Funntos Inorát II Prosor Cuo Loos oos@n.uts. Unvrs Tén Fro Snt Mrí Funntos Inorát II ILI 153 Un prutón un onunto nto X, s un yón X X. S pu vr qu y n! prutons n un onunto n ntos Un prton α pu sr sunt: 1 2 3 4 5 α 2 4 5 1 3 Notón os Sn α y β prutons, por o nr αβ βα. Tor Ls prutons S n upn o sunt. S α y β stán n S n, o st tén αβ. Pr tos prutons α,β,γ n S n, s up: (αβ)γ = α(βγ). L unón nt s: α = α = α. Pr to prutón γ n S n y un prutón nvrs γ 1 n S n t qu: γγ 1 = γ 1 γ =. S s tn α(1)=2, α(2)=4, α(4)=1, s tn un o oo sunt: (1 2 4), ro 3. Tn qu onzr on un síoo, y trnr on so. Luo to un síoo qu no y so onsro y onstruy un o pr é. Contnú st qu no tn síoos sn os Exstn os ro 1, s s nros, y nornt s otn n notón
Csón prutons Csón prutons A núro os ro prutón s tpo. S α tn γ os ro, tpo α s not: [1 γ 12 γ 2...n γ n ] Dnón β s onu α s xst un prutón t qu β = γαγ Tor Dos prutons son onus s y sóo s tnn so tpo. S trnsposons os soposón os, prutons qu ntrn os ntos. Un po srí sunt: (1 3 6)(2 4 5 7) = (1 6)(1 3)(2 7)(2 5)(2 4) Tn qu sr or (x 1 x 2...x r ) = (x 1 x r )...(x 1 x 2 ) Csón prutons Tor Supóns qu prutón α S n pu srrs oo oposón r trnsposons y tín oo oposón r trnsposons. Entons r y r son os prs o prs. Oo oqus ros 1 8, on un uro vío, un ov orrspon n szr un oqu uro vío. Dtrn s s pos orr onuron Fn. Tor Pr too ntro n 2 xtnt t s prutons S n son prs y otr t prs. 1 2 3 4 5 6 7 8 In 8 5 2 7 4 1 6 3 Fn
Souón: S notos spo n no por, sos qu to ov orrspon un trnsposón ntr y otro nto. Es á vr qu un nt pr ésts rá qu no trn n su posón orn, uo prutón qu v onurón n otr pos, n on vuv su posón orn, stá opust por un nt pr trnsposons, s r, su tpo s pr. Por otro o, s notos oo os prutón qu v sto n n nos os unt qu tn un nt pr trnsposons. Coo s prutons no tnn so tpo, ntons, por tor s prs o s prs poos onur qu no s pos y qu no tnn so tpo. Notón oo os prutón ostr: (1 8 3 2 5 4 7 6)( ) Notr qu sto nr 7 trnsposons. Grupos prutons Grupos prutons Dnón S G un onunto prutons un onunto nto X. S G s un rupo (on oposón prutons) os qu G s un rupo prutons X. S toos X = 1,2,...n, ntons un rupo prutons s spnt un surupo S n. Int Rotón n 90 (1 2 3 4) Rotón n 180 (1 3)(2 4) Rotón n 270 (1 4 3 2) Rxón n on 1 3 (2 4) Rxón n on 2 4 (1 3) 3 4 2 1 Rxón n stor prpnur 1 2 (1 2)(3 4) Rxón n stor prpnur 1 4 (1 4)(2 3) Esto qur r qu y 8 prutons qu vn qu un uro, s sno un uro. En o, nzr nt prutons poss pr 4 núros, sts son 4 3 2 1 = 24 sos poss.
Órts S G un rupo prutons un onunto X. Vros qu strutur rupo v nturnt un prtón X. Dnos rón sor X nt x y spr qu γ G tnos γ(x) = y. S vr qu s un rón quvn. Tn qu upr qu s: Rxv Coo s prt rupo (x) = x pr too x X, tnos x x. Sétr Suponos x y, or qu γ(x) = y pr ún γ G. Coo G s un rupo γ 1 G, y oo γ 1 (y) = x, tnos y x Trnstv S x y y y z sr γ 1 (x) = y y γ 1 (y) = z pr γ 1,γ 2 G y oo G s un rupo, γ 1 γ 2 (x) = z y x z. A s ss quvn s s ono oo órts. Gx = y X : y = γ(x) pr únγ G En prtur, G(x x) s onunto prutons qu tnn x oo punto o. A sto s stzors y s not G x. En st ro, s órts son: {,},{},{, },{},{},{,,},{,,} Tor S G un rupo prutons, y s γ G(x y). Entons G(x y) = γg x ost zquro G x rspto γ Dostrón. S α prtn ost zquro γg x, tnos α = γβ pr ún β G x. V r, α(x) = γβ(x) = γ(x) = y, on o qu α prtn G(x y). A rvés, s π G(x y), ntons γ 1 π(x) = γ 1 (y) = x, nr qu γ 1 π = δ, on δ G x, y sí π = γδ γg x. Aos onuntos son us. Tor S G un rupo prutons X, y s γ G(x y). Entons G(x y) = G y γ ost zquro G y rspto γ Dostrón. S α prtn G y γ, ntons α = βγ pr ún β G y, v r α(y) = βγ(y) = β(x) = y on o qu β G(x y). A rvés, suponos π G(x y), y onsros πγ 1 (y) = π(x) = y y por tnto πγ 1 G y, o π G y γ, y s su rsuto.
Vovno po ntror vos untos utoorsos xstn. D os ntrors tors otnos: Cororo S G un rupo prutons X, s x X un nto uqur, y un nto n órt x. Entons G x = G y Tor S G un rupo prutons X, y s x un nto uqur X. Entons: Gx G x = G Dostrón propust (utzr os tors ost). ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Coproos G s s prtr 2 noos stntos: y. Aor pr. Roros qu G s nt quvns, s r, G = {,} = 2. Por otro o G s nt utoorsos G pr os us s punto o. En onsun G = 2 6 Luo G = G G = 2 2 6 = 24. Roros qu G s nt quvns, s r, G = {,,} = 3. Por otro o G s nt utoorsos G pr os us s punto o. En onsun G = 2 2 2 Luo G = G G = 3 2 2 2 = 24.
Do un nto γ rupo prutons G, s n: F(γ) = {x X : γ(x) = x}. F(γ) s núro puntos os γ. Tor(Burns) E núro órts G sor X stá o por: 1 G F(γ) γ G Est rsuto s ono o nor Burns, Cuy-Fronus y Póy. Burns o popurzó n su ro, truyénoo Fronus, unqu rsuto o onoí Cuy nts. Por st nr stor vs s qu no s Burns. Ero: s tn un rt 3 3 u s pun r 2 prorons: () () () Es á vr qu () s stnt s otrs, ntrs qu () y () son quvnts. Cuánts rts stns s pun r? Souón: Lo prro s ur nt prutons qu nn utoorsos sor nustro pro, s r, G. Pr o toos un noo uqur y uos G x GX : S toos un squn, G x rprsnt nt noos srs, s r, s 4 squns rt. E vor GX son tos s putons n s qu squn s un punto o, s r, 2: nt y rxón on qu tn squn y su opusto oo pvot. Aor s nsro trnr vor : F(γ) γ G Rorno qu F(γ) rprsnt os puntos os γ, s r, os utoorsos. E tot prutons vrr son s 8 un uro: nt, rotón n 90,180,270, rxón sor s os ons y s rxons orzont y vrt.
: s usos os ptrons qu sor rotón n 180 proun utoorsos, stos son 4: Por otro o, s ontos s qu proun soorsos sor prutón nt, ésts orrsponn tos s ors poss prorr 2 ss ntr 9 = ( 9 2) = 36. En onsun tnos: γ F(γ) 36 rot 90 0 rot 180 4 rot 270 0 rxón on 1 3 6 rxón on 2 4 6 rxón vrt 6 rxón orzont 6 Tot 64 Luo: not: vr po prutons sor un uro pr oprnr s ons. 1 G F(γ) = 1 γ G 8 64 = 8 Es r, y soo 8 ptrons rns n un rt 3 3 uno s pun r 2 prorons uqur. Un pro stnto s nontrr us son s 8 opons. Sn ro, or poos usr 8 rnts y surr qu ésts son tos s poss.