3rd Inernaional Conference on Indusrial Engeerg and Indusrial Managemen XIII Congreso de Ingeniería de Organización Barcelona-Terrassa, Sepember 2nd-4h 2009 1 Méodo de esimación de la punualidad en redes ferroviarias a ravés de la función densidad de probabilidad de los rerasos primarios Alejandro Escudero Sanana 1, Jesús Muñuzuri Sanz 1, Luis Onieva Gimenez 1 Dpo. de Ingeniería de Organización. Escuela Superior Ingenieros. Universidad de Sevilla. Avd. Descubrimienos s/n 41092. Sevilla. aescudero@esi.us.es, munuzuri@esi.us.es, onieva@esi.us.es Palabras clave: Redes ferroviarias, fiabilidad, punualidad. 1. Inroducción La presene herramiena surgió por la necesidad de pronosicar el reraso de un ren de mercancías. Era necesario cuanificar la fluencia que iene en el iempo de ransio de un convoy los disos servicios que operan simuláneamene en la red ferroviaria. Pesé a la exisencia en la lieraura de una gran canidad de arículos que abordan el ema de la fiabilidad o la punualidad en el ferrocarril (Escudero e al, 2009), no se enconró nguno que afronara al problema de forma complea. La mayoría de los méodos cenran sus esfuerzos en la búsqueda de horarios que mejoren la punualidad, pero presuponen una mejora de la punualidad como consecuencia de un aumeno de la separación enre renes y no esiman la misma. Oros defen de manera cualiaiva los problemas de congesión a parir de los niveles de uilización de la capacidad de la línea. Los que presenan un enfoque algo más similar y cuanifican de alguna manera el nivel de punualidad o el reraso, esudian sólo en el ráfico en elemenos muy básicos de la línea como puede ser una vía simple con aparaderos o una esación (Carey, 1999), olvidándose de la fluencia del reso de la red. En el capíulo 2 se explicarán los mecanismos de propagación de los rerasos, explicando la diferencia enre rerasos primarios y rerasos secundarios. En el capíulo 3 se hará una exensa descripción de méodo, donde se explicarán los daos que deben conocer el mismo y las salidas que podrá proporcionar. En el capíulo 5 se describirán una serie de aplicaciones de la meodología seguida. Por úlimo, en el capíulo 6 se mosrarán una serie de conclusiones. 2. Rerasos primarios vs. Rerasos secundarios Considérese un ren que se desplaza desde una esación de origen a una esación de deso. Se llama m al iempo de ransio bajo condiciones ideales, mienras,, es el iempo acual de ransio bajo condiciones reales. La diferencia enre ambas canidades, l =- m, se defe como iempo perdido. Pare del iempo perdido esá ya programado en los horarios, exisiendo diferenes razones para ese hecho. Es exremadamene raro que se programen los renes respeco al mínimo iempo de ransio, debido a que eso produciría, ane cualquier perurbación, demasiados conflicos enre renes. Para reducir ese riesgo de conflicos se roducen márgenes de iempo que son añadidos a los iempos de ransio o de parada mínimos. A la diferencia enre el iempo de ransio programado acorde a los horarios y el iempo mínimo de ransio, m, es llamado margen de iempo o buffer emporal, b. Eso significa que el iempo perdido, l, es la suma de un reraso programado, b, y del reraso no programado, d. Ese reraso no programado varía de un recorrido a oro de forma aleaoria. 602
El iempo de reraso dependerá del amaño del buffer emporal que se programe. Eso significa que el acual iempo de ransio puede ser expresado como = m + b + d ( b ); suma de mínimo iempo de ransio, buffer emporal programado y el reraso aleaorio. La suma de los dos primeros componenes de la ecuación anerior será el iempo de ransio programado según los horarios. Un objeivo cuando se realiza el diseño de una programación horaria podría ser mimizar el iempo de ransio esperado, E(); o bien mimizar m + b + E( d ( b )), donde es el cremeno relaivo del valor del iempo para rerasos esperados, ya que es un hecho que los consumidores, pasajeros o empresas que envían sus mercancías, dan un mayor valor al iempo para rerasos esperados que al iempo de ransio que ellos conocen. Esos rerasos esperados aparecerán por la exisencia de perurbaciones o fallos imprevisos. Por ejemplo, si exise algún problema écnico con el sisema de señalización, los renes deberán pasar por la vía a una velocidad reducida, en el mejor de los casos. Eso por supueso rerasaría el paso de algunos renes, causando lo que habiualmene se conoce como reraso primario o exógeno. Esos renes que han sido afecados con el reraso, llegarían arde a la siguiene esación. Si ese error de señalización se produce en una vía simple, causaría además rerasos en los renes con los que el ren rerasado se cruza; a esos rerasos se les conoce como rerasos secundarios o reaccionarios. La separación enre reraso exógeno y reraso secundario es una diferenciación adquirida por la mayor pare de los vesigadores. Los rerasos exógenos o primarios suelen ser aquellos causados por evenos exernos. Los rerasos primarios son debidos a fallos en los sisemas de señalización, rouras o desperfecos en las vías, mayor densidad de pasajeros o cargas de la previsa, problemas con el maerial rodane, eficiencias del personal, malas condiciones climaológicas Esas cidencias provocan mayores iempos de parada o de ránsio en el ren que los padece, sufriendo ese un reraso. Los rerasos secundarios o reaccionarios son aquellos que suceden debido a la ieración enre los rerasos exógenos y las planificaciones horarias. Si un ren llega arde a una esación porque ha sufrido un reraso primario, puede hacer que oros renes ambién se rerasen (ver figura 1). Que ese reraso ocurra o no depende de la planificación de los horarios y de la separación exra exisene enre renes, buffers emporales. Fuene: Gibson e al., 2002 Figura 1. Efeco de la separación exisene enre renes sobre los rerasos secundarios 603
A ravés de un aumeno de la separación exisene enre renes es posible conseguir una dismución de los rerasos secundarios, y por ano lograr una mejora en la fiabilidad de la red. Un adecuado diseño de los horarios proporcionará una mejora en la punualidad. S embargo, para reducir los rerasos exógenos es necesario ir al origen de esos rerasos, no pudiendo ser mejorados a ravés de un buen diseño de los horarios. Un buen manenimieno de la red y una adecuada formación del personal conribuirían considerablemene a la dismución de ales rerasos. 3. Descripción del méodo El méodo desarrollado se raa de una herramiena escalar, ya que permie alcanzar el nivel de precisión que se esime oporuno o que se considere necesario para la aplicación a realizar. La red pude ser descria desde nivel de conexiones enre esaciones hasa el nivel mínimo de canones. La herramiena, a parir de los parámeros de enrada que defen la red y los servicios que en ella se presan, va realizando una serie de ieraciones y previendo el reraso con el que se podría ver afecado un ren. Se va calculando la fluencia que rerasos en los renes previos ienen sobre un deermado ren. Es por ano una herramiena desada a ver como se propagan rerasos enre los renes, deerma los rerasos secundarios y considera los rerasos primarios como conocidos. 3.1. Enradas de la herramiena Para la deermación de la punualidad se necesia previamene conocer una serie de facores que fluyen en la misma. Es necesario ener formación suficiene sobre la red física, los servicios presados en la misma, los horarios de ales servicios y los ipos de renes que los operan. También es conveniene llevar una esadísica sobre los rerasos primarios que se producen en las vías. En el caso de no conocerse alguno de los daos necesarios, bien porque el operador ferroviario o el admisrador de la fraesrucura no dispone de los daos correspondienes o bien porque se esá usando la herramiena para una decisión esraégica, dichos daos deberían de ser ipificados. La planificación horaria de los disos servicios ferroviarios que operan en la red debe de ser deallados. En el caso de decisiones esraégicas se haría uso de horarios y servicios ipo. El méodo opera con la secuencia de esaciones por la que viaja un deermado servicio de la red, así como las horas de enrada y salida de las disas esaciones, la hora a la que se prevé que pase el ren por un deermado cruce o puno críico, y el iempo mínimo de parada en las esaciones en el caso de exisir. Es necesario conocer ambién la red exisene o la red que preende ser creada con el mayor número de dealle posible o necesario. Se pude defir la red hasa el nivel de dealle que se considere necesario. En caso de no disponer de una forma explicia de los rerasos primarios de los disos servicios, resula de gran uilidad el conocimieno de caracerísicas más específicas de la red, con el objeo de poder deermar los mismos; serían de gran ayuda daos como la velocidad máxima y media de la vía, la pendiene caracerísica de la misma, 604
Un ejemplo del grafo a grandes rasgos de una red se muesra en la figura 2, mienras que en la figura 3 se muesra una sección de vía más deallada. Figura 2. Grafo de red ferroviaria Figura 3. Grafo deallado de vía simple con apeaderos Oro de los daos necesarios para el funcionamieno de la herramiena sería la defición de los disos ipos de locomooras y las caracerísicas de las mismas, así como la asignación que se hace de dichas locomooras a cada uno de los servicios exisenes en la red. Como se ha comenado aneriormene, el méodo se basa en ver como se propagan los rerasos de unos renes a oros, por lo que es necesario conocer los rerasos primarios de cada ren. Se hace uso la función densidad de probabilidad del reraso como variable de enrada, con el objeo de no perder formación. Se iene una función de densidad para cada ipo de ren en cada sección de la vía. Disponer de ales daos podría suponer un problema añadido, debido a que es muy probable que los operadores ferroviarios no guarden una formación an deallada; s embargo, se podría esimar la función densidad de probabilidad a ravés de los daos de las caracerísicas de la red (velocidad máxima, velocidad media del ramo, pendiene caracerísica ) y de la locomoora (aceleración, poder de racción, ). En ese puno, es necesario hacer noar la imporancia que endría la clusión de las nuevas ecnologías que van emergiendo en el ámbio de los sisemas ferroviarios; la uilización de las ecnologías de la formación y la comunicación, de sisemas cenralizados o disribuidos para el almacenamieno de daos y de sisemas de navegación ales como GPS o Galileo podrían faciliar enormemene el calculo de la función de probabilidad de esos rerasos. 605
La función densidad de probabilidad uilizada en la herramiena es una función discrea (er figura 4). La elección de una variable discrea se debe prcipalmene a un moivo de simplificación del problema. Figura 4. Función discrea de densidad de probabilidad. Si X es una variable aleaoria discrea que describe el reraso, x[i] denoa la probabilidad de que el reraso sea de i muos, y cumple las siguienes propiedades: 3.2. Salidas de la herramiena i x i] 1 [ (1) x[ i] 0 i (2) b Pr( a X b) x[ i] (3) Pariendo de los daos anerior, el méodo dará como salida la función densidad de probabilidad del reraso de los disos renes en cada uno de los nodos, en esos rerasos de salida aparecen cluidos ano los rerasos primarios (dao de enrada) como los rerasos secundarios, fruo de la eracción enre renes. La decisión de ener como salida al canidad de formación es debido a que de dicho resulado pueden ser derivados una gran canidad de resulados secundarios, ano para un ren en paricular como para la red al compleo. Se puede obener la probabilidad que iene un ren con llegar a una esación con más reraso que un ciero valor p; siendo esa probabilidad la suma de la función densidad de probabilidad, obenida para dicho ren y dicha esación, desde p hasa. Se pueden ener dicadores de la punualidad generales a parir de dichos daos, cluso dicadores ponderados dependiendo de la imporancia del ren o de la esación; un dicador genérico para la valoración general de la punualidad se muesra en la ecuación 4. ia 606
donde Indicador global _ ponderado i e p e xe[ i] e _ (4) e es el facor de imporancia que endría el reraso del servicio en la esación e, ponderado de 0 a 1. x e [i] la probabilidad de un reraso de i muos en la esación e del servicio ferroviario El hecho de ponderar respeco a disos renes y esaciones se debe a que un operador ferroviario no prioriza de igual manera odos sus servicios. Si un ren de ala velocidad llegase 15 muos arde, resularía de cara al operador mucho más perjudicial que si esos 15 muos de reraso afecaran a un ren de mercancías. De igual modo podrían realizarse esimaciones mucho más complejas, se podría considerar la penalización de los servicios de disa manera dependiendo del valor del reraso. De esa forma se endrían en cuena el perjuicio que iene un reraso mayor a ciero valor para la realización de deermados ransbordos enre renes o modos. 3.3. Forma de cálculo de la herramiena La herramiena va pronosicando los rerasos en el mismo orden que se producen los movimienos de los renes. Los movimienos que se llevan a cabo en la red son ordenador emporalmene y uno a uno se va viendo la fluencia de los movimienos aneriores en el movimieno acual. Dos funciones han sido creadas para calcular la propagación de los rerasos; en una de ellas se le añade a función de probabilidad del reraso a la salida de una esación la función de probabilidad del reraso primario que se curriría en el rayeco hasa el siguiene nodo (er figura 5), en la ora se modifica la función densidad de probabilidad del reraso de salida de una esación con la probabilidad de que la vía que necesia ser usada esé odavía ocupada (er figura 6). Esas funciones pueden ser descrias maemáicamene. En el caso de la primera de ellas (figura 5), si X oua es la PDF del reraso del ren a la salida del nodo A y X A-B es la PDF del reraso primario que el ren puede llegar a ener en el ramo enre A y B, enonces la PDF del reraso a la enrada del nodo B, X B, es: x [ i] x [ j] x [ k] i, j k B oua AB, ( j k i) e (5) 607
Figura 5. Modificación de la PDF del reraso por el paso de una esación a ora En el caso de la segunda de las funciones (figura 6), si X es la PDF del reraso a la enrada del nodo A de un ren, y X W es la PDF del reraso de un ren W que esá ocupando la vía que necesia uilizar el ren, enonces es la PDF del reraso a la salida del nodo A de un ren, X ou, es: x ou x 0] [ j] [ k] W ou h ou ou x xw j, j k k [ (6) W [ i] x [ i] x [ i] ou h W ou x [ ou h i] W ou i 1 xw j [ j] i, j, k (7) x W [ ou W i] ou h i 1 x i [ i] donde: es el iempo pronosicado de llegada del ren a la esación. ou es el iempo pronosicado de salida del ren de la esación h es el iempo mínimo de parada del ren en la esación W es el iempo pronosicado en el que el ren W enra en una nueva sección de la red y abandona la sección necesiada por el ren. 608
Figura 6. Modificación de la PDF del reraso por la espera anes de poder salir de una esación Es necesario hacer noar las simplificaciones realizadas en el méodo. El iempo mínimo de esancia en la esación se ha considerado un iempo fijo h y no un iempo esadísico, si bien es ciero que la elimación de dicha simplificación no supondría gran modificación. Solo con considerar la esación un arco de nuesro grafo en lugar de un simple nodo esaría solucionado al conveniene. Ora de las simplificaciones llevadas a cabo en el méodo es la imposibilidad de adelanamienos no pronosicados, esos adelanamienos o cambios en la programación horaria podrían ser realizados en el caso rerasos considerables y por el bien de odos los servicios, s embargo el méodo no los conempla. 4. Conclusiones El méodo desarrollado permie hacer una primera esimación sobre los rerasos que pueden acumular los renes, dará formación probabilísica sobre los mismos. Esa formación puede ener un gran valor. Por un lado, esa formación puede ser uilizada como parámero significaivo a la hora de elegir un modo de ranspore. Por oro lado, puede ser uilizada para una correca defición de los servicios. Se crearían programaciones horarias de forma que la probabilidad de rerasos en los servicios fuese lo menor posible. Esa meodología iene una dificulad, y es la adquisición de los daos que necesia como enrada. El hecho que necesie el conocimieno de los rerasos primarios hace que la puesa en prácica del mismo necesie de la buena volunad de los admisradores de las redes ferroviarias. Ya que esa formación sólo puede ser conocida mediane esudios esadísicos. Referencias Alejandro Escudero, Jesús Muñuzuri, Mª Carmen Delgado (2009). Esimación de la punualidad en redes ferroviarias: esado del are. CIO 2009. Carey, M. (1999) Ex ane heurisic measures of schedule reliabiliy. Transporaion Research B, 473-494 609