Ecuaciones de er y º grado. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente: a) + = b) = c) = d) ( )( + ) a) = b) = 7 c) = d) =, = P I E N S A Y C A L C U L A Resuelve las siguientes ecuaciones: a) + = 8 b) + = + 7 c) 8 + = d) + = + 8 a) = 0 b) = c) = d) = Resuelve las siguientes ecuaciones: a) ( + ) + = ( ) b) ( + ) = ( ) c) ( ) + ( + ) = ( ) + d) ( + ) = ( + ) a) = b) = 9/ c) = / d) Resuelve mentalmente: a) ( )( + ) b) ( + )( )( + ) a) =, = b) = /, =, = / Resuelve las siguientes ecuaciones: a) = + 9 7 9 7 b) = + 0 c) + = + 0 d) + A P L I C A L A T E O R Í A a) = 7 b) = / c) = / d) = 8 SOLUCIONARIO
. Ecuaciones de º grado Resuelve mentalmente si es posible: a) b) ( ) c) = d) = a) b), = c) =, = d) No tiene solución. P I E N S A Y C A L C U L A Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: = =, = = 7 = 9 = 7, = 7 8 = 9 =, = Resuelve las siguientes ecuaciones: 0 =, = 7 = + =, = +, = =, = 9, = 9 A P L I C A L A T E O R Í A, = 7 = 8 = 9, = 9 UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 9
8 9 8 =, = = /, = / 9 + ( ) = 0 = = =, = 0 + 8 7 ( + )( + ) =, = 8 =, 8 8 ( ) = 8 = 9/, = 9/ = /, = 9/ 0 9 ( ) = ( ) = /, =, = / = =, = =, 0 9 0 + = = /, = / =, = 8 8 + + = 0. Número de soluciones. Factorización Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y da todas las soluciones reales: a) b) 9 c) a) ± b) 0 c) No tiene solución real. P I E N S A Y C A L C U L A 70 SOLUCIONARIO
Sin resolverlas y sin hallar el discriminante, calcula mentalmente cuántas soluciones tienen las ecuaciones: A P L I C A L A T E O R Í A Halla mentalmente la descomposición factorial de los siguientes polinomios: 0 + + Tiene dos soluciones. ( + ) + + 9 No tiene solución real. ( ) Tiene una solución doble. ( + )( ) 8 + + Tiene dos soluciones. ( + ) Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios: + 7 + 9 = 8 = 8 > 0 Tiene dos soluciones. ( + )( /) 7 8 + = Tiene una solución doble. 8 + 8( + /)( /) 8 + = 9 0 = < 0 No tiene solución real. 9 9 = 8 + = 7 > 0 Tiene dos soluciones. ( + )( ) 7 + ( + /) UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 7
Halla, en cada caso, una ecuación de º grado cuyas soluciones son: Calcula la suma y el producto de las soluciones de las siguientes ecuaciones, sin resolver éstas: 8 =, = 7 + 9 ( )( + 7) + 9 = /, = ( /)( + ) + / / + 9 S = =, P = + S =, P = 0 =, = / ( + )( + /) + / + 8/ + + 8 = /, = / ( /)( + /) /0 /0 0 S, P = S =,P. Problemas de ecuaciones Calcula mentalmente: a) El lado de un cuadrado cuya área es m b) Tres números enteros consecutivos cuya suma sea P I E N S A Y C A L C U L A a) m b),, La suma de dos números es, y uno es el doble del otro. Calcula dichos números. + = = Los números son: y A P L I C A L A T E O R Í A 7 SOLUCIONARIO
7 La base de un rectángulo mide 8 cm más que la altura. Si su perímetro mide cm, calcula las dimensiones del rectángulo. A 70 km/h 00 km/h B ( + 8) + = = Las dimensiones son: Altura = cm, Base cm 8 Se mezcla café de,8 /kg con café de 7, /kg. Si se desea obtener 0 kg de mezcla a, /kg, cuántos kilos de cada clase se deben mezclar? 9 Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ) Una madre tiene años más que su hijo, y dentro de 0 años la edad de la madre será el doble de la del hijo. Cuántos años tienen en la actualidad? Café A,8,8 + 7,(0 ) =, 0 = 7, Café A: 7, kg Café B:, kg + 8,8 + 7,(0 ) =,0 0 Actualmente Café B 7, 0 Mezcla, 0 Dentro de 0 años Hijo + 0 Madre + + El espacio que recorre la moto es igual que el que recorre el coche y la fórmula es e = v t 70t = 00(t ) t = 0 El coche tarda 7 horas en alcanzar a la moto. Halla dos números cuya diferencia sea y la suma de sus cuadrados sea 7 Un número y el otro + ( ) = 7 = 8, = Hay dos soluciones: Nº mayor = 8 Nº menor = Nº mayor = Nº menor = 8 La suma de los cuadrados de dos números consecutivos es 8. Halla dichos números. Los números son y + + ( + ) = 8 = 9, = 0 Hay dos soluciones: Nº menor = 9 Nº mayor = 0 Nº menor = 0 Nº mayor = 9 Calcula las dimensiones de una finca rectangular sabiendo que tiene dam de larga más que de ancha y su superficie es de 0 dam + + = ( + 0) = Edad del hijo = años. Edad de la madre = años. Área = 0 dam 0 Una moto sale de una ciudad A hacia otra B con una velocidad de 70 km/h.tres horas más tarde, un coche sale de la misma ciudad y en el mismo sentido con una velocidad de 00 km/h. Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar a la moto? ( + ) = 0 =, = 8 La solución negativa no tiene sentido. Ancho = dam Largo = 8 dam UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 7
Ejercicios y problemas. Ecuaciones de er grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: + = 9 = 7 = = = = 7 8 9 70 = 7 = = = / = + 7 = 7/ Resuelve las siguientes ecuaciones: 7 7 + = 0 = 7 + = 7 + = 7 + = + = 7 + = + = / 77 ( + ) + = ( ) = / 78 9 ( + ) = ( ) = / 79 (7 + ) = ( + ) = / 80 ( ) + ( + ) = ( ) 7 ( )( + ) =, = 7 ( + )( )( + ) = /, = /, = = 8 = / = + + 7 SOLUCIONARIO
8 = = 0 Resuelve las siguientes ecuaciones: 90, = 8 ( ) = + 9 ( ) = /7 8 = 8/ 0 +. Ecuaciones de º grado Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones: 8 8 87 88 = 8 = 9, = 9 = = =, = 7 = =, = 9 7 =, = 7 9 ( + ) = = = 9 + =, = 9 =, = 9 ( ) = ( ), = 97 ( ) 7 =, = 89 = 8, = 8 98 9 = /, = / UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 7
Ejercicios y problemas 99 7 07 + = /, = / = ( ) 00 = 9/, 0 =, = / 0 + = /, = 0 = /, = = + = 08 = < 0 No tiene soluciones reales. Halla la descomposición factorial de los siguientes polinomios: 08 ( /) 09 ( + )( ) 0 9 + + 9( + /) 0 7 0( + /)( /). Número de soluciones. Factorización Sin resolver las siguientes ecuaciones, determina cuántas soluciones tienen: 0 + = + 8= 9 > 0 Tiene dos soluciones. 0 + = = < 0 No tiene soluciones reales. 0 9 + = Tiene una solución doble. Halla, en cada caso, una ecuación de º grado cuyas soluciones son: =, = ( )( + ) + 0 = /, = ( /)( + ) + / / + =, = / ( + )( + /) + 0/ + + 0 + 7 SOLUCIONARIO
= /, = / ( /)( + /) + /0 / 0 + Calcula la suma y el producto de las soluciones de las siguientes ecuaciones, sin resolver éstas:, = = La base mide cm, 8 + S = 8, P = 7 7 + S = 7, P = 8 + S = /, P = / 9 + S = /, P = /. Problemas de ecuaciones 0 Calcula tres números enteros consecutivos tales que la suma de los tres sea igual al doble del segundo. er número: º número: er número: + + + + = Primer número = Segundo número Tercer número = Si se disminuye la altura de un rectángulo en, cm, el área disminuye en cm. Calcula la base del rectángulo. Hace siete años, la edad de un padre era cinco veces la del hijo. Si actualmente es solo el triple, qué edad tiene cada uno? + 7 = ( + 7) = 7 Edad del hijo = años. Edad del padre = años. Se mezcla azúcar de, /kg con azúcar de, /kg y se obtienen 00 kg de mezcla a,9 /kg. Cuántos kilos de cada clase se han mezclado?, +,(00 ) =,9 00 = 80 Azúcar A: 80 kg Azúcar B: 0 kg Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las tres y media? Hace 7 años Actualmente Hijo + 7 Padre + 7 Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ) Azúcar A, = 80 = El ángulo que forman es de 90 = 7 Azúcar B, 00 Mezcla,9 00, +,(00 ) =,9 00 0 9 8 7 90 UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 77
Ejercicios y problemas Un vehículo sale de A con dirección a B y lleva una velocidad constante de 80 km/h. En el mismo instante, otro vehículo sale de B hacia A con una velocidad de 0 km/h. Si la distancia entre A y B es de 80 km, a qué distancia de A se cruzan los dos vehículos? A A 80 km/h 0 km/h 80 km 80 km/h 0 km/h 80 km C 80 B El tiempo que tardan ambos es el mismo y la fórmue la es e = v t t = v 80 = = 0 80 0 Se encuentran a 0 km de A B 7 Calcula dos números naturales consecutivos tales que su producto sea ( + ) = = y = Hay dos soluciones: Número menor =, número mayor = Número menor =, número mayor = Un triángulo rectángulo tiene un área de m. Calcula la longitud de los catetos si uno de ellos mide m más que el otro. + ( + ) = = y = 8 La solución negativa no tiene sentido. Los catetos miden: 8 m y m Para ampliar Resuelve las siguientes ecuaciones: 8 + = + 8 = 9 + + 7 = 9 0 = 0 + = 8 = 7 + 9 + = + + 7 = ( 7) + = = ( ) = ( ) = ( ) = ( + ) = ( + ) = ( ) = / 78 SOLUCIONARIO
8( + ) = 7 + ( + ) = = 7 = 7 ( ) = ( + ) = / 8 ( ) = ( ) = /9 9 ( ) ( ) = ( ) = / 7 = / + + ( ) = 7 + + = 7 = 8 + = + 7 0 + = = / = 7 9 = + 8 9 + 9 = 7 + = / = 0 + = 8 8 + + = = / = 7 7 ( ) + = + = = = / + 0 = + = / + = + = UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 79
Ejercicios y problemas 7 = + + + = = / = / + = + = + 9 = = = = 7 = / 8 + + = + + + = + 8 = ( ) + 8 = 9, = 9 + =, = =, = = /, = = 9 = / 0 + 8 = 7 = 8 7 = 8 + 7, = 8 =, = 9 = /, = / 80 SOLUCIONARIO
70 + =, = / 79 + 9, = 9/ 7 7 + = /, = 80 7 + = /, = 7 9 =, = 8 9 = /, = / 7 + = /, = 8 8 + = /, = / 7 9, = 9/ 8 + = /, 7 =, = 8 9 + 0 =, = 7 + = /, = / 8 + 0 =, = / 77 8 = 9/, = 9/ 8 = /, = / 78 + =, = / 87 9 8 7 = /, = 7/ UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 8
Ejercicios y problemas 88 + 8 =, = / 89 + = /, 90 7 + =, = / 9 7 = /7, = 97 + = /, = 98 8 = /, = / 99 = 8 =, = / 0 8 00 9 ( ) = = / 9 ( ), = 9 ( )( ) =, = / 9 ( + )( ) = ( + ) + =, = 9 ( + ) ( + ) = ( + )( ) = = /, = 0 = = /, = 0 + = + 8 0 =, = 0 0 = 7 = /, = 7/ 0 ( 7) 8 =, = 8 SOLUCIONARIO
0 = = = / 08 + + = =, = / + 0 0 + = = 9/, = 09 7 =, = ( = ) + 9 07 = = + = + 0 + =, = = Problemas Se ha plantado / de la superficie de una huerta con cebollas; / con patatas; / con judías y el resto, que son 0 m, con tomates. Qué superficie tiene la huerta? Superficie de la huerta: + + + 0 = = 00 La huerta mide 00 m Ángulo que forman las agujas: = 90 = 7, Formarán un ángulo de 7, Los lados de un rectángulo miden m y m. Al aumentar los lados en una misma cantidad, el área aumenta en 8 m. Cuánto se ha ampliado cada lado? Natalia y Roberto tienen, respectivamente, 8 y años. Al cabo de cuántos años la edad de Natalia será el doble de la de Roberto? + 8 = m + m m 8 + = ( + ) = Dentro de años, Natalia tendrá y Roberto años. Actualmente Dentro de años Natalia 8 8 + Roberto + Qué ángulo forman las agujas del reloj a las tres y cuarto? 0 9 8 7 m + ( + )( + ) = + 8 + = + 8 8 =, = La solución negativa no tiene sentido. Se aumenta m UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 8
Ejercicios y problemas Dos ciudades A y B están a 00 km de distancia. A las diez de la mañana un coche sale desde A hacia B con una velocidad de 80 km/h. Dos horas más tarde, otro coche sale desde B hacia A con una velocidad de 0 km/h. A qué hora se encuentran y a qué distancia de A? La edad de Rubén es la quinta parte de la edad de su padre. Dentro de años, la edad de Rubén será la cuarta parte de la edad de su padre. Qué edad tiene cada uno actualmente? 80 km/h 0 km/h A 00 km B 00 80t + 0(t ) 0 t =,7 Se encuentran a,7 h = h minutos, es decir, a las horas y minutos, y a una distancia = km de A Actualmente Dentro de años Rubén + Padre + 9 0 0 + (0 + ) = 0 800, = 80 La solución negativa no tiene sentido. Ancho: 0 cm Alto: 80 cm El producto de dos números enteros consecutivos es igual al cuádruple del menor menos unidades. Encuentra dichos números. Número menor: Número mayor: + ( + ) = =, = Hay dos soluciones: El número menor:, el número mayor: El número menor: y el número mayor: Ana tiene años, su hermano Pablo tiene años y su padre. Cuántos años deben pasar para que la suma de las edades de Ana y Pablo sea igual a la de su padre? ( + ) = + = 9 Edad de Rubén = 9 años. Edad del padre = años. 7 8 Calcula un número tal que, si se le quita su quinta parte, el resultado sea 0 Número: / = 7 El cristal rectangular de una puerta mide 0 cm más de alto que de ancho y su superficie mide 0 800 cm. Calcula cuánto miden los lados del cristal. + + + = + = Tienen que pasar años. Actualmente Dentro de años Ana + Pablo + Padre + Calcula el área de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en cm, el área se hace nueve veces más grande. 9πR = π(r + ) R =, R = / El radio negativo no tiene sentido. El radio vale R = cm y su área es 9π cm 8 SOLUCIONARIO
Se mezclan 800 kg de harina de 0, /kg con 00 kg de harina de 0, /kg. Qué precio tiene el kilo de la mezcla? Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ) Harina A 0, 800 Harina B 0, 00 0, 800 + 0, 00 = 00,99, Sonia se ha comprado un libro y un disco que tenían el mismo precio, pero que han rebajado un % y un 0%, respectivamente, cuando ha ido a pagar. Si se ha ahorrado 9, cuánto costaba cada producto? Precio del libro = precio del disco: 0, + 0, = 9 = Los dos productos valían Mezcla 00 0, 800 + 0, 00 = 00 Halla el lado de un cuadrado tal que, al aumentarlo en unidades, el área aumente en 9 unidades cuadradas. 7 A qué hora coinciden, por primera vez, las manecillas del reloj después de las horas? Sea el ángulo que recorre la aguja minutera. ( 0) = =,7 Se encontrarán cuando la aguja minutera ha recorrido un ángulo de,7, es decir,,7 : 0 =,09 h = hora minutos segundos. Ruth tiene 7 años y su madre tiene 7. Cuánto ha de transcurrir para que la edad de la hija sea la mitad de la de la madre? 0 9 8 7 Actualmente 7 + = (7 + ) = A los años. Dentro de años Ruth 7 7 + Madre 7 7 + + 8 De un tablero de 00 cm se cortan dos piezas cuadradas, una de ellas con cm más de lado que la otra. Si las tiras de madera que sobran miden 8 cm, cuánto miden los lados de las piezas cuadradas cortadas? + ( + ) = + 9 = 7 El lado del cuadrado mide 7 unidades. + + Calcula dos números enteros tales que su diferencia sea y la suma de sus cuadrados sea 88. + ( ) = 88 = 0, = Hay dos soluciones: Número menor: número mayor: 0 Número menor: 0 número mayor: + ( + ) + 8 = 00 =, = La solución negativa no tiene sentido. Las piezas son de cm de lado y de + = cm de lado respectivamente. UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 8
Ejercicios y problemas 9 Halla un ángulo que sea igual a un tercio de su ángulo suplementario. = 80 = El ángulo es de 0 Se desea obtener 8 000 kg de pienso mezclando maíz a un precio de 0, /kg con cebada a un precio de 0, /kg. Si se desea que el precio de la mezcla sea de 0, /kg, cuántos kilos de maíz y de cebada necesitamos? Precio ( /kg) Peso (kg) Dinero ( ) 80º Maíz 0, 0, + 0,(8 000 ), 8 000 = 000 Maíz: 000 kg Cebada: 000 kg Andrés sale a caminar desde su casa a una velocidad de km/h. Una hora más tarde, su hermana Virginia sale a buscarle en bicicleta a una velocidad de km/h. Cuánto tardará en alcanzarlo? km/h km/h V A Cebada 0, 8 000 Mezcla 0, 8 000 0, + 0,(8 000 ), 8 000, 0 +,8 =,(0 + ) = Se necesitan kg de azúcar morena. Para profundizar Precio ( /kg) Peso (kg) Coste ( ) Elvira compra unos zapatos, una camisa y una chaqueta. Si la camisa cuesta la mitad que la chaqueta y ésta la mitad que los zapatos, y ha pagado, cuánto cuesta cada cosa? Precio de la camisa: + + = = 8 La camisa vale 8, la chaqueta y los zapatos 7 Los lados de un rectángulo miden 7 cm y 9 cm. Si se amplían los lados en una misma cantidad, la nueva área es de cm. Cuánto se ha ampliado cada lado? 9 cm 9 + 7 cm 7 + Azúcar blanca, 0 Azúcar morena,8, 0 +,8 =,(0 + ) (7 + )(9 + ) = = 0, = La solución negativa no tiene sentido. Se ha ampliado cm Mezcla, 0 + Tiempo que tarda Virginia en alcanzar a Andrés desde la salida de Andrés: t = (t ) t = /0 h =, h Tarda en alcanzarlo /0 hora, h = 8 min Se desea mezclar 0 kg de azúcar blanca de, /kg con azúcar morena de,8 /kg. Cuántos kilos de azúcar morena se necesitan para que la mezcla salga a, /kg? A qué hora forman las manecillas del reloj un ángulo de 0 por primera vez después de las? Sea el ángulo de la aguja horaria. 0 + = = 0,9 La aguja horaria recorre un ángulo de 0,9 0 9 8 7 La aguja minutera recorre un ángulo de 0,9 que corresponde a,88 minutos, es decir, serán las: horas minutos y 9 segundos. 0 8 SOLUCIONARIO
Calcula un número tal que multiplicado por su mitad sea igual a su cuarta parte más 9 Número: = + 9 =, = 9/ 7 9 Halla un número cuya mitad más su cuarta parte sea igual a 9 Número: + = 9 = 8 Halla un número cuya mitad, más su tercera parte, más una unidad, sea igual que el número. Número: + + = = Las diagonales de un rombo miden 8 cm y cm. Qué longitud se debe añadir a las diagonales para que el área del rombo se duplique? cm 0 Halla el valor de k en la siguiente ecuación de forma que su solución sea : k = k = k = Una solución de la ecuación 0 es /. Calcula la otra solución sin resolver la ecuación. / + = b/a / + = /0 = /0 / = / En la ecuación 8 8 + k, halla el valor de k de forma que una solución sea el doble de la otra. Sean las soluciones, = + = b/a = 9/ = / = c/a = k/8 9/8 = k/8 k = 9 Para k = 9 las soluciones son = /, = / 8 cm cm Un grifo llena un depósito en horas y otro lo hace en horas. Cuánto tiempo tardarán en llenar el depósito los dos grifos a la vez? cm (8 + )( + ) 8 = =, = La solución negativa no tiene sentido. Hay que aumentar cm Tiempo que tardan: (/ + /) = = Tardan horas. UNIDAD. ECUACIONES DE er Y º GRADO 87
Ejercicios y problemas En un rectángulo, el segmento que une los puntos medios de dos lados consecutivos mide 0 m. Si la razón de los lados es /, calcula el área del rectángulo. 0 m Sea la mitad del lado menor. + ( ) = 0 = 0, La solución negativa no tiene sentido. Para m, el área es: A = 80 0 = 800 m Julio invierte 000 en acciones de dos empresas. En una gana el % y en otra pierde un,%. Si al venderlas obtiene 0, cuánto invirtió en cada empresa? Dinero invertido en una empresa: 0, 0,0( 000 ) = 000 En una empresa invierte 000 y en la otra 8 000 Aplica tus competencias En cuánto tiempo recorrerá un móvil 00 m, si parte con una velocidad de m/s y con una aceleración de, m/s?, t + t = 00 t = 0 segundos. 7 Se deja caer una pelota desde 0 m. Si la aceleración es de 9,8 m/s, cuánto tiempo tardará la pelota en llegar al suelo? La fórmula que tienes que aplicar es: e = gt 9,8 t t =,7 segundos. 88 SOLUCIONARIO