Física 2.⁰ Bachillerato. SOLUCIONARIO. Campo eléctrico

Transcripción

1 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Campo eléctico 35

2 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Campo eléctico PARA COMENZAR Cómo puede inducise caga eléctica en el suelo situado bajo las nubes de una tomenta? Elaboa un esuema paa ilustalo. La mateia ue foma las nubes puede electizase. Entonces, cuando la pate baja de una nube aduiee caga eléctica de un tipo, el suelo puede electizase con caga del tipo opuesto. Cómo se mueven las cagas elécticas cuando hay otas cagas elécticas ceca? Las cagas elécticas positivas se sienten ataídas po las cagas elécticas negativas y se sienten epelidas po las cagas elécticas positivas. Así, el movimiento de una caga en pesencia de ota es un movimiento aceleado, puesto ue existe una fueza neta sobe la caga. ACTIVIDADES. Calcula a cuántos electones euivalen,5 nc y,5 C. Dato: e,6 0 9 C. Usando las convesiones adecuadas: 9 0 C e 0,5 nc,56 0 e 9 nc,6 0 C 6 0 C e,5 C 7,90 e 9 C,6 0 C. Calcula la fueza gavitatoia y la electostática ente dos potones sepaados cm. Si tenemos dos electones sepaados una distancia d, detemina la elación ente ambas fuezas. Datos: k N m C ; G 6,67 0 N m kg ; p,6 0 9 C; mp, kg; e,6 0 9 C; me 9, 0 3 kg. La fueza gavitatoia es: 7 m m,67 0 kg Nm 60 G G F 6,67 0,86 0 N kg 0,0 m 36

3 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Y la fueza eléctica es: 9 k,6 0 C 9 Nm 4 E F 9 0,3 0 N C 0,0 m Obseva ue la fueza eléctica es mucho mayo ue la fueza gavitatoia. Aplicamos de nuevo las leyes de Newton y de Coulomb: m m FG G Dividiendo ambas expesiones: k FE d F m G m G d Nm F k E ,6 0 C k C G m 3 m Nm 6,670 9,0 kg kg 4, En el átomo de hidógeno el electón se encuenta a una distancia apoximada de 5, 0 m del potón, ue se encuenta en el núcleo. Calcula la fueza electostática y gavitatoia con ue se ataen. Nota: utiliza los datos del poblema anteio. La fueza eléctica ente ambos es: La fueza gavitatoia ente ambos es: 9 p e 9Nm 8 E k F,6 0 C 9 0 8,5 0 N C 5,0 m m m Nm,67 0 kg 9,0 kg 6,67 0 3,75 0 N kg 5,0 m 7 3 p e 47 G G F 4. Tenemos un cuadado de m de lado. Considea ue en cada uno de sus vétices hay situada una caga puntual de nc. Calcula: a) La intensidad del campo eléctico en el cento del cuadado si las cagas situadas en los vétices supeioes son positivas y las situadas en los vétices infeioes son negativas. b) Si se colocan las cagas positivas y negativas altenativamente en los vétices del cuadado, cuál seía, en este caso, el campo en el cento del cuadado? Dato: k N m /C. a) En el cento del cuadado el campo estaá diigido hacia abajo, puesto ue las dos cagas supeioes cean campos de la misma intensidad y po la simetía del poblema sus componentes hoizontales se anulan sumándose solamente las componentes veticales. Algo paecido ocue con las cagas infeioes, de modo ue el campo total seá cuato veces la componente vetical ue cea una de las cagas. La intensidad del campo eléctico en un punto es la fueza ue el cuepo de caga Q ejece po cada unidad de caga positiva colocada en ese punto. Es una magnitud vectoial cuyo módulo viene dado po la expesión: E F Q E k El ángulo ue cea cada campo con el eje vetical es de 45. Po tanto: 9 o 9 Nm 0 C o E 4k cos cos 45 8 N/C C m m

4 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Po tanto, el vecto intensidad del campo eléctico seá: E 8 j N/C. b) Si las cagas se colocan en los vétices altenativamente, en el cento los campos se compensan po completo dos a dos, po lo ue en el cento del cuadado el campo total seá nulo En los vétices de la base de un tiángulo euiláteo se han colocado dos patículas puntuales iguales y de signo contaio:,5 C y,5 C. Sabiendo ue la altua del tiángulo es de 3,5 cm, detemina el vecto campo eléctico E (módulo, diección y sentido) en el punto A situado en el vétice supeio del tiángulo. Dato: k /(4 0) N m C. Po la simetía del poblema vemos ue una de las componentes del campo eléctico ceado po una caga se anula con la componente ue cea la caga opuesta. En el dibujo, las componentes veticales se compensan y el campo total ceado seá solamente hoizontal, diigido hacia el lado en ue se encuenta la caga negativa. El módulo ue cean ambas cagas es el mismo, puesto ue el punto euidista de las dos cagas y las cagas tienen el mismo valo numéico. Además, como el tiángulo es euiláteo se deduce ue el ángulo ue foma cada una de las componentes con la hoizontal es de 60. El campo total seá entonces el doble de la componente hoizontal de campo ue cea una de las cagas: 6 o 9Nm,50 C o 7 E k cos cos 60,0 0 N C 3,50 m Po tanto, el vecto campo eléctico viene dado po la siguiente expesión: 7 E,0 0 i N/C. 6. Tenemos tes cagas elécticas puntuales de 0 6 C cada una colocadas en tes de los cuato vétices de un cuadado de lado L. a) Calcula la intensidad del campo en el vétice libe. b) Si colocamos una caga de C en el vétice ue ueda libe. Detemina el módulo, diección y sentido de la fueza del campo electostático sobe dicha caga. Datos: k N m C ; L 3 m. a) En el vétice se supeponen tes campos. El ue ocasiona la caga del vétice opuesto, ue tiene la diección ue une el vétice con dicha caga. Los ue povocan las cagas algo más cecanas. Estos dos campos, al combinase, poducen un campo ue tiene la misma diección y sentido ue el campo ue povoca la caga del vétice opuesto, tal y como se apecia en el dibujo. 38

5 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Po tanto, el campo total en el vétice donde no hay caga se puede calcula sumando estos dos campos. La diección seá, tal y como se ha epesentado en la figua, fomando 45 con el eje hoizontal, y apuntando hacia abajo a la deecha. El campo ue cea la caga más lejana es: E k N/C 6 9 Nm 0 C C 3 m 3 m Las cagas y 3 cean campos del mismo módulo, ya ue tienen el mismo valo ( = 3) y se encuentan a la misma distancia ( = 3). Po tanto: E E k N/C Nm 0 C 3 3 C 3 m Entonces, el módulo del campo ue cean las cagas y 3 en conjunto es: 3 E E 3 E E + E N/C 000 N/C 88,43N/C E E E Y podemos escibi el módulo del campo total en el vétice pedido como: ET E E N/C 88,43 N/C 388,43 N/C Po tanto, el vecto campo eléctico en el vétice pedido vendá dado po la expesión: E o o T 388,43 cos 45 i N/C 388,43 sen 45 j N/C 707, i N/C 707, j N/C b) Si ahoa colocamos una caga en ese punto, como conocemos el valo del campo es más sencillo calcula la fueza a pati del campo ue hacelo mediante la ley de Coulomb. Entonces ueda: F 6 E ET 4 0 C388,43 N/C 0,05 N El signo menos indica en este caso ue la fueza tiene sentido opuesto al campo, pues la caga es negativa. Es deci, la fueza apunta hacia la caga, situada en el vétice opuesto. Po tanto, el vecto fueza del campo electostático vendá dado po la expesión: F 6 E E T 4 0 C 707, i N/C 707, j N/C,0 i, 0 j N 7. En los puntos (, 0) m y (, 0) m del plano XY están situadas, como indica la figua, dos cagas elécticas puntuales de valo 40 nc, 0 nc. a) Detemina el vecto campo electostático en los puntos A (0, 0) m y B (0, ) m. b) En ué punto o puntos del plano se anula el campo? Datos: k /(4 0) N m C ; nc 0 9 C. a) En el punto A el campo ue cea la caga positiva es: E k N/C 9 9 Nm 40 0 C C m El campo ue cea la caga negativa seá la mitad en intensidad, pues la caga negativa tiene un valo ue es justo la mitad del valo de la caga positiva. Es deci: E 45 N/C 39

6 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Ambos campos tienen la misma diección y el mismo sentido, po lo ue el campo total estaá diigido en el sentido ue apunta hacia la caga negativa. Su valo es igual a la suma de los módulos de las intensidades de ambos campos: E E E 90 N/C 45N/C 35N/C Po tanto, el vecto campo vendá dado po la expesión: E 35 i N/C. En el punto B los campos ceados po ambas cagas tienen una intensidad meno, puesto ue B está más lejos ue A de ambas. El campo ue cea en B la caga positiva es: E k cos i sen j 90 cos i sen j 9 9 Nm 40 0 C C m m 45 N/C cos i sen j El campo ue cea en B la caga negativa es: E k cos i sen j 90 cos i sen j 9 9 Nm 0 0 C C m m,5 N/C cos i sen j El ángulo es de 45⁰, puesto ue: cos 45 Sumando ambos campos obtenemos el campo total en B: El módulo de este vecto es: ET E E 45 N/C cos i sen j,5 N/C cos i sen j 45 N/C,5 N/C cos i 45 N/C,5 N/C sen j 47,73 N/C i 5,9 N/C j ET 47,73 N/C 5,9 N/C 50,3 N/C b) Paa ue el campo se anule, ambos campos, los ceados po las cagas positiva y negativa, deben tene la misma diección y sentidos opuestos. Esto solamente ocue en la línea ue une ambos puntos. Peo no ente ambas cagas, puesto ue ahí los campos tienen el mismo sentido, ambos diigidos hacia la caga negativa. Así pues, supongamos ue el punto donde el campo total se anula está a la deecha de la caga negativa, a una distancia x de esta. Ahí el campo ue cea la caga, la positiva, estaá diigido hacia la deecha, y el ue cea la caga, la negativa, hacia la izuieda. Entonces, como la distancia ue sepaa ambas cagas es + = 4 m, podemos escibi: E k x El campo se anula si ambos módulos son iguales: E E k x x 4 x 4 x o ; E k x x k 9 x 4 x 40 0 C x 9 x 0 0 C 4 x 4 x 4 x 4 x 6 x x x 6 x x x x 6 0 Las soluciones de esta ecuación son: x 5, m ; x 3,m 40

7 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Solamente es válida la solución con x > 0, es deci x = 5, m, puesto ue habíamos supuesto ue el punto estaba a la deecha de la caga negativa. Y no habá un punto a la izuieda de la caga negativa poue en esa zona el campo ue cea la caga positiva siempe tendá un módulo mayo ue el ue cea la caga negativa, pues en esa zona la caga positiva, la mayo, está más ceca del hipotético punto donde se anulaía el campo. 8. Un campo electostático está ceado po una caga Q de 0 C situada en el oigen de coodenadas (0, 0). a) Halla el tabajo necesaio paa desplaza una caga de C desde el punto (, 0) m hasta el (6, 0) m. b) Si la caga a desplaza fuea de C, el tabajo necesaio seía mayo o meno ue ceo? Dato: k N m C. a) El tabajo necesaio seá igual a la difeencia de enegía potencial ente ambos puntos, puesto ue el campo electostático es un campo consevativo, es deci: W EP EP final EP inicial EP inicial EP final Vinicial Vfinal Qk inicial final Nm 0 C0 0 C90 0,03 J C m 6 m El signo negativo indica ue es un tabajo ue debemos ealiza; la caga no pasa espontáneamente desde la posición inicial a la final. b) Si la caga fuese meno ue ceo el tabajo seía positivo, puesto ue la caga ue cea el campo y ue está en el oigen de coodenadas es negativa. Esto uiee deci ue si soltamos la caga negativa en el punto señalado, se desplazaá espontáneamente sepaándose de la caga ue se encuenta en el oigen de coodenadas, pues apaece una fueza de epulsión al se ambas cagas del mismo tipo. 9. En los puntos A (3, 0) m y B (0, 4) m se colocan dos cagas,6 0 8 C y 0 8 C. a) Dibuja el campo eléctico ceado po cada caga y calcula el campo eléctico total en el oigen. b) Calcula el tabajo necesaio paa taslada la caga desde el punto A (3, 0) m hasta el punto (0, 0). Dato: k N m C. a) En el oigen el campo eléctico ue cea la caga, negativa, está diigido en la diección hoizontal y sentido hacia la deecha, hacia donde se encuenta la caga. El campo ue cea la ota caga está diigido alejándose de la caga positiva, es deci, es vetical con sentido positivo del eje de coodenadas. Po tanto, el campo total se calcula sumando vectoialmente ambos campos, po lo ue estaá diigido hacia la deecha y hacia aiba. La componente hoizontal tiene mayo módulo ue la vetical, puesto ue la caga negativa está más ceca y tiene un valo mayo, en valo absoluto, ue la caga positiva. Calculamos el valo de cada campo en el oigen de coodenadas. El ue cea la caga es: El ue cea la caga es: El campo total es: u 90 i 6 i N/C 8 9 Nm,6 0 C E k C 3 m 8 9 Nm 0 C E k C 4 m u 90 j 5,65 j N/C ET E E 6 i N/C 5,65 j N/C E E + E E 4

8 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO El módulo del campo total es: ET E E 6 N/C 5,65 N/C 6,96 N/C b) El tabajo necesaio seá igual a la difeencia de enegía potencial ente ambos puntos, puesto ue se tata de un campo consevativo, es deci: W EP EP final EP inicial EP inicial EP final Vinicial Vfinal k inicial final Nm 8,6 0 C 0 C90 7,0 J C 3 m 4 m 4 m El signo positivo del tabajo indica ue la caga se mueve de foma espontánea desde su posición inicial hasta el oigen de coodenadas. 0. Cuato cagas elécticas positivas, de, C cada una, se encuentan en los vétices espectivos de un cuadado de m de lado. Calcula: a) La enegía necesaia paa la fomación del sistema de cagas. b) El valo de la caga eléctica negativa ue hemos de situa al cento del cuadado paa ue la fueza electostática sobe cada una de las cagas sea nula. Dato: k N m C -. a) La enegía potencial de un sistema fomado po vaias patículas es la suma de la enegía de todas las paejas de patículas ue se puedan foma. Po tanto: E i j P T k ij ij k Como todas las cagas son iguales, y como la distancia de la a la es la misma ue de la a la 3, ue la de la a la 4 y ue la de la 3 a la 4, podemos escibi: E k 4 4 P T Y ahoa podemos sustitui paa calcula el valo pedido: E 4 Nm 4 m m 9 5 P T k C 4 C m 9Nm C 3,45 J C m 4 m b) Paa ue la fueza sobe cada caga sea nula, habá ue coloca en el cento del cuadado una caga negativa. Su valo debe se tal ue la fueza poducida po dicha caga negativa ha de se igual en módulo a la fueza total ue existe en cada vétice sobe cada caga. En cada vétice del cuadado la fueza sobe cada caga tiene la diección de la diagonal del cuadado, y el sentido es hacia fuea del cuadado. F4 F4 F4 F

9 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Po la simetía del poblema: Además: 5 9 Nm 0 C 4 34 F F k 90 0,45 N L C m 5 9 Nm 0 C 4 F k 90 0,5 N d C m m Además, la composición de las fuezas ue las cagas y 3 ejecen sobe la 4 tiene la misma diección y sentido ue la fueza ue la caga cea sobe la 4. Po tanto, el módulo de la suma de F4 y F34 es: F F F F F F 0,45 N Y entonces la fueza total ue sufe la caga 4 es: FT4 F4 F4 F4 0,5 N 0,45 N 0,86 N Este valo es también el de la fueza ue debe ejece una caga negativa situada en el cento del cuadado paa ue la fueza total sobe la caga 4 sea nula. Es deci: m d m F 0,5 N F k Q T4 Q4 T4 d k4 9Nm C C 6,5 0 C Y dada la simetía del poblema, todas las cagas sufen la misma fueza, con lo cual la fueza neta sobe cada caga seá nula si se coloca en el cento del cuadado una caga con valo,5 0 6 C.. En un punto del espacio tenemos una caga fija de C. Ota patícula de 0,5 g y C se aleja de la pimea. A ué distancia la velocidad de la patícula seá ceo, si a 0, m la velocidad es 5 m/s? En este caso el movimiento no es unifomemente aceleado. La fueza ue la caga fija ejece sobe la caga en movimiento no es constante, puesto ue la distancia ente ambas cagas va vaiando. Entonces la aceleación no seá constante y po consiguiente el movimiento no seá MRUA. La caga móvil se seguiá moviendo cieta distancia alejándose de la caga fija, se detendá al cabo de cieta distancia e invetiá el sentido de su movimiento con una aceleación cada vez mayo, puesto ue la distancia a la caga fija va disminuyendo. El poblema puede esolvese aplicando la consevación de la enegía. En la posición inicial, a 0, m de la caga fija, la caga móvil tiene enegía cinética y enegía potencial electostática. Cuando se paa, solo tiene enegía potencial electostática. Po tanto: En esta ecuación hay ue despeja : E E mv k 0 k mv k mv C 0 C kg 5 m/s 9 Nm 0, m 90 0,76 m 0 C 0 C C k 43

10 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO. Sea un campo electostático geneado po una caga puntual negativa,. Dados dos puntos, A más cecano a la caga y B más alejado de la caga. En cuál de los puntos el potencial seá mayo? El potencial ue cea una caga a cieta distancia viene dado po la siguiente expesión: Po tanto, paa cada punto: Restando ambas expesiones: V k VA k ; VB k A VA VB k k k A B A B Si B está más alejado ue A, y si la caga es negativa, entonces: V V 0 V V B A A B A B A B El potencial es mayo en el punto B, el más alejado de la caga. 3. Dos cagas puntuales de 0 nc están fijas y sepaadas 6 m como muesta la figua. Una patícula pasa po el punto A con una cieta velocidad en la diección OY negativo. Si la patícula tiene una masa de 60 g y su caga es de 5 C: a) Cuál debe se el módulo de la velocidad de la patícula al pasa po el punto A si al llega al punto B la velocidad es ceo? b) Haz un esuema cualitativo de las fuezas ue actúan sobe la patícula en el punto B. c) Qué ocuiá después de ue la velocidad de la patícula se anule al llega al punto B? Razona si la patícula: seguiá hacia C, se uedaá inmóvil o volveá hacia el punto A. a) En este caso el movimiento no es unifomemente aceleado. La fueza ue las cagas fijas ( y 3) ejecen sobe la caga en movimiento () no es constante, puesto ue la distancia ente las cagas va vaiando. Entonces la aceleación no seá constante y po consiguiente el movimiento no seá MRUA. El poblema puede esolvese aplicando la consevación de la enegía. En la posición inicial la caga móvil tiene enegía cinética y enegía potencial electostática. Cuando llega a B la velocidad es ceo, po lo ue ahí solo tiene enegía potencial electostática. Po tanto: EA EB mv k k k k B 3 3 A 3A B 3B Como las cagas y 3 son iguales ( 3 ) y A 3A A y B 3B B : k B A mv k k v m A B 9Nm C0 0 C C m 3 m 6 m 3 m 6,04 m/s 0,06 kg 44

11 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO b) En el punto B las cagas positivas fijas ejecen fuezas de epulsión sobe la caga móvil. Dada la simetía del poblema, las componentes hoizontales de ambas fuezas se compensan ente sí y solo ueda una componente vetical y hacia aiba ue hace ue la patícula móvil vaya fenando. c) Cuando la patícula llega al punto B su velocidad se anula, peo no su aceleación. En ese punto la fueza neta tiene diección vetical y hacia aiba, po lo ue la patícula móvil se moveá en diección vetical y hacia aiba, hacia el punto de donde venía. 4. Un dipolo eléctico es un sistema fomado po dos cagas iguales, peo de signos contaios. En la figua se muesta un dipolo cuyas cagas, sepaadas una peueña distancia, se sitúan siméticamente a ambos lados del oigen de coodenadas O. Indica si las siguientes afimaciones son vedadeas o falsas y azona la espuesta. a) El campo eléctico y el potencial en el oigen de coodenadas O son ambos iguales a ceo. b) El potencial eléctico en el punto P es negativo. c) El potencial eléctico en el punto P es igual a ceo, peo el campo eléctico no. d) El potencial eléctico en el punto P3 puede se positivo o negativo dependiendo del valo de las cagas. a) Falsa. El campo eléctico no es nulo, peo sí es nulo el potencial eléctico. b) Vedadeo, pues P está más ceca de la caga negativa. c) Vedadeo. Como P euidista de ambas cagas, el potencial eléctico es nulo, peo el campo eléctico no lo es poue los campos en P no tienen la misma diección. d) Falsa. En un dipolo las cagas son iguales. Po tanto, el potencial en P3 es positivo, pues la caga positiva está más ceca. Si se tuviese un sistema de cagas de difeente valo, entonces el potencial en P3 podía se positivo o negativo en función del valo de las cagas. 5. En el cento y en dos de los vétices de un cuadado de m de lado hay tes cagas de 0 C y 0 C espectivamente. Obseva la figua y calcula: a) El vecto intensidad de campo eléctico y el potencial eléctico en el punto A. b) El tabajo ealizado po el campo paa lleva una caga de C desde el punto A hasta el punto B. Dato: k N m C. a) Si el lado mide m, entonces la diagonal mide: d L L d L L m Y la mitad de la diagonal valdá: d m 45

12 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO El campo eléctico ue cea la caga cental, a pati de ahoa denominada, en el punto A está diigido hacia aiba a la deecha, fomando un ángulo de 45 con la hoizontal. Su valo es: 6 9 Nm 0 0 C o o E k u A k cos i sen j 90 cos 45 i sen 45 j A A C m E 3 89,8 i N/C 3 89,8 j N/C El campo eléctico ue cea la ota caga positiva, a pati de ahoa denominada, en el punto A está diigido hacia aiba a la deecha, fomando un ángulo de 45 con la hoizontal. Su valo es: 6 9 Nm 0 0 C o o E k u A k cos i sen j 90 cos 45 i sen 45 j A A C m E 7954,96 i N/C 7954,96 j N/C Se podía habe calculado teniendo en cuenta ue si la distancia se duplica el campo disminuye a la cuata pate. El campo eléctico ue cea la caga negativa, a pati de ahoa denominada 3, en el punto A está diigido hacia abajo. Su valo es: Nm 0 0 C 3 3A 3 3A 3A C m E k u k j 90 j E 500 j N/C El campo eléctico total en el punto A seá: ET E E E3 3 89,8 i N/C 3 89,8 j N/C 7954,96 i N/C 7954,96 j N/C 500 j N/C ,76 i N/C 7 74,76 j N/C Utilizando el pincipio de supeposición, el potencial seá el debido a la contibución de las tes cagas. Las tes cagas son iguales en módulo ( y 3 ), obtenemos: 3 VA VA VA V3A k k A A 3A A A 3A 9Nm C ,4 V C b) El tabajo paa taslada la caga puede calculase a pati de la enegía potencial del sistema en los puntos A y B. Ya sabemos el potencial en A. El potencial en B seá, análogamente: Entonces el tabajo pedido seá: 9Nm C 76 89,8 V C 3 VB VB VB V3B k k B B 3B B B 3B 6 W EP EPB EPA EPA EPB Q VA VB 0 C ,4 V 76 89,8 V 0,053 J 6. En los vétices de un tiángulo ectángulo están situadas tes cagas iguales, de 4 C cada una. Tomando de efeencia el ángulo ecto sobe el oigen de coodenadas, las posiciones de las cagas en cada vétices del tiángulo son A (0, 0), B (, 0) y C (0, 6) espectivamente. a) Calcula el módulo de la fueza ue ejecen las cagas situadas sobe los puntos B y C sobe la caga situada en el vétice del ángulo ecto. Realiza un esuema. b) Detemina el tabajo paa tanspota la caga situada en el vétice del ángulo ecto desde su posición hasta el punto medio del segmento ue une las otas dos. 46

13 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO a) La fueza ue ejecen las cagas situadas en B y C sobe la ue está en el oigen de coodenadas, A, es: F B A C A k i ; F k j B-A B-A Sustituyendo valoes: C-A C-A 6 9Nm 4 0 C 3 B-A F 9 0 i 0 i N C m 6 9Nm 4 0 C 4 C-A F 9 0 j 5,65 0 j N C 6 m C A B El módulo de la fueza neta seá: F FB-A FC-A 0 N 5,65 0 N,5 0 N b) El tabajo se calcula a pati de la enegía potencial en los puntos inicial (el vétice del ángulo ecto), a pati de ahoa denominado, y final (el punto medio del segmento de vétices B y C), a pati de ahoa denominado : 7. Contesta: W E E E E E V V P P P P P A Teniendo en cuenta ue A B C, el potencial en la posición inicial es: B C 9Nm 6 V VB VC k k C 550 V B C B C C m 6 m El potencial en la posición final es: B C V VB VC k k B C B C 9Nm C 700 V C 6 m 8 m 6 m 8 m Y sustituyendo en la expesión anteio: W V V 6 3 A 4 0 C 550 V 700 V 7,8 0 J El signo negativo indica ue es un tabajo ue debemos ealiza; la caga no pasa espontáneamente desde la posición inicial a la final. a) Pueden cotase ente sí las líneas de fueza de un campo eléctico? b) Si una patícula cagada se pudiese move libemente dento del campo eléctico, lo haía a lo lago de una línea de fueza del campo? Influye en algo ue la caga sea positiva o negativa? a) No. Si dos líneas de campo electostático se cuzaan, en el punto de cote había dos valoes del campo ue se difeenciaían, al menos, en su diección, ya ue, po definición, las líneas de campo son tangentes al vecto intensidad de campo en cada punto. Y entonces había dos valoes de la intensidad de campo en el mismo punto, lo cual es imposible. b) Sí, las patículas cagadas se mueven siguiendo las líneas del campo eléctico, independientemente de ue la caga sea positiva o negativa. 47

14 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO 8. Razona las espuestas: a) Dibuja en un mismo esuema las líneas de campo y las supeficies euipotenciales de una caga puntual positiva. b) Si se desplaza una caga de un punto a oto a tavés de una misma supeficie euipotencial, ué tabajo se ealiza? a) Respuesta gáfica. b) El tabajo seía nulo, puesto ue en todos los puntos de una supeficie euipotencial el potencial eléctico tiene el mismo valo, y el tabajo es igual al poducto de la caga po la difeencia de potencial ente ambos puntos. 9. Obseva la figua y contesta. a) El flujo ue ataviesa la esfea es el mismo en ambas situaciones? b) El campo eléctico en el punto P es igual en ambas situaciones? a) Sí, puesto ue en ambos casos la caga total enceada es la misma. b) No, puesto ue el campo eléctico sí depende de la distibución de caga. 0. Si el flujo neto ue ataviesa una supeficie ceada ue se sitúa en el inteio de un campo eléctico es ceo, pueden existi cagas elécticas en el inteio de dicha supeficie? Razona la espuesta. Sí; puede habe cagas positivas y negativas, peo la caga total neta debe se ceo.. Dos esfeas conductoas de C cada una se encuentan aisladas en el vacío. Las esfeas tienen un adio de 4 y 36 cm, espectivamente, y están sepaadas 0 m desde sus centos. Si ponemos en contacto las cagas mediante un hilo conducto ideal, se alcanza una situación de euilibio. Calcula: a) Qué fueza ejece cada caga sobe la ota cuando están aisladas? b) El potencial al ue se encuenta cada una de las esfeas antes de ponelas en contacto. c) Una vez ue se establece el euilibio, cuál es la caga y el potencial de cada esfea? Dato: k N m C. 48

15 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO a) La fueza ente ambas cagas se calcula mediante la ley de Coulomb: 9 9Nm 50 0 C 8 F k 90 5,65 0 N C 0 m b) El potencial de cada esfea aislada se puede calcula a pati de su caga y su adio: Nm 50 0 C V k V R 9 9 C 0,4 m Nm 50 0 C V k V R 9 9 C 0,36 m c) Al conectase las esfeas y establecese el euilibio los potenciales se igualan. Además, como la caga se conseva, la caga total es la suma de las cagas de ambas esfeas. Peo las cagas se edistibuyen hasta ue ambas esfeas aduieen el mismo potencial eléctico. Entonces podemos escibi: ' ' ' ' V V k k R R 0,4 m 0,36 m La consevación de la caga nos popociona la ecuación ue nos falta paa esolve el poblema: Nos ueda el siguiente sistema de ecuaciones: 9 ' ' 50 0 C ' ' 0,4 m 0,36 m 9 ' ' 50 0 C Despejamos de la pimea ecuación y sustituimos en la segunda: 0,4 m ' ' 0,4 m 0,4 m 0,36 m ' ' 50 0 C ' 50 0 C ,36 m 0,36 m ' ' 50 0 C C 8 ' 6 0 C 0,4 m 0,36 m Sustituyendo en la pimea ecuación obtenemos el valo de la ota caga: 0,4 m 0,4 m 0,36 m 0,36 m 8 8 ' ' 60 C 4 0 C El potencial eléctico de ambas esfeas, una vez ue se alcanza el euilibio, es el mismo. Lo calculamos a pati de estas nuevas cagas: 8 ' 9 Nm 4 0 C C 0,4 m V ' V ' k V R. Dos esfeas conductoas descagadas de adios R cm y R 4 cm, espectivamente, están sepaadas po una distancia mucho mayo ue sus adios y conectadas mediante un alambe conducto ideal. A continuación, se sitúa una caga puntual Q 00 nc sobe una de las esfeas. Calcula: a) El campo eléctico en la poximidad de la supeficie de cada esfea. b) El potencial eléctico en el cento de cada esfea conductoa. (Suponemos ue la caga sobe el alambe de conexión es despeciable). Dato: k N m C. 49

16 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO a) Al esta conectadas po un alambe las dos esfeas conductoas, el potencial se iguala y la caga puede pasa de una a ota. El campo eléctico en cada esfea se calcula a pati de la caga de cada esfea y de su adio. Debemos conoce, pues, cuál seá la caga de cada esfea. Paa ello planteamos un sistema de ecuaciones donde la pimea ecuación se obtiene de la igualdad de los potenciales: V V k 0, m k 3 R R 0, m 0,04 m 0,04 m Po ota pate, sabemos ue la caga total es de 00 nc. Po tanto, la segunda ecuación se obtiene de la consevación de la caga: C Sustituyendo el valo de en función de de la pimea ecuación en la segunda obtenemos el valo de : Y entonces vale: C C C 5 0 C C 75 0 C Ahoa ya podemos calcula el campo eléctico en las inmediaciones de cada esfea: Nm 750 C E k 9 0 4,69 0 N/C R C 0, m C 0,04 m Nm 50 C E k 9 0,4 0 N/C R b) El potencial eléctico en el cento de cada esfea conductoa coincide con el potencial en la supeficie, puesto ue el potencial es constante. Además, como las esfeas están conectadas, el potencial es el mismo en ambas esfeas. Po tanto: 9 9 C Nm 750 C V V k V R 0, m 3. Muchos de los pocesos de nuesto oganismo tienen luga en las membanas celulaes, ue dependen de su estuctua eléctica. figua muesta el esuema de una membana biológica. a) Cuál seía el campo eléctico en el inteio de la membana de la figua? Indica el módulo, la diección y el sentido. b) Cuánta enegía es necesaia paa tanspota el ion Na de la caa negativa a la positiva? Dato: (Na ), C. a) El campo va desde las cagas positivas hacia las cagas negativas. Tiene diección hoizontal según el dibujo. El módulo se puede calcula a pati de la difeencia de potencial y de la distancia mediante la expesión: Po tanto, el vecto campo eléctico seá: V E 70 m V 6 9 8,57 0 V/m 6 E 8,57 0 i V/m b) La enegía necesaia paa tanspota el ion de la caa negativa a la positiva seá igual al tabajo y este viene dado po la vaiación de la enegía potencial ente la posición final, la caa positiva, ue denominaemos, y la inicial, la caa negativa, ue denominaemos, po tanto: W E E E E E V V V P P P P P 50

17 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Sustituyendo valoes obtenemos: 9 3 W EP V,6 0 C600 V 9,6 0 J El signo negativo indica ue es un tabajo ue debemos ealiza; la caga no pasa espontáneamente desde la posición inicial a la final. Po tanto, es enegía ue tenemos ue apota al sistema: 9,6 0 J. 4. Se intoduce una gota ente dos láminas suficientemente gandes, suspendidas hoizontalmente en el aie y sepaadas una distancia d 0,3 m una de ota. La gota tiene una densidad de 0,86 g/ml y su adio es 3, cm. Cuando la difeencia de potencial ente las placas es de 55,8 V, la gota se encuenta en euilibio. Cuántos electones tiene la gota? Datos: e, C; g 9,8 N/kg. Si la gota se encuenta en euilibio, es poue se igualan la fueza eléctica sobe ella, vetical y hacia aiba, y la fueza peso, vetical y diigida hacia abajo. La fueza eléctica puede calculase a pati de la difeencia de potencial de las placas, elacionando la difeencia de potencial y el campo eléctico. Escibimos la densidad en el SI: Podemos escibi entonces: g 000 ml 0,86 ml L 000 L kg m 000 g kg/m V FE FG E mg VGota g d R g d 860 kg/m 3,75 0 m 9,8 N/kg 0,3 m 3 3 V 55,8 V Y a pati de la caga del electón deducimos el númeo de electones ue tiene la gota: 7 0 C e 9,60 0 C 63 electones 7 0 C 5. Un elámpago se poduce cuando pasa caga eléctica desde la nube hasta el suelo o vicevesa. Suponemos un elámpago en el ue la cantidad de caga tansfeida es de 60 C. Sabiendo ue la difeencia de potencial ente la nube y el suelo es 0 9 V: a) Cuánta enegía se libea? b) El campo eléctico ue se genea ente la nube y el suelo es unifome y pependicula a esta. Calcula la intensidad del campo eléctico si la nube se encuenta a 600 m sobe el suelo. a) La enegía libeada seá el tabajo necesaio paa ue la caga eléctica del elámpago pase de la nube al suelo o vicevesa. Depende de la caga neta y de la difeencia de potencial ente la nube y el suelo: W V 9 60 C 0 V, 0 J b) Como el campo eléctico es unifome y pependicula a la supeficie de la Tiea, la elación ente el campo eléctico y la difeencia de potencial es: V V E V E E 600 m 9 0 V 3,3 0 6 N/C 6. Un electón peneta en un campo eléctico unifome de 00 N/C. La velocidad inicial del electón es de m/s en la diección y el sentido del campo. a) Indica cómo cambia la enegía del electón y calcula la distancia ue ecoe antes de detenese. b) Explica ué ocuiía si la patícula fuese un positón. Datos: e, C; me 9, 0 3 kg. 5

18 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO a) Si el electón se mueve en la diección y sentido del campo eléctico, iá fenando. Su enegía cinética iá disminuyendo y entonces iá aumentando su enegía potencial. Sufe una fueza eléctica ue le ocasiona una aceleación en sentido opuesto a su velocidad inicial. E F E ma E a m 9,0 kg Entonces podemos aplica las ecuaciones del MRUA: Como la velocidad final es ceo: v v0 a t ; 9,60 0 C 00 N/C 3 3 3,5 0 m/s s v0 t a t v0 0 v0 at t a Y sustituyendo en la ecuación del espacio en un MRUA: 40 6 m/s v0 v0 v0 v0 v s v t at v a 0,3 m a a a a a 3,5 0 m/s b) Si la patícula fuese un positón, la aceleación tendía la misma diección y sentido ue la velocidad inicial, po lo ue el positón iía aumentando su velocidad y no se detendía. En este caso la enegía cinética iía aumentando y la enegía potencial iía disminuyendo Un electón peneta en un campo eléctico unifome con una velocidad v 40 i m / s. Después de ecoe 00 cm el electón se detiene debido a la acción del campo. Calcula, despeciando los efectos de la fueza gavitatoia: a) El módulo, la diección y el sentido del campo. b) El tabajo ealizado po el campo eléctico paa detene el electón. Datos: me 9, 0 3 kg; e, a) Si el electón se detiene, es poue sufe una fueza en sentido opuesto al de su velocidad. Po tanto, el campo eléctico tiene la diección de dicha fueza y el mismo sentido ue la velocidad del electón. Podemos hace un balance enegético con los instantes inicial y final. Como se acaba paando, la enegía cinética final del electón es ceo. Po tanto, aplicando el pincipio de consevación de la enegía obtenemos: Es deci, el vecto campo eléctico seá: ET ET m v 0 V m v 0 E d 3 6 mv 9,0 kg 4 0 m/s 9 d,60 0 C m E 45,49 N/C E 45,49 i N/C b) El tabajo ealizado po el campo eléctico paa detene al electón coincide con la enegía cinética inicial del electón: 9, 0 3 kg m/s 7,9 0 8 m v J W 8. Una patícula de caga negativa se mueve en el sentido positivo del eje X con una velocidad constante de 0,4 m/s. En la egión x > 0 existe un campo eléctico unifome de 50 N/C diigido en el sentido positivo del eje Y. La patícula de,5 g de masa y caga eléctica C continúa su movimiento ectilíneo y unifome hasta peneta en la egión donde se encuenta el campo. a) Haz un esuema de la tayectoia seguida po la patícula y azona si aumenta o disminuye su enegía potencial después de peneta en el campo. 5

19 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO b) Calcula el tabajo ealizado po el campo eléctico paa desplaza la patícula desde el punto (0, 0) m hasta la posición ue ocupa 0 s más tade. Dato: g 9,8 m/s. a) Tas peneta en el campo, la patícula sufe una fueza vetical, en la diección del campo, y, como tiene caga negativa, en sentido opuesto al campo. Es deci, la tayectoia de la patícula se va cuvando hacia abajo, siguiendo un movimiento paabólico, puesto ue en la diección hoizontal no existe ninguna fueza y en la diección vetical hay una fueza constante. Su enegía cinética aumenta, puesto ue la componente hoizontal de su velocidad se mantiene constante y aduiee cieta velocidad en la diección vetical. Entonces, paa ue se conseve la enegía total la enegía potencial debe i disminuyendo. b) El tabajo ealizado po el campo puede calculase a pati de la vaiación de enegía cinética. Al peneta en el campo, la patícula sufe una fueza ue le povoca una aceleación en la diección vetical. La fueza eléctica es mucho mayo ue la fueza gavitatoia, po lo ue escibimos: E F E ma E a m,50 kg C 50 N/C 3 0,3 m/s De este modo: vf y v0 y ay t Al cabo de 0 s la velocidad en el eje Y habá aumentado, y valdá: vf y 0 0,3 m/s 0 s 3 m/s Entonces la velocidad total de la patícula al cabo de esos 0 s seá: v vx vy 0,4 m/s 3 m/s 3,03 m/s Po tanto, haciendo el balance enegético podemos escibi el tabajo como la difeencia de enegía cinética ente ambas posiciones: W EC W EC EC mv mv0 mv v0 3,5 0 kg 3,03 m/s 0,4 m/s 0,0 J Es un tabajo positivo poue es un tabajo ue ealiza el campo. 9. Dos cagas elécticas puntuales negativas están situadas en dos puntos A y B de una ecta. En algún punto de esa ecta puede se nulo el campo eléctico? Y si las dos cagas fuean positivas? Justifica las espuestas. El campo seá nulo en un punto situado ente ambas cagas. Si ambas cagas son iguales, el campo seá nulo en el punto ue euidista de ambas cagas. Si una caga es mayo ue la ota, el campo seá nulo en un punto situado más ceca de la caga de meno valo. Si las dos cagas son positivas, la espuesta es la misma, puesto ue ambas cagas siguen siendo del mismo tipo. 53

20 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO 30. Dos cagas y están sepaadas una distancia d. Si el campo eléctico a 3/5 de d de la caga hacia la caga es nulo, ué elación existe ente las cagas? En el punto señalado los campos ceados po ambas cagas deben se del mismo módulo y tene sentidos opuestos. Estos campos vendán dados po las siguientes expesiones: E k ; E k Imponiendo ue ambos campos son iguales en módulo obtenemos la elación ente las cagas: E E k k 9 3 d d d 4 5 d Dos cagas puntuales iguales y de 4 nc están situadas en los puntos (, 0) m y (, 0) m del plano XY. Detemina el vecto campo eléctico en los puntos A (4, 0) m y B (0, 4) m. En ué punto del plano se anulaá el campo? En este caso podemos dibuja la situación pesentada. Dada la simetía del poblema, los campos pedidos seán del mimo módulo y diección, y tendán sentidos opuestos. El campo en el punto A estaá diigido hacia la pate positiva del eje X, mientas ue el campo en B estaá diigido hacia la pate positiva del eje Y. B A En A (4, 0) podemos calcula el campo total como la suma de dos campos. Teniendo en cuenta ue : 9Nm 9 EA EA EA k i k i k i C i 0 i N/C A A A A C 6 m m Las componentes hoizontales del campo ceado po las dos cagas en el punto B se anulan, mientas ue las componentes veticales se suman. Po tanto, el campo total en B (0, 4) es: Donde el ángulo α seá: E E E k sen j k sen j B B B B B 4 tg 63,43 54

21 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Teniendo en cuenta ue y B B : 9Nm 9 EB k sen j Csen 63,43 j 3, j N/C C 0 m El campo se anulaá en un punto ente las cagas. Como ambas cagas son iguales, el campo se anulaá en el punto medio ente ambas, es deci, en el oigen de coodenadas, en el punto (0, 0). 3. Sean una caga puntual de 4 C y ota de valo desconocido situadas en los puntos (0, 0) m y (6, 0) m, espectivamente. Calcula el valo ue debe tene paa ue el campo geneado po ambas cagas en el punto (0, 0) m sea nulo. Haz un esuema con los vectoes campo eléctico ceados po cada una de las cagas en ese punto. Si la caga situada en (0, 0) es negativa, la ota caga debe se positiva, paa ue los campos en el punto (0, 0) tengan la misma diección y sentidos opuestos y así pode anulase. Además, puesto ue la caga está más ceca del punto (0, 0), el valo de la caga debe se meno ue el de la caga, paa ue ambos campos tengan el mismo módulo. 4 C Si el campo total es nulo, el módulo del campo ue cea la caga en el punto (0, 0) debe se igual al módulo del campo ue cea la caga en el mismo punto. Podemos escibi: (6, 0) (0, 0) E E E 0 E E k k 40 C 6,40 C Justifica si la siguiente afimación es vedadea o falsa: «El tabajo ealizado po una fueza de tipo eléctico en una tayectoia ceada es siempe ceo». Vedadeo, puesto ue la fueza eléctica es una fueza consevativa. 34. Justifica si la siguiente afimación es vedadea o falsa: «La intensidad de campo eléctico puede se nula y el potencial se distinto de ceo en un punto odeado de cagas elécticas». Vedadeo. Po ejemplo, si tenemos un sistema de dos cagas iguales, en el punto medio ente ambas el campo eléctico seá nulo y el potencial no lo seá. 35. Razona: se puede detemina el campo eléctico en un punto si conocemos el potencial en dicho punto? No, en geneal. El potencial es un escala, mientas ue el campo eléctico es un vecto. 36. En una egión del espacio en la ue existe un campo eléctico ueemos desplaza una caga desde un punto A a un punto B. Si los potenciales en los puntos A y B valen VA 50 V y VB 80 V, espectivamente, calcula el tabajo ue debe ealiza el campo paa tanspota una caga de 4 C desde el punto A hasta el punto B. El tabajo ealizado paa lleva la caga se calcula a pati de la difeencia de enegía potencial en ambos puntos: W E E E V V 6 4 P P Final P Inicial Final Inicial 4 0 C 80 V 50 V, 0 J Es un tabajo negativo. Esto uiee deci ue la caga no pasa espontáneamente desde el punto A hasta el punto B. 55

22 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO 37. Una caga positiva de 7,4 nc se encuenta fija en un punto. A 3,4 mm de distancia de la pimea caga se coloca una patícula de kg y 8,4 nc y se deja libe. Calcula la velocidad ue alcanza cuando se encuenta a 6,8 mm de. La velocidad se puede calcula aplicando el pincipio de consevación de la enegía. La enegía final debe coincidi con la enegía inicial. Al pincipio, como la caga se deja libe, su enegía cinética es nula. Peo luego comenzaá a movese po acción de la ota caga (como las dos son positivas, se alejaá). Su enegía cinética aumentaá, peo su enegía potencial electostática disminuiá. Si denotamos con A el instante en el ue se encuentan a 3,4 mm ambas cagas y B auel coespondiente a 6,8 mm, tenemos ue, paa la caga : Sustituyendo valoes obtenemos: EA EB ECA EPA ECB EPB 0 VA m v VB k m v k m v k A B A B k k m v k v A B B m A B 9 9 Nm 9 8,4 0 C90 7,4 0 C C v kg 3,4 0 6,80 5,74 m/s 38. Tenemos dos cagas elécticas y situadas en el plano XY en los puntos (0, 0) m y (8, 0) m, espectivamente, como muesta la figua. Si las cagas tienen los valoes 0 C y 6 C, calcula: a) El vecto campo eléctico en el punto A (8, 6) m. b) El potencial eléctico en el punto B (4, 0) m. Consideando ue el potencial eléctico en el infinito es nulo, cuál es el tabajo necesaio paa tae una caga de 0 C desde el infinito hasta el punto B? Dato: k N m /C. a) En A (8, 6) la caga negativa cea un campo vetical y hacia aiba. La caga positiva cea un campo hacia la deecha y hacia abajo, en la diección ue une A con la caga positiva, tal y como se indica en el esuema. El ángulo ue fomaá dicho campo con la hoizontal puede calculase fácilmente: 6 tg 36,87 8 El campo total seá el vecto esultante de estos dos campos. Calculemos el campo ue cea la caga en A. Tabajamos en unidades del SI. E k cos i k sen j A A o 6 6 9Nm 0 0 C 8 9Nm 0 0 C 6 90 i 90 j C 70 i 540 j N/C 6 m 8 m 6 m 8 m C 6 m 8 m 6 m 8 m 56

23 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Análogamente paa el campo ue cea la caga en A: Y sumando vectoialmente ambos campos: El módulo de este vecto es: 6 9 Nm 60 C E k A C 6 m j 90 j 500 j N/C EA E E 70 i 540 j N/C 500 j N/C 70 i 960 j N/C EA N/C b) El potencial eléctico en B se calcula fácilmente a pati del valo de las cagas y de la distancia existente ente el punto y cada una de las cagas: Teniendo en cuenta ue B = B = : VB VB VB k k 9 Nm 90 k 6 6 B C V 00 C 60 C 9000 V 4 m El tabajo necesaio paa tae una caga desde al infinito al punto B se puede calcula así: W E E E E E V P P B P Inicial P Inicial P B B 0 B B 9 0 C 9000 V 9 0 J El signo positivo del tabajo indica ue esta caga se desplaza de foma espontánea desde el infinito hasta el punto B. 39. Se disponen dos cagas elécticas y colocadas siméticas a m a la izuieda y a la deecha, espectivamente, del oigen de coodenadas. Detemina: 5 a) Los valoes de las cagas y paa ue el campo eléctico en el punto (0, ) sea E 0 j N/ C. b) La elación ente las cagas y paa ue el potencial eléctico a m del oigen en sentido OX positivo sea ceo. a) Elaboamos un esuema de la situación. Como se apecia en el esuema, si el campo tiene únicamente componente vetical, es poue ambas cagas son iguales. En caso contaio, uno de los campos tendía una componente hoizontal mayo ue el oto. La distancia de cada caga al punto pedido es: Entonces: m m m ET E E Ex i Ey j Ex i Ey j Ey j E cos j k cos j 5 T 0 5 E 3,43 0 C k cos 9 90 b) El potencial eléctico en el punto (, 0), a pati de ahoa lo denominaemos B, se calcula a pati del valo de las cagas y de la distancia existente ente el punto y cada una de las cagas: V V V k k 0 B B B B B B B B B 3 57

24 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO 40. Una distibución de cagas puntuales consiste en diez cagas iguales 8 C situadas euidistantes sobe una cicunfeencia de adio m, calcula. a) El potencial eléctico en el cento de la cicunfeencia. b) El tabajo necesaio paa tae una caga C desde el infinito hasta el cento de la cicunfeencia. Dato: k N m C. a) El potencial eléctico en el cento se calcula a pati del valo de las cagas y de la distancia existente ente el punto y cada una de las cagas. Como la distancia a todas las cagas es la misma y las cagas son todas iguales: Nm 80 C V V k 0 k 090 3,60 V i 6 i 9 5 i i C m b) El tabajo necesaio paa tae una caga desde al infinito al punto B se puede calcula así: 6 5 W E E E E E V 0 C3,60 V 0,7 J P P Cento P Inicial P Inicial P Cento Es un tabajo negativo; po tanto, es un tabajo ue hay ue ealiza paa taslada la caga Sean dos cagas elécticas iguales y de signos contaios ue se encuentan fijas y sepaadas una distancia de 30 m. La caga positiva se encuenta a 5 m a la deecha del oigen de coodenada y la caga negativa, simética especto al oigen, a 5 m a la izuieda. En el punto A (30, 0) el campo eléctico vale E 0 V/m en sentido eje OX positivo. a) Calcula el valo de las cagas ue cean el campo. b) Sabiendo ue el potencial en el punto B (30, 0) es igual a 598,8 V, detemina el tabajo necesaio paa taslada una caga de 0 9 C desde B hasta A. c) Según lo calculado en el apatado anteio, contesta, justificando la espuesta, el tabajo lo ealiza el campo eléctico o debe se ealizado po un agente exteno? Dato: k N m /C. a) El campo en el punto indicado se puede calcula a pati de los campos ue cea cada caga. Como las cagas son opuestas, en el punto señalado los campos tendán sentidos opuestos, y el campo se podá calcula estando los módulos de ambos campos. Teniendo en cuenta ue : ET E E E E E k k k E 0 N/C k 9 N m 90 C 5 m 45 m Po tanto, 3, C y 3, C. (5, 0) 6 3,375 0 C b) Hay ue calcula el potencial en A y B. Teniendo en cuenta ue y tienen el mismo valo peo distinto signo: 9Nm ,375 0 C 350 V C 5 m 45 m VA VA VA k k k k A A A A A A (5, 0) B (30, 0) A 58

25 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO Conocido el valo de la caga ue ueemos desplaza y el potencial en los puntos inicial y final ya podemos calcula el tabajo pedido: W E V V V 9 6 P B A 0 C 598,8 V 350 V,5 0 J c) Como el tabajo es positivo, esto uiee deci ue lo ealiza el campo. 4. Dos cagas elécticas de 6 C están situadas en A (0, /) m y B (0, /) m. Calcula: a) El campo eléctico y el potencial eléctico en C (, 0) m y en D (0, 0) m. b) Una patícula de masa m g y caga C se coloca en C con una velocidad inicial de 30 m/s en la diección negativa del eje X. Si solo intevienen fuezas elécticas, calcula la velocidad de esta patícula al llega al punto D. Dato: k N m C. a) El campo en el punto C, po la simetía del poblema, tendá diección hoizontal y hacia la deecha, puesto ue las componentes veticales tienen igual módulo y sentidos opuestos, tal y como se apecia en la figua. Entonces podemos escibi el módulo del campo total como el doble de la componente hoizontal del campo ue cea cualuiea de las cagas en dicho punto. El coseno del ángulo valdá: cos,5 Entonces se puede escibi el campo total en C de este modo: 6 9Nm 6 0 C 5 ETC E cos i k cos i 90 i,060 i N/C C,5 m m En el punto D el campo total es ceo puesto ue los campos ceados en dicho punto po ambas cagas son iguales en módulo y diección, y tienen sentidos opuestos. El potencial en C seá: Y en el punto D: D (0, 0) A (0, /) B (0, / E (, /) C (, 0) 6 9Nm 6 0 C 5 VC V C V C V C k 90,58 0 V C C m m Nm 6 0 C V V V V k 9 0 5,76 0 V D D D D D C / m 59

26 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO b) Aplicando el pincipio de consevación de la enegía, la enegía total de la patícula debe se la misma en C y en D. EC ED EC C EP C EC D EP D mvc VC mvd VD mvd mvc VC VD mv V V V V C C D vd vc C D m C,58 0 V 5,76 0 V 30 m/s 39,9 m/s 3 0 kg La patícula acelea, puesto ue su velocidad inicial tiene el sentido opuesto al campo y la patícula tiene caga negativa. Es deci, sufiá una fueza hoizontal y hacia la izuieda. m 43. Razona la espuesta. a) Dibuja las líneas de campo y las supeficies euipotenciales de una caga puntual negativa. b) Qué tabajo se ealiza si una caga se mueve ente dos puntos a tavés de una misma supeficie euipotencial? a) Las líneas de campo entan en la caga, mientas ue las supeficies potenciales son esfeas centadas en la caga, puesto ue la intensidad del campo depende únicamente de la distancia a la caga y el campo tiene una diección adial. b) Si una caga se mueve ente dos puntos de una misma supeficie euipotencial, su enegía potencial no vaiaá, puesto ue en la supeficie euipotencial el potencial de una caga es constante. Po tanto, no ealizaá ningún tabajo. 44. Haz un esuema con las líneas del campo ceado po dos cagas negativas iguales y sepaadas una distancia d. El esuema seía el siguiente: 60

27 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO 45. Si en una egión del espacio el potencial eléctico es constante, cómo es el campo eléctico ceado en dicha egión? El campo eléctico seá nulo. Si el potencial es constante: V E V 0E Justifica si la siguiente afimación es vedadea o falsa: «La unidad del campo eléctico es N/C y euivale a V/m». Vedadeo. El campo eléctico puede escibise así: Po ota pate: E F F E E N C k E m V E V m m V k V m 47. Se intoduce un electón, inicialmente en eposo, en el seno de un campo eléctico unifome. Contesta: a) Se desplazaá hacia las egiones de mayo o de meno potencial electostático? b) Qué ocuiía si intodujéamos un potón? a) El electón se desplazaá hacia egiones de mayo potencial electostático, pues tiene caga negativa y sufe una fueza ue se opone en diección al sentido del campo, y este está diigido desde potenciales mayoes a potenciales menoes. b) Si intoducimos un potón, como este tiene caga positiva, sufiá una fueza en el mismo sentido ue el campo, po lo ue se moveá hacia potenciales dececientes. 48. En la supeficie de una esfea conductoa se acumula un exceso de un millón de electones. Cómo cees ue seá el valo del campo eléctico en el inteio de la esfea: positivo, negativo o nulo? Justifica la espuesta. El campo en el inteio seá nulo, puesto ue en un conducto la caga se acumula en la supeficie y, aplicando el teoema de Gauss, el campo seá nulo en cualuie punto inteio de la esfea. Si tomamos una esfea de adio meno ue el adio de la esfea como supeficie de Gauss, la caga enceada seá ceo, puesto ue la caga solo está en la supeficie del conducto, y po tanto el campo en el inteio también seá ceo. 49. La electofoesis es un método paa analiza mezclas basado en el desplazamiento de sustancias po la acción de un campo eléctico. Tenemos una muesta ente dos electodos sepaados 0 cm y conectados a una difeencia de potencial de 300 V. a) Dibuja las líneas del campo eléctico y las supeficies euipotenciales. Indica el potencial de cada supeficie. b) Calcula el valo del campo eléctico ue hay ente los electodos e indica la diección y el sentido de las patículas positivas y las negativas. c) En el apaato de electofoesis las moléculas aduieen caga eléctica y se desplazan con un movimiento ectilíneo lento y unifome. Calcula la fueza eléctica y la fueza de ficción ue actúan sobe una molécula de timina con una caga de, C. 6

28 Física.⁰ Bachilleato. SOLUCIONARIO a) Las líneas de campo están diigidas desde el electodo a un mayo potencial hasta el electodo a un meno potencial; es deci, desde el electodo positivo al negativo. Las supeficies euipotenciales son planos pependiculaes a las líneas de campo. Ánodo Componente con caga negativa Aplicación de la muesta Componente con caga positiva Cátodo Papel El potencial de cada supeficie depende de la distancia a la ue se encuenta de los electodos. Las supeficies más cecanas al electodo positivo tendán un potencial mayo ue las ue se encuentan cecanas al electodo negativo. Si llamamos d a la distancia en cm de la supeficie euipotencial al electodo positivo, entonces: 300 Vd 0 cm d 0 b) El campo eléctico puede calculase a pati de la difeencia de potencial. Estaá diigido desde el electodo positivo hacia el electodo negativo. V 300 V V E E 500 N/C 0, m Las patículas positivas se moveán en la misma diección y sentido ue tiene el campo, es deci, hacia el electodo negativo. Las patículas negativas se moveán hacia el electodo positivo. c) La fueza eléctica se puede calcula multiplicando el valo de la caga po el campo eléctico. Como la caga es negativa, se moveá en sentido opuesto al campo, hacia el electodo positivo. La fueza de ficción es igual a la fueza eléctica, puesto ue el movimiento es unifome. El valo de la fueza es: F E F 9 6 E,6 0 C 500 N/C,4 0 N 50. Dos láminas metálicas sepaadas 0 cm cean en su inteio un campo eléctico unifome de,5 0 4 N/C. Una gota de aceite de kg se encuenta, en euilibio, suspendida a la misma distancia de cada placa. a) Halla la difeencia de potencial ente las placas indicando el signo de cada una. b) Halla la caga eléctica depositada en la gota. Dato: g 9,8 m/s. a) Existe una elación ente el potencial y el campo eléctico existente ente las placas: V E d 4,5 0 N/C 0, m 5000 V La placa con mayo potencial es auella de la ue paten las líneas de campo, y la de meno potencial, a la ue llegan las líneas del campo eléctico. b) Si la gota está en euilibio, es poue se compensan la fueza gavitatoia y la fueza eléctica. Po tanto, podemos escibi: 4 mg 50 kg 9,8 m/s FE FG E FG E mg 4 E,50 N/C 7,96 0 C 6