sistema fomado po las tes cagas, y. Dato: Constante de la ley de Coulomb: K x0 N m C - 00-Junio-Fase specífica B. Cuestión.- a) nuncie y expese matemáticamente el teoema de Gauss. b) Deduzca la expesión del módulo del campo eléctico ceado po una lámina plana, infinita, unifomemente cagada con una densidad supeficial de caga σ. 00-Modelo A. Poblema.- (nunciado 00% idéntico a 007-Septiembe-B-Poblema ) (n Modelo pelimina ue no contemplaba dos opciones disjuntas ea B. Poblema ) 00-Septiembe Página de 7

4 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico Cuestión.- Una supeficie esféica de adio R tiene una caga eléctica distibuida unifomemente en ella. a) Deduzca la expesión del módulo del vecto campo eléctico en un punto situado en el exteio a dicha supeficie haciendo uso del teoema de Gauss. b) Cuál es la azón ente los módulos de los vectoes campo eléctico en dos puntos situados a las distancias del cento de la esfea R y R? 00-Junio A. Poblema.- Dos cagas puntuales de - μc y μc se encuentan situadas en el plano XY, en los puntos (-,0) y (,0) espectivamente. Detemine el vecto campo eléctico: a) n el punto de coodenadas (0,0). b) n el punto de coodenadas (0,0). Nota: Todas las coodenadas están expesadas en metos. 00-Modelo B. Poblema.- n el plano x0 existe una distibución supeficial infinita de caga cuya densidad supeficial de caga es σ 0-6 C/m. a) mpleando el teoema de Gauss detemine el campo eléctico geneado po esta distibución de caga en los puntos del espacio de coodenadas (,0,0) y (-,0,0). Una segunda distibución supeficial infinita de caga de densidad supeficial σ se sitúa en el plano x. b) mpleando el teoema de Gauss detemine el valo de σ paa ue el campo eléctico esultante de ambas distibuciones supeficiales de caga en el punto (-,0,0) sea 0 i N /C Nota: Todas las coodenadas están expesadas en unidades del SI. Dato: Pemitividad eléctica del vacío ε 0 8,8 0 - C N - m Septiembe Cuestión.- Se disponen tes cagas de 0 nc en tes de los vétices de un cuadado de m de lado. Detemine en el cento del cuadado: a) l módulo, la diección y el sentido del vecto campo eléctico. b) l potencial eléctico. Dato: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C - B. Poblema.- Una caga de 0 nc se distibuye homogéneamente en la egión ue delimitan dos esfeas concénticas de adios cm y cm. Utilizando el teoema de Gauss, calcule: a) l módulo del campo eléctico en un punto situado a 6 cm del cento de las esfeas. b) l módulo del campo eléctico en un punto situado a cm del cento de las esfeas. Dato: Pemitividad eléctica del vacío ε 0 8,8 0 - C N - m Junio A. Poblema.- Dos cagas fijas, nc y -,7 nc se encuentan situadas en los puntos del plano XY de coodenadas (,0) y (-,0) espectivamente. Si todas las coodenadas están expesadas en metos, calcule: a) l potencial eléctico ue cean estas cagas en el punto A (-,). b) l campo eléctico ceado po y en el punto A. c) l tabajo necesaio paa taslada un ión de caga negativa igual a -e del punto A al punto B, siendo B (,), indicando si es a favo o en conta del campo. d) La aceleación ue expeimenta el ión cuando se encuenta en el punto A. Datos: Valo absoluto de la caga del electón e,6 0 - C Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C - Masa del ión M, 0-6 kg Cuestión.- a) nuncie el teoema de Gauss y esciba su expesión matemática. b) Utilice dicho teoema paa deduci la expesión matemática del campo eléctico en un punto del espacio debido a una caga puntual. 007-Septiembe B. Poblema.- Se disponen dos cagas elécticas sobe el eje X: una de valo en la posición (,0), y ota de valo en (-,0). Sabiendo ue todas las distancias están expesadas en metos, detemine en los dos casos siguientes: a) Los valoes de las cagas y paa ue el campo eléctico en el punto (0,) sea el vecto 0 j N /C, siendo j el vecto unitaio en el sentido positivo del eje Y. b) La elación ente las cagas y paa ue el potencial eléctico en el punto (,0) sea ceo. Datos: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C - Página de 7

5 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico 007-Junio B. Poblema.- Dos patículas con cagas de mc y de - mc están situadas en los puntos del plano XY de coodenadas (-,0) y (,0) espectivamente. Sabiendo ue las coodenadas están expesadas en metos, calcule: a) l campo eléctico en el punto (0,). b) l potencial eléctico en los puntos del eje Y. c) l campo eléctico en el punto (,0). d) l potencial eléctico en el punto (,0). Datos: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C Modelo B. Poblema.- Una caga positiva de μ C se encuenta situada inmóvil en el oigen de coodenadas. Un potón moviéndose po el semieje positivo de las X se diige hacia el oigen de coodenadas. Cuando el potón se encuenta en el punto A, a una distancia del oigen de x 0 m lleva una velocidad de 000 m/s. Calcule: a) l campo eléctico ue cea la caga situada en el oigen de coodenadas en el punto A. b) l potencial y la enegía potencial del potón en el punto A. c) La enegía cinética del potón en el punto A d) l cambio de momento lineal expeimentado po el potón desde ue pate de A y po efecto de la epulsión vuelve al mismo punto A. Datos: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C - ; Masa del potón m p, kg; Caga del potón p,6 0 C 006-Septiembe B. Poblema.- Dos cagas elécticas positivas e iguales de valo 0 C están situadas en los puntos A (0, ) y B (0, ) del plano XY. Otas dos cagas iguales están localizadas en los puntos C (, ) Y D (, ). Sabiendo ue el campo eléctico en, el oigen de coodenadas es 0 i N /C, siendo i el vecto unitaio en el sentido positivo del eje X, y ue todas las coodenadas están expesadas en metos, detemine: a) l valo numéico y el signo de las cagas. b) l potencial eléctico en el oigen de coodenadas debido a esta configuación de cagas. Datos: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C Junio Cuestión.- Una caga puntual de valo ocupa la posición (0,0) del plano XY en el vacío. n un punto A del eje X el potencial es V -0 V y el campo eléctico es 80 i N /C, siendo i el vecto unitaio en el sentido positivo del eje X. Si las coodenadas están dadas en metos, calcule: a) La posición del punto A y el valo de. b) l tabajo necesaio paa lleva un electón desde el punto B (,) hasta el punto A. Datos: Valo absoluto de la caga del electón e,6x0 - C Constante de la ley de Coulomb en el vacío K 0 N m C - Cuestión.- Calcule en los dos casos siguientes la difeencia de potencial con ue debe se aceleado un potón ue pate del eposo paa ue después de atavesa dicho potencial: a) l momento lineal del potón sea 0 - kg m s - Datos: Caga del potón p,6 x 0 - C; Masa del potón m p,67x 0-7 kg Constante de Planck h 6,6 x 0 - J s. 00-Septiembe Cuestión.- Un potón ue pate del eposo es aceleado po una difeencia de potencial de 0 V. Detemine: a) la enegía ue aduiee el potón expesada en ev y su velocidad en m/s; Datos: Constante de Planck 6,6 0 - J s; Masa del potón, kg; Caga del potón,6 0 - C 00-Junio Cuestión.- Un electón ue pate del eposo es aceleado po una difeencia de potencial de 0 V. Calcule: a) l cociente ente los valoes de la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad alcanzada po el electón. Datos: Constante de Planck h 6,6 0 - J s; Velocidad de la luz en el vacío c 0 8 m s - Masa del electón me, 0 - kg; Valo absoluto de la caga del electón e,6 0 - C Página de 7

6 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico A. Poblema.- Tes patículas cagadas μc, μ C y de valo desconocido están situadas en el plano XY. Las coodenadas de los puntos en los ue se encuentan las cagas son : (,0), : (-,0) y : (0,). Si todas las coodenadas están expesadas en metos: a) ué valo debe tene la caga paa ue una caga situada en el punto (0,) no expeimente ninguna fueza neta? b) n el caso anteio, cuánto vale el potencial eléctico esultante en el punto (0,) debido a las cagas, y? Datos: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C - 00-Modelo Cuestión.- Dos cagas puntuales de 6 μc y μc están situadas en el eje X, en dos puntos A y B distantes ente sí cm. Detemine: a) l vecto campo eléctico en el punto P de la línea AB, si AP cm. y PB 8 cm. b) l potencial eléctico en el punto C peteneciente a la mediatiz del segmento AB y distante 8 cm. de dicho segmento. Datos: Constante de la ley de Coulomb K 0 N m C - 00-Septiembe B. Poblema.- Dos cagas elécticas en eposo de valoes μc y - μc, están situadas en los puntos (0,) y (0,-) espectivamente, estando las distancias en metos. Detemine: a) l campo eléctico ceado po esta distibución de cagas en el punto A de coodenadas (,0). b) l potencial en el citado punto A y el tabajo necesaio paa lleva una caga de μc desde dicho punto hasta el oigen de coodenadas. Dato: Constante de la ley de Coulomb K x0 Nm C - 00-Junio A. Poblema.- Un electón, con velocidad inicial x0 m/s diigida en el sentido positivo del eje X, peneta en una egión donde existe un campo eléctico unifome y constante de valo 6x0-6 N/C diigido en el sentido positivo del eje Y. Detemine: a) Las componentes catesianas de la fueza expeimentada po el electón. b) La expesión de la velocidad del electón en función del tiempo. c) La enegía cinética del electón segundo después de peneta en el campo. d) La vaiación de la enegía potencial expeimentada po el electón al cabo de segundo de peneta en el campo. Datos: Valo absoluto de la caga del electón e,6 x 0 - C Masa del electón m e, x 0 - kg 00-Modelo Cuestión.- Se cea un campo eléctico unifome de intensidad 6x0 N/C ente dos láminas metálicas planas y paalelas ue distan ente sí, cm. Calcule: a) La aceleación a la ue está sometido un electón situado en dicho campo. b) Si el electón pate del eposo de la lámina negativa, con ué velocidad llegaá a la lámina positiva? Nota: Se despecia la fueza gavitatoia. Datos: Valo absoluto de la caga del electón e,6 x 0 - C Masa del electón m e, x 0 - kg 00-Septiembe Cuestión.- a) Defina las supeficies euipotenciales en un campo de fuezas consevativo. b) Cómo son las supeficies euipotenciales del campo eléctico ceado po una caga puntual? c) ué elación geomética existe ente las líneas de fueza de un campo consevativo y las supeficies euipotenciales? d) Indiue un ejemplo de campo de fuezas no consevativo. 00-Junio B. Poblema.- Un potón se encuenta situado en el oigen de coodenadas del plano XY. Un electón, inicialmente en eposo, está situado en el punto (,0). Po efecto del campo eléctico ceado po el potón (supuesto inmóvil), el electón se acelea. stando todas las coodenadas expesadas en μ.m, calcule: a) l campo eléctico y el potencial ceado po el potón en el punto (,0). b) La enegía cinética del electón cuando se encuenta en el punto (,0). c) La velocidad y momento lineal del electón en la posición (,0). Datos: Constante de la ley de Coulomb K x0 N m C - Valo absoluto de la caga del electón e,6x0 - C Página 6 de 7

7 jecicios Física PAU Comunidad de Madid nunciados Revisado 7 diciembe 0 Campo eléctico Masa del electón m e, x 0 - kg Constante de Planck h 6,6x 0 - J s 00-Junio B. Poblema.- Se tienen tes cagas situadas en los vétices de un tiángulo euiláteo cuyas coodenadas (expesadas en cm) son: A(0,), B(, ),C (, ) Sabiendo ue las cagas situadas en los puntos B y C son idénticas e iguales a μc y ue el campo el campo eléctico en el oigen de coodenadas (cento del tiángulo) es nulo, detemine: a) l valo y el signo de la caga situada en el punto A. b) l potencial en el oigen de coodenadas. Datos: Constante de la ley de Coulomb K x0 N m /C 00-Modelo A. Poblema.- Un electón es lanzado con una velocidad de x0 6 m/s paalelamente a las líneas de un campo eléctico unifome de 000 V/m. Detemine: a) La distancia ue ha ecoido el electón cuando su velocidad se ha educido a 0,x0 6 m/s. b) La vaiación de la enegía potencial ue ha expeimentado el electón en ese ecoido. Datos: Valo absoluto de la caga del electón e,6x0 - C Masa del electón m e, x 0 - kg 00-Septiembe B. Poblema.- Se tienen dos cagas puntuales sobe el eje X, -0, μc está situada a la deecha del oigen y dista de él m; 0, μc está a la izuieda del oigen y dista de él m. a) n ué puntos del eje X el potencial ceado po las cagas es nulo? b) Si se coloca en el oigen una caga 0, μc detemine la fueza ejecida sobe ella po las cagas y. Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacío K x0 N m C - 00-Junio B. Poblema.- Tes cagas positivas e iguales de valo μc cada una se encuentan situadas en tes de los vétices de un cuadado de lado 0 cm. Detemine: a) l campo eléctico en el cento del cuadado, efectuando un esuema gáfico en su explicación. b) Los potenciales en los puntos medios de los lados del cuadado ue unen las cagas y el tabajo ealizado al desplazase la unidad de caga ente dichos puntos. Datos: Constante de la ley de Coulomb en el vacío K x0 N m C Septiembe A. Poblema.- Los puntos A, B y C son los vétices de un tiángulo euiláteo de m de lado. Dos cagas iguales positivas de μc están en A y B. a) Cuál es el campo eléctico en el punto C? b) Cuál es el potencial en el punto C? c) Cuánto tabajo se necesita paa lleva una caga positiva de μc desde el infinito hasta el punto C si se mantienen fijas las otas cagas? d) Responde al apatado anteio c) si la caga situada en B se sustituye po una caga de - μc. Datos,: Pemitividad del vacío ε o 8,8 x 0 - N - m - C 000-Junio Cuestión.- Dos cagas puntuales e iguales de valo mc cada una, se encuentan situadas en el plano XY en los puntos (0,) y (0,-), espectivamente, estando las distancias expesadas en metos. a) n ué punto del plano el campo eléctico es nulo? b) Cuál es el tabajo necesaio paa lleva una caga unidad desde el punto (,0) al punto (-,0)? Página 7 de 7

8 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico Como los ejecicios se ponen en oden conológico inveso, añadi nuevos ejecicios al pincipio implica ecoloca todas las páginas posteioes con todos los diagamas; paa evitalo se intentan deja fijas las hojas finales y a veces se insetan espacios en blanco delibeadamente. 0-Modelo A. Pegunta.Realizamos un diagama paa visualiza mejo la configuación de cagas: a) Utilizamos el pincipio de supeposición paa calcula la expesión del potencial total ceado po las tes cagas V totalv V V 0 V K 0 00V ; AP ( 0) ( 0) m AP 0 V K 0 0 V ; BP ( ) ( 0) m BP V K 0 0 ; CP ( 0)( ) m CP V totalv V V μ C 0 b) Utilizamos el pincipio de supeposición paa calcula la fueza total. Llamamos a a la caga en el punto P. Lo podemos esolve de dos maneas euivalentes K u y ue u A. Utilizando la definición vectoial de la fueza eléctica F Calculamos el vecto u ue va de A a P, conociendo la distancia AP ya calculada antes 0 0 ( 7 0) F K u ( i j) i j u i j AP F,6 0 i,08 0 j N l vecto u ue va de B a P es j, y la distancia BP son m 0 ( 7 0 ) F K u 0 j F,7 0 j N BP l vecto u ue va de C a P es i, y la distancia CP son m 0 ( 7 0 ) F K u 0 i F 7 0 i N CP Sumando ambas tenemos Ftotal,6 0 i,8 0 j N B. Po tigonometía, calculando módulos y descomponiendo componentes x e y de cada vecto en función del ángulo α. n este caso α,º actg (/), cos(α)/0,6; sen(α)/0,8 F K AP 0 0 ( 7 0) u 7,6 0 N F x F cos (α)7,6 0 0,6,6 0 N F y F sen (α)7,6 0 0,86,08 0 N 0 0 ( 7 0 ) u,7 0 N BP 0 0 ( 7 0 ) F F K u 7 0 N x CP F F y K Tomando signos del diagama y sumando vectoialmente, llegamos al mismo esultado Ftotal,6 0 i,8 0 j N (También podíamos habe calculado pimeo el campo total en el punto P, y luego la fueza combinando el valo de campo y el de la caga en el punto P) Página de

9 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico 0-Septiembe B. Pegunta.a) Llamamos a la caga en P, a la caga en P, a la caga en P y a la caga en P. Realizamos un diagama. Po el pincipio de supeposición, el campo eléctico total seá la suma de los campos geneados po las cuato cagas. Po la simetía de la configuación, vemos ue el campo asociado a se anula con el campo asociado a. Paa ue el campo eléctico sea nulo en (0,0), el campo asociado a debe anulase con el campo asociado a. Como la distancia de los puntos P y P a (0,0) es la misma, la caga tiene ue tene el mismo valo ue μc. Po el pincipio de supeposición, el potencial eléctico total seá la suma de los potenciales geneados po las cuato cagas. Como las cuato caga son iguales y las distancias al punto también 0 V total (0,0) V (0,0) K 0,0 07 V R (0 ) (0 ) b) Po el pincipio de supeposición, el potencial eléctico total seá la suma de los potenciales geneados po las cuato cagas. Paa ue el potencial se anule, dado ue las cagas, y son positivas y geneaán un potencial positivo, la caga debe se negativa. V (0,0) V (0,0) K K μ C R R Po el pincipio de supeposición, el campo eléctico total seá la suma de los campos geneados po las cuato cagas. Realizamos un nuevo diagama. Tal y como se ha azonado en el apatado a, de nuevo los campos geneados po y se anulan ente sí. Sin embago, como ahoa es negativa, el campo geneado po y tienen ahoa el mismo sentido. Po la geometía de la configuación, las componentes x e y del campo son iguales: calculamos el módulo inicialmente 0 K 0 0 V /m R ( 0 ) ( 0 ) 6 0,7 00 V /m K 0 R (0 ) (0 ) Como tienen misma diección y sentido total 0,7 00,6 0 0 V / m Usando la geometía de la configuación, expesamos el campo vectoialmente: total (0,0),6 0 cos ( º ) i,6 0 sen( º) j V /m, 0 i, 0 j V /m 0-Junio B. Pegunta. a) l electón tiene caga negativa, y como F la fueza seá opuesta al sentido del campo, de modo ue según los sentidos del diagama seá fenado con una fueza constante, se detendá, y luego seá aceleado en el sentido opuesto al ue llegó, egesando a la posición x0 con el mismo módulo de velocidad. La velocidad final del electón seá en la misma diección peo sentido opuesto, po lo ue si v0 00 i m/s seá vf 00 i m/s No se pide, peo podemos calcula en ué punto se detendía, utilizando consevación de enegía. l campo siempe va diigido hacia potenciales menoes, po lo ue el potencial en punto final donde se detiene seá meno (tomamos V0) ue en el punto inicial de la egión, x0, donde seá V-d positivo, consideando d distancia ecoida positiva, y la expesión es una visión simple de -gad V paa el caso de ue el módulo del campo eléctico sea constante como indica el enunciado. Página de

10 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico Δ m0 Δ c Δ p0 m v Δ V 0 mv, 0 00 m v d d, m (,6 0 )( 8 0 ) b) F,6 0 ( 8 0 i ),8 0 7 i N F,8 0 7 i a 07 i m/s m, 0 Como tenemos la aceleación, podemos valida el cálculo de distancia ecoida hasta detenese, ya ue al se MRUA se cumple v-v0as. Velocidad, aceleación y sx-x0 tienen signo según el sistema de efeencia elegido. -Si consideamos el tamo en el ue es fenado (velocidad inicial negativa, velocidad final nula, aceleación positiva, y desplazamiento negativo) v ( 00) v v 0 as s 0, m Como sx-x0 y x00 m (empieza a detenese al a 07 enta en la egión con campo en x<0), tenemos ue x-, m al detenese. -Si consideamos el tamo en el ue es aceleado (velocidad inicial nula, velocidad final positiva, aceleación positiva, y desplazamiento negativo) v 00 v v 0 as, m Como sx-x0 y x0-, m, x0 m cuando vuelve a aduii a 07 de nuevo la velocidad; como no hay fuezas no consevativas egesa con la misma enegía cinética al mismo punto. Página de

11 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico 0-Modelo A. Pegunta.a) Como enunciado indica una caga puntual, compaamos la expesión con la de la ley de K u u K 0 C nc Coulomb K 0 0 B 0 d ' d ' [ ] ' ( ) ' F d ' b) W A B A 0 0 También podíamos habe planteado W-'ΔV y calcula potenciales. Igualando - 0-6'/0 '-0- C -0 μc 0-Septiembe A. Pegunta.- (Gauss en lámina infinita cagada: 00-Junio-Fase specífica-b-cuestión-b, 00-Modelo-B-Poblema) a) Realizando un diagama en el fijamos la lámina en el plano XY y asumimos caga positiva, podemos compoba como, al se la lámina plana e infinita, la contibución del campo en un punto conceto de la caga existente en cualuie difeencial de supeficie, siempe genea un campo cuya componente paalela al plano XY siempe puede se cancelada po la componente paalela al plano XY del campo geneado po la caga existente en oto difeencial de supeficie situado de manea simética especto a la poyección del punto sobe el plano de caga. Po lo tanto podemos conclui ue el campo seá pependicula al plano, en la diección del eje z, y podemos elegi como supeficie gaussiana una supeficie ceada ue tenga dos caas planas a una distancia d del plano, conectadas po una supeficie pependicula al plano. jemplos podían se un pisma o un cilindo: la foma de las secciones planas de la supeficie es indifeente. Aplicando Gauss a esta supeficie d S d S d S ) Σε Φ c d S ( B A S CaaSupeio CaaInfeio CaasLateales 0 Como en las caas lateales el campo y el vecto supeficie son pependiculaes, su poducto vectoial es ceo, tomando una supeficie de las caas supeioes e infeioes muy peueña po lo ue vecto campo seá unifome en toda ella, y teniendo en cuenta ue po simetía seán iguales en módulo, podemos escibi S Σ Paa calcula la caga enceada, como σ σ S Φ c ds ε0 CaaSupeio S S S σ ε0 σ Sustituyendo ε0 n esta expesión es notable ue el campo no depende de la distancia a la ue estemos de la lámina: si estamos muy ceca las componentes pependiculaes de los puntos de la placa cecanos son más intensas, peo las contibuciones de los puntos lejanos tienen meno componente pependicula a la lámina, mientas ue si estamos muy lejos, las componentes pependiculaes de los puntos de la placa cecanos son menos intensas, peo las contibuciones de los puntos lejanos tienen mayo componente pependicula a la lámina. b) Tal y como se ha azonado en el apatado a, el campo eléctico es constante en el exteio de la B gad V, V A V B A lámina. l campo y el potencial están elacionados, d. Si los dos puntos están sepaados una distancia d en diección pependicula al plano cagado, al se el campo eléctico de módulo constante y pependicula al plano, se llega a V A V B d σ d. Paa expesalo con signo tenemos ue aclaa la posición elativa de A ε0 y B: asumiendo ue B es más lejano a la placa ue A, como el campo va diigido hacia el exteio Página de

12 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico σ de la placa, tendemos V A V B ε d 0 Si los dos puntos están sepaados una distancia d en diección paalela al plano cagado, al se el plano eléctico de módulo constante y pependicula al plano, ambos puntos estaían en una supeficie euipotencial, pependicula al vecto campo, y la difeencia de potencial seía nula. 0-Junio B. Pegunta.a) Si ambas cagas se epelen tienen el mismo signo. Si la suma es positiva, ambas tienen signo positivo. F K 0 8, 0 0, Sustituimos (6 0 )8, 0 0 8, ± (6 0 ) (8, 0 ) 6 0±6, 0 7,68 0 C, 0 C Los dos esultados son válidos y están asociados las dos cagas y. b) n el punto medio de la ecta ue une ambas cagas los vectoes campo eléctico tendán sentidos opuestos, ya ue ambas cagas tienen el mismo signo y se epelen, peo no tendán el mismo módulo, ya ue aunue la distancia de las dos cagas a ese punto sea la misma, no lo son los valoes de la caga. Tomamos unas posiciones abitaias en el eje X paa da el esultado (las cagas podían esta invetidas especto a esta elección peo el planteamiento seía similai): suponemos ue, C está en el oigen de coodenadas, y, 0-6 C en x0, m l campo en el punto medio, x0, m K/ 0,68 0-6/0,, 06 N/C (diigido hacia x positivas) K/ 0, 0-6/0, 06 N/C (diigido hacia x negativas) Utilizando el pincipio de supeposición, el campo total seá 6 6 (, 0 0 ) i 0 i N /C Al esta ambas cagas a la misma distancia, el campo total tiene el sentido de la caga mayo. 0-Modelo B. Pegunta.a) Paa aplica el teoema de Gauss utilizamos como supeficie una esfea concéntica con el cento de la esfea maciza no conductoa, con adio R de modo ue pasa po el punto en el ue ueemos calcula el campo. Po la simetía del poblema el campo seá siempe pependicula a la supeficie elegida, tendá el mismo módulo en toda la supeficie, y al se positiva la caga contenida el campo estaá diigido hacia el exteio de la esfea. Σ S d S ε0 Se nos da como dato K π ε0 d S π K π K K xpesión idéntica a la de una caga puntual. S π 0 0,6 0 V /m Paa R ( 0,) l potencial tiene la misma expesión ue paa una caga puntual 0 0 VK, 0 V 0, b) Utilizamos el pincipio de consevación de la enegía mecánica. Posición inicial. p0 (posición muy lejana), c m v 0 0 (0 ), 0 J. Posición final. pk/k/; c0 (se paaá) Igualando ambas Página de

13 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico (0) 0 0 0,6 m, 0 0-Septiembe A. Pegunta.- (Cieta similitud con 00-Septiembe-B.Poblema ) a) Realizamos un diagama con las cagas, donde se ve ue ambas cagas están situadas en el eje X. Utilizando el pincipio de supeposición el potencial ceado po ambas cagas es la suma de los potenciales ceado po cada una de ellas, po lo ue, si tomamos un punto X genéico de coodenada x (po se genéico no asumimos situado ente ambas cagas, si asumimos situado ente ambas cagas la esolución es más sencilla). La distancia ente x y seá --x : puede ue esté situado a la izuieda o a la deecha de X. La distancia ente x y seá x- : puede ue esté situado a la izuieda o a la deecha de X VVVK/ K/ K( 0-/ --x (- 0-)/ x- ) Si igualamos a ceo: 0-/ --x 0-/ x- x- --x Dividimos po x- --x Paa asigna valoes debemos contempla las casuísticas de cada uno de los dos valoes absolutos, teniendo en cuenta sus popiedades: a a si a>0, y a -a si a<0 -Caso : (x->0 y --x>0 x> y x<-): puntos X ue cumplen ambas condiciones no existen -Caso : (x->0 y --x<0 x> y x>-): punto X de ambas condiciones en intevalo (-, ) x-(x) -x x- m. No existe solución en ese intevalo -Caso : (x-<0 y --x<0 x< y x>-): punto X de ambas condiciones en intevalo (-,), ente ambas cagas -x(x) -x- x/ m. -Caso : (x-<0 y --x>0 x< y x<-): punto X de ambas condiciones en intevalo (-, ) -x(--x) x- m Las soluciones son los puntos del eje x (línea ue une las cagas) con coodenadas x- m y x/ m. Podemos compoba ue el potencial eléctico es nulo: V(x-)K( 0-/ - (- 0-)/ -- )K( 0-/ (- 0-)/8)0 V V(x/)K( 0-/ --/ (- 0-)/ /- )K( 0-/(/) (- 0-)/(8/))0V Nota: salen dos puntos y apatado b indica ese punto singula. nunciado apatado a dice punto de la línea ue las une, no explícitamente ente ellas. b) Según el apatado a) el potencial ceado po ambas cagas es nulo. Utilizamos solamente el punto x/ m. ue el potencial sea nulo no implica ue el campo total sea nulo (tal y como está edactado el enunciado, asumimos ue se pide solamente el campo total). Utilizando el pincipio de supeposición, el campo seá la suma de ambos campos. Sin utiliza vectoes ya ue están las fuezas en el eje X, sí tenemos en cuenta el signo paa indica el sentido. seá positivo ya ue es positiva y el punto está a su deecha. seá positivo ya ue es negativa y el punto está a su izuieda. K /K / 0 ( 0-/(/) ( 0-/(8/)), 07 V/m 0-Junio A. Pegunta.a) Siendo la velocidad hacia x positivas, la fueza es de fenado estaá diigida hacia x negativas., dado ue la caga del electón es negativa, el campo eléctico está diigido hacia Como F x positivas, en el mismo sentido ue la velocidad. Podemos plantea la consevación de la enegía mecánica: inicialmente antes de enta solo tiene enegía cinética y al fenase completamente solamente tiene enegía potencial del campo eléctico. Como es un campo eléctico unifome y -gad(v), en el eje x podemos plantea -ΔV/Δx Po definición el potencial es la enegía potencial eléctica po unidad de caga, po lo ue, 0 0 Página 6 de

14 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico, 0 ( 06 ) m v mv Δ V Δ x,6v /m Δ x (,6 0 ) 0,,6 i V /m Vectoialmente b) Po el teoema de las fuezas vivas ya ue sólo actúa la fueza del campo eléctico WΔc, y al mismo tiempo po definición de negía potencial W-Δp; en este caso Δc-Δp ya ue ΔcΔp0 al consevase la enegía mecánica. W-Δp-ΔV- (-Δx)-(-,6 0-) (-,6 0,)-,8 0-8 J l tabajo es negativo, y podemos ealiza algunas validaciones cualitativas: -La vaiación de c es negativa: c final0, c inicial > 0, luego la vaiación es negativa. -l tabajo es negativo ya ue la vaiación de p es positiva (es mayo en punto final), y paa cagas negativas, se tiende a potenciales mayoes ya ue implican menoes enegías potenciales, el campo está diigido siempe hacia potenciales menoes. -Si planteásemos tabajo como integal del poducto escala de fueza del campo y desplazamiento, tienen sentidos opuestos y apaeceía un signo menos en su poducto escala. l tabajo se ealiza conta el campo, en sentido opuesto al ue el campo llevaía la patícula, y po eso está aumentando la p de la patícula, ue luego se podá ecupea: egesaá po donde ha venido y volveá a sali de la zona en la ue penetó con la misma c (el campo ha consevado la enegía), peo sentido opuesto. 0-Modelo A. Pegunta.a) Utilizando el pincipio de supeposición Ftotal F F Lo podemos esolve de dos maneas euivalentes A. Utilizando la definición vectoial de la fueza K u y ue u eléctica F l vecto unitaio ue va de a es el vecto j y la distancia ente ellas es L 0 0 ( 0 ) F K j j L, F,6 0 7 j N Calculamos el vecto u ue va de a, calculando L i L j i j la distancia ente ellas utilizando Pitágoas es u L L 0 0 ( 0 ) F K u ( i j), 0 8 i, 0 8 j N L, Sumando ambas tenemos Ftotal, 0 8 i, 0 7 j N B. Po tigonometía, calculando módulos y descomponiendo componentes x e y de cada vecto en, no es necesaio función del ángulo α. n este caso α º actg (), cos(α)sen(α) descompone F, y F x F y ya ue el ángulo es de º. 0 0 ( 0 ) cos º ( ), 0 8 F x F y K L, Tomando signos del diagama y sumando vectoialmente, llegamos al mismo esultado Ftotal, 0 8 i, 0 7 j N b) Llamamos punto A al punto del apatado A, y volvemos a utiliza pincipio de supeposición paa las enegías potenciales. Página 7 de

15 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico W A P Δ p ( p (P) p ( A)) P,,, m,7 m ; P, m p ( P) p ( P, ) p ( P, ) K K P P p (P) 0 0 ( 0 ) ( ), 0 7 J,7, A, m; A,,, m,7 m p (A) p (A, ) p ( A, )K K A A p (A) 0 0 ( 0 ) ( ), 0 7 J,,7 W A P0 J l tabajo es nulo ya ue en ambos puntos tiene la misma enegía potencial, y son fuezas consevativas. Cualitativamente podemos pensa ue duante pate del tayecto seá el campo uien ealice el tabajo, y duante ota pate habá ue ealiza tabajo de manea extena al campo, siendo el esultado neto nulo. 0-Septiembe-Coincidentes A. Cuestión.a) No se puede afima, ya se pueden pone al menos un ejemplo de situación en la ue pueden hace ue el flujo sea nulo sin se el campo eléctico nulo. d S, y pecisamente po la ley La definición de flujo a tavés de una supeficie ceada es S de Gauss está elacionado con las cagas existentes en el inteio. Si el flujo en la supeficie ceada es nulo, la caga neta existente en el inteio es nula, y puede ocui de dos maneas: jemplo : La caga neta es nula poue no hay cagas en el inteio, peo el campo eléctico es unifome: ente las placas de un condensado. Si la supeficie ceada es un cubo y el campo eléctico unifome es paalelo a cuato de sus caas, la integal se puede descompone en la suma de 6 integales, una po cada caa del cubo, y cuato de esas integales seían nulas ya ue el campo seía paalelo a la supeficie. Paa las otas dos caas, las integales tendían el mismo valo numéico peo distinto signo, po lo ue el flujo total seía nulo. nlaza con la definición cualitativa de ue el flujo a tavés de una supeficie es una medida del númeo neto de líneas de campo ue la ataviesan, y como en este caso entan tantas como salen, s0u flujo es nulo jemplo : La caga neta es nula poue hay cagas en su inteio, peo el valo de las cagas positivas es igual al valo de las negativas. l caso más sencillo seían dos cagas, una positiva y ota negativa, ambas del mismo módulo (seía simila al apatado b, si el valo numéico coincidiese). n ese caso, se puede visualiza, a tavés de las líneas de campo, ue el campo esultante no es nulo en toda la supeficie de la esfea. b) Utilizando la ley de Gauss, la esfea enciea a su inteio las dos cagas (ealmente están en el bode de la esfea, peo las suponemos puntuales y ue las contiene la esfea) Σ S d S Φ ε0 Como se nos da como dato K π ε0 (unidades K y /ε0 coinciden) Φ π 0 ( 0 8 0),7 0 [ N m C ][V m] (Ojo: Wb es paa magnético) B. Cuestión.a) Dibujamos el diagama de fuezas. Utilizamos el pincipio de supeposición paa calcula la fueza F F esultante F esultante Podemos esolve de dos maneas euivalentes: A. Utilizando la definición vectoial de fueza eléctico K ' u y ue u F l vecto ue va de a es 0, i y el vecto unitaio i Página 8 de

16 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico 0 0 ( 0 ) i,6 0 i N 0, 0, i 0, j y el vecto unitaio i j l vecto ue va de a es 0 0 ( 0 ) F K u ( i j),8 0 i, 0 j N 0,, 0 i, 0 j N Sumando vectoialmente: F esultante B. Po tigonometía, calculando módulos y descomponiendo componentes x e y de cada vecto en, no es necesaio F. función del ángulo α60º en este caso, con cos(α) ½ y, sen(α) 0 0 ( 0 ),6 0 N F K 0, 6 6 F F cos 60º,8 0 N ; F F sen 60º, 0 N ; F K u x y Tomando signos del diagama y sumando vectoialmente, llegamos al mismo esultado b) Llamamos A al punto ue se encuenta a inicialmente, epesentado en el diagama W A Δ p Δ V (V V A ) V Atotal Aplicando supeposición, y teniendo en cuenta ue las cagas y son idénticas y su distancia al punto A es la misma 0 V A total V A V A K K 0 60V 0, Sustituyendo paa obtene el tabajo en la expesión anteio W A 0 60,8 0 J l tabajo es negativo, luego debe se ealizado extenamente al campo, no lo ealiza el campo. Cualitativamente podemos ve ue estamos alejando una caga negativa de dos cagas positivas. 0-Septiembe B. Poblema.a) Utilizando el pincipio de supeposición, como se puede ve en el diagama T K i K j 0 7, 0 0,0 0 T i j i j N /C V T V V K K b) 0 7, 0 0,0 0 VT 6 V c) La distancia ente el oigen y el punto (,) es de m V T V V V K K K 0 0 0, 0 C 0 d) Cualitativamente se ve ue tiene ue se una caga negativa paa compensa el campo geneado po las otas dos cagas calculado en apatado a. Se puede hace po tigonometía o utilizando la definición K u y ue u vectoial de campo eléctico l vecto ue va de a (,) es i j y la distancia ente ellas es m Página de

17 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico 0 ( i j) K u Paa ue el campo sea nulo, la suma vectoial del campo geneado po las dos pimeas cagas y calculado en apatado a y el de esta nueva caga debe se nulo, po lo ue 0 ( i j) T ; i j, 0 C 0 l esultado de apatado c y d coinciden, aunue el hecho de ue el potencial eléctico (magnitud escala) en un punto sea nulo no implica necesaiamente ue el campo (magnitud vectoial) sea también nulo. 0-Junio-Coincidentes A. PobIema.a) Llamamos a la caga en (,0), a la caga en (-,0), a la caga en (0,-), y P al punto (0,). Utilizando el pincipio de supeposición total Po simetía podemos ve ue la componente x del campo geneado po y po se cancela, y ue su componente y tendá el mismo módulo paa ambas. Podemos esolve de dos maneas euivalentes: K u y ue u A. Utilizando la definición vectoial de campo eléctico l vecto ue va de a P es i j y la distancia ente ellas es m 0 0 ( i j) K u P,6 i 0,8 j N /C l vecto ue va de a P es i j y la distancia ente ellas es m 0 0 ( i j) K u P,6 i 0,8 j N /C l vecto ue va de a P es j y la distancia ente ellas es m (vecto unitaio es vecto j) 0 ( 0 ) K u j, j N /C P total ( P)( 0,8,) j,6 j N / C B. Po tigonometía, calculando módulos y descomponiendo componentes x e y de cada vecto en función del ángulo α. n este caso α actg (½) 6,6º, cos(α), sen(α), no es necesaio descompone, no calculamos la componentes x ue se cancelan, y po simetía y y 0 0 K sen 6,6 º 0,8 N /C y y Tomando signos del diagama y sumando vectoialmente, llegamos al mismo esultado Paa el potencial eléctico aplicamos también supeposición. 0 0 V K V Po simetía V V P 0 ( 0 ) V K V P Página 0 de

18 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico V total (P) V b) Calculamos el potencial eléctico en el oigen, de manea simila a apatado a, peo sin detalla tanto los pasos ( 0 ) V total (oigen), 8 V Una caga positiva es movida po el campo hacia potenciales menoes: como está en eposo sólo se moveá si hay un pozo de potencial: si ente ambos puntos hubiea un potencial constante o una baea de potencial, no se moveía clásicamente. l potencial de las cagas y pasa de V en P a, V en el oigen: cece ya ue la distancia a las cagas disminuye y tiene signo positivo. l potencial de la caga pasa de - V en P a -8 V en el oigen: decece ya ue la distancia a las cagas disminuye peo tiene signo negativo. Calculamos el potencial en un punto intemedio P' (0, 0,) ( 0 ) V total ( P ' ),7,6V, 0, l potencial en un punto intemedio es mayo (númeo negativo de meno valo absoluto), luego hay una baea de potencial y la caga no llega al oigen de coodenadas. Si hubiea habido un pozo de potencial en luga de una baea, al se fuezas consevativas se consevaía la enegía, y como patía del eposo, hubiea llegado al oigen con enegía cinética nula. 0-Junio B. Poblema.a) No se dice explícitamente peo consideamos ue el conducto está en euilibio, po lo ue la caga eléctica se distibuye en su supeficie. Paa calcula el campo eléctico utilizamos el teoema de Gauss, tomando como supeficie una esfea centada en el cento del conducto esféico y de adio igual a la distancia a los puntos de los ue ueemos conoce el valo del campo. Utilizando la simetía esféica y la fómula de supeficie de la esfea gaussiana podemos plantea el teoema de Gauss en este caso Σ Σ Φ c d S ε d S π ε S 0 S 0 Paa puntos inteioes a la esfea, al esta la caga distibuida en su supeficie de la esfea, la caga inteio a la supeficie gaussiana es nula y también lo seá el campo. Paa puntos exteioes a la esfea, la caga inteio a la supeficie gaussiana seá y tendemos ue K, ue es euivalente a si toda la caga fuese puntual situada en el oigen de π ε0 coodenadas en el ue está centado la esfea. ( cm)0 N /C Po lo tanto ( cm)k u 0 0 u 000 u N / C 0, l campo es un vecto, po lo ue indicamos, además de módulo, diección y sentido: seá adial y hacia el exteio. K 0 0 b) l punto indicado es la supeficie de la esfea V 0 V 0, Nota: n ese punto hay una discontinuidad paa el campo, ue es ceo en el inteio y tiene valo en el exteio, peo campo nulo no uiee deci potencial nulo. De hecho como el campo es nulo en el inteio de la esfea, en toda ella el potencial es constante e igual al potencial en la supeficie. K 0 0 c) l punto indicado es en el exteio de la esfea V 00 V 0, d) Llamamos A al punto ue se encuenta a 0 cm de la esfea 7 W A Δ p Δ V (V A V ) V A J l tabajo es negativo, luego debe se ealizado extenamente al campo, no lo ealiza el campo. Cualitativamente podemos ve ue la esfea está cagada positivamente y ueemos aceca una Página de

19 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 Campo eléctico caga positiva. 0-Modelo A. Poblema.Solución 00% idéntica a 00-Modelo-A-Poblema. 00-Septiembe-Fase specífica A. Cuestión.a) Llamamos a la caga situada en (0,8), a la situada en (6,0) y O al oigen de coodenadas. Realizamos un diagama, donde cualitativamente podemos azona ue como ambas cagas son positivas, el campo tendá ambas componentes negativas. Como ambas cagas tienen el mismo valo, seá algo mayo la componente asociada a la caga más cecana,., ue está en eje x. (O) Utilizando el pincipio de supeposición Resolvemos utilizando la definición vectoial de campo eléctico K u y ue u. l vecto ue va de a O es 8 j y la distancia ente ellos es 8 m. l vecto ue va de a O es i y la distancia ente ellos es 6 m. (O)K ( j) K ( i ) 8 6 (O) 0 0 j 0 0 i 6 6 (O) 00 i 8, j N /C A nivel infomativo, su módulo es 00 8,7,67 N /C y el ángulo ue foma con el eje x es actg ( 8, /00),6 º b) W P O Δ p Δ V (V O V P ) Utilizamos el pincipio de supeposición paa los potenciales. Como es el punto medio ue une ambas cagas, podemos calcula la distancia ente ambas, ue es m, luego la mitad es m. También podíamos calcula como ( 0) ( 8) ( ) ( 0) V total (O)K K V V total (P )K K V W P O ( V O V P ) 0 (0 700),8 0 J Tabajo positivo, ealizado po el campo: estamos desplazando una caga positiva hacia potenciales menoes, la estamos alejando de cagas positivas. 00-Junio-Coincidentes A. Poblema.Realizamos un diagama en el ue epesentamos posiciones, vectoes ue van de caga a punto donde vamos a calcula el campo, y vectoes campo. Tomamos el oigen de coodenadas en el punto medio ente los dos vétices ue tiene cagas, y el eje x en la línea ue las une. Llamamos a la caga situada en x negativas y a la caga situada en x positivas, y a la caga a coloca en el oigen. Tomamos el lado del tiángulo como la unidad (usa valo a no modifica el esultado) a) Cualitativamente se puede ve como en el tece vétice el campo eléctico geneado po las dos pimeas cagas estaá diigido hacia y positivas, y seá necesaio ue la caga a Página de

20 jecicios Física PAU Comunidad de Madid Soluciones Revisado mazo 0 coloca en el oigen sea negativa. Podemos esolve de dos maneas euivalentes: K u y ue u A. Utilizando la definición vectoial de campo eléctico l vecto ue va de al tece vétice es 0, i j y la distancia ente ellos es m. l vecto ue va de al tece vétice es 0, i j y la distancia ente ellos es m. l vecto unitaio ue va de al tece vétice es j y la distancia ente ellos es T K (0, i j) K ( 0, i j) K Campo eléctico ( ) m. ( j)0 Las componentes x se cancelan ya ue. Paa las componentes y 0 0, 0 C B. Po tigonometía, calculando módulos y descomponiendo componentes x e y de cada vecto en función del ángulo α. n este caso α 60, cos(α) 0,, sen(α) /, no es necesaio descompone, y po simetía se ve ue y se cancelan. K sen60ºk T 0 y K K, 0 C ( ) Tomando signos del diagama y sumando vectoialmente, llegamos al mismo esultado b) VT0V VV K/ K/ K/ ; Como y,7 0 C 00-Junio-Fase Geneal B. Poblema.a) Llamamos O al oigen de coodenadas. (O) Utilizando el pincipio de supeposición Realizamos un diagama donde epesentamos posiciones, vectoes ue van de caga a punto donde vamos a calcula el campo, y vectoes campo según el signo de cada caga. Podemos esolve de dos maneas euivalentes: A. Utilizando la definición vectoial de campo eléctico K u y ue u l vecto ue va de a O es j y la distancia ente ellos es m. l vecto ue va de a O es i j y la distancia ente ellos es m. l vecto ue va de a O es i y la distancia ente ellos es m. ( i j) (O)K ( j) K K ( i ) ( 0 ) 0 0 (O) j ( i j) i Página de