Las Ecuaciones en Diferencias en los Modelos Juárez, Gusavo dolfo; Navarro, Silvia Inés Faculad de Ciencias Exacas y Naurales, Universidad Nacional de Caamarca. vda. Belgrano 300. 4700 Caamarca. silvinafacen@yahoo.com.ar Resumen Las Ecuaciones en Diferencias son una clásica aproximación para enconrar la solución numérica de las ecuaciones que gobiernan el Modelo Maemáico de un sisema coninuo. Es valioso familiarizarse con ésa aproximación, porque al conocimieno refuerza la comprensión de los procedimienos que se aplican en las disinas Ciencias Experimenales, al como en la Física, donde debe ser comparido enre concepos eóricos, ejerciación prácica y la consane observación de resulados del fenómeno a esudiar. Esos resulados parciales son evaluados para deerminar el comporamieno final de los elemenos involucrados, pudiendo resular de una recreación del fenómeno. Básicamene, en una solución por Ecuaciones en Diferencias, las derivadas son reemplazadas por aproximaciones en diferencias finias, conviriendo enonces un problema de ecuaciones diferenciales en un problema algebraico fácilmene resuelo por medios comunes. En general cualquier función puede expresarse por una ecuación en diferencias. Palabras Clave: Ecuaciones en Diferencias; Modelo Maemáico; Simulación Numérica. 43
The Difference Equaions in he Discree Mahemaical Models bsrac The Difference Equaions are a classic approach o find he numeric soluion of he equaions ha govern he Mahemaical Model of a coninuous sysem. I is valuable o ge used o his approach, because such a knowledge reinforces he undersanding of he procedures ha are applied in he differen Experimenal Sciences, jus as in Physics, where i should be shared among heoreical conceps, pracical drilling and he consan observaion of resuls of he phenomenon o sudy. These parial resuls are evaluaed o deermine he final behaviour of he involved elemens, being able o recreae of he phenomenon. Basically, soluion by Difference Equaions, derivaives are replaced by approaches in finie differences, ransforming hen differenial equaions problem ino an algebraic problem easily solved by usual ways. In general any funcion can be expressed by a difference equaion. Keywords: Difference Equaions; Mahemaical Model; Numeric Simulaion. Inroducción Una de las aplicaciones más imporanes que ienen acualmene los Méodos Maemáicos, es su uilización en el esudio de fenómenos que pueden ocurrir en los disinos ámbios de las diferenes ciencias o disciplinas, y que preenden ser descripos mediane alguna expresión maemáica, sea ésa 44
deerminísica o probabilísica, eso es, represenar al fenómeno mediane un Modelo Maemáico. En las Ciencias Experimenales, al como en la Física, el proceso de invesigación debe ser comparido enre concepos eóricos, observación experimenal y el consane análisis de resulados del fenómeno a esudiar. Esos resulados parciales son evaluados para deerminar el comporamieno final de los elemenos involucrados, pudiendo resular de una recreación del fenómeno. Los disinos fenómenos que se presenan en la Física, esudian su comporamieno, sus consecuencias según los parámeros que inervienen, pero esencialmene prefieren analizarlos mediane simulaciones del fenómeno. La simulación de bajo coso, debe ser uilizada como un primer recurso en la invesigación. Habremos alcanzado nuesra mea si podemos mosrar que se puede consruir Modelos Maemáicos con herramienas sencillas de disinas áreas de la Maemáica, sin necesidad de grandes eorías con argumenos y noaciones elevadas; y que pueden ser simuladas con elemenos de bajo coso, de fácil acceso y disponibilidad, dando un marco de imporancia denro de la prácica de la invesigación en Ciencias Experimenales, y en paricular de la Física. 45
Maeriales y Méodos Los Modelos Maemáicos son una represenación de los resulados que se producen mediane la aplicación de un fenómeno, más aún, la deerminación paso a paso de la ocurrencia del fenómeno, lleva a la represenación dinámica conocida como simulación. Demos formalmene algunas definiciones y concepos: Definición 1: Un Modelo Maemáico es una represenación maemáica simplificada de un ciero ipo de fenómenos reales. En la creación de un Modelo Maemáico hay un proceso de concepualización. Se pare de una idea inuiiva y se inroduce el concepo inspirado de al idea, mediane algunas de sus propiedades básicas, prescindiendo después del puno de parida inuiivo. El conjuno de propiedades, enre ellos eoremas, que se deducen mediane razonamienos lógicos de los axiomas, consiuye la Ciencia Maemáica a que nos referimos: Teoría de Probabilidades, Teoría de Juegos, Programación Lineal, nálisis Variacional Coninuo o Discreo, ec. Para la aplicación de la eoría consruida, hay un segundo proceso de desconcepualización, que consise en raducir los resulados logrados, a la realidad concrea de parida, en forma aproximada. En qué medida se adapa un Modelo a la realidad?, eso es una cuesión de carácer inuiivo para lo cual no se pueden dar reglas. Es más fácil decir cuando un Modelo no se adapa bien a la 46
realidad, que dar una norma rígida para aceparlo. En efeco, en el proceso de concepualización reconocemos variable que inervienen e influyen sobre el fenómeno, pero según sea el número de ales variables, o la forma de inervenir en el Modelo, esas se van clasificando en cuales son más significaivas, así es como descaramos algunas de las variables, haciendo más fácil el Modelo desde el puno de visa operaivo, pero corriendo el riesgo de la precisión de los resulados de acuerdo al fenómeno real. Por ello se reconoce que un Modelo Maemáico es una caricaura de la realidad. Según sea el fenómeno a describir podemos ener alguna herramiena maemáica asociada, es más, un mismo fenómeno puede esar represenado por Modelos que usen disinas áreas de la Maemáica, aquí hacemos referencia a aquellos que varían con el iempo, y como las disinas variables que paricipan en los resulados del fenómeno, definen un sisema, así pues se iene la siguiene definición: Definición 2: Un modelo maemáico es un sisema dinámico cuando el conjuno de variables que deerminan el comporamieno del fenómeno forman un sisema que dependen de una variable independiene dada por el iempo. Los Modelos raados bajo Sisemas Dinámicos requieren de dos herramienas maemáicas muy imporanes, y que según sea la variable independiene coninua o no los Modelos Maemáicos serán coninuos o discreos. Las herramienas a la que hacemos referencia son las Ecuaciones Diferenciales y las 47
Ecuaciones en Diferencias. quí nos abocaremos a los Modelos como Sisemas Dinámicos, es decir a aquellos que se represenan mediane Ecuaciones en Diferencias o Sisemas de Ecuaciones en Diferencias, en adelane EED y SEED. Para ello se iene la siguiene definición: Definición 3: Sea el número naural n, al que el érmino n-ésimo de una sucesión es función de n, es decir x n xn, donde los érminos siguienes x x,... exisen, enonces llamamos Ecuación en n+ 1, n+ 2 Diferencias a oda ecuación que relaciona al érmino x n de la sucesión, la sucesión incógnia x n xn y érminos siguienes de la sucesión, represenada por la forma F n, x, x, x,... 0. n n+ 1 n+ 2 En efeco, las EED son una herramiena fundamenal para los Sisemas Dinámicos, pues siendo una sucesión de daos del experimeno a esudiar, dependiene del iempo, se raa de esablecer ecuaciones que represenen la relación enre disinos esados de la variable a lo largo del iempo, así surgen expresiones que represenan al fenómeno, es decir: el Modelo Maemáico. Tal vez un inmediao ejemplo esa en la variación de una canidad que varíe con el iempo, al como la velocidad de un móvil. Iniciaremos nuesra represenación mediane EED. Los Modelos Maemáicos preenden ayudar a enender mejor los fenómenos que describen, desarrollando la inuición sobre el funcionamieno; llegando al puno de predecir lo que pasará bajo idénicas condiciones. 48
Es absurdo creer que sólo herramienas maemáicas muy sofisicadas pueden servir para consruir Modelos Maemáicos realisas. ravés de gráficos, ablas, y más aún, con desarrollos numéricos, se pueden consruir Modelos efecivos, pare de eso úlimo es la Maemáica Discrea. Esa apora a la caracerísica más desacada de los Modelos: la aproximación. No debe asusar que un Modelo sea una aproximación a la realidad, pues los Modelos simples surgen de eliminar el efeco de algunas variables cuyo comporamieno se prevee poco influyene del fenómeno. En ese rabajo, nos abocamos a los Modelos Deerminísicos que se hallan represenados por ecuaciones que dan el comporamieno univoco del fenómeno en érminos de las variables involucradas. Simulación El fenómeno real una vez modelado, puede ser esudiado cuanas veces quiera sin necesidad de repeir al experimeno, para ello el Modelo es recreado según las condiciones que lo deerminan sus variables, eso se denomina simulación. Denro de las definiciones que acualmene se inenan de poner en vigencia podemos expresar las comenadas por Coss Bu, R. 1999: "...Simulación es una écnica numérica para conducir experimenos en una compuadora digial. Esos experimenos comprenden cieros ipos de relaciones maemáicas y lógicas, las cuales son necesarias para describir el comporamieno y la esrucura de sisemas complejos del mundo real a ravés de 49
largos periodos de iempo. "...demás esos experimenos involucran cieros ipos de modelos maemáicos y lógicos que describen el comporamieno de sisemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a ravés de largos periodos de iempo." Represenaciones Maemáicas El objeivo de la modelación maemáica es generar una represenación maemáica úil de una siuación real. Enonces enemos que analizar cuales son las posibles represenaciones maemáicas exisenes, y su imporancia en cada caso, sin preender con eso decir, cual es superior a las resanes, pues, cada una de ellas se adapa a deerminados planeos. Tal diversidad debe ser aprovechada por el invesigador. Para ayudarnos en la cia de las formas de represenaciones, recurrimos a un ejemplo de una siuación real. a Siuación Real: Caída libre de un objeo. b Diagrama: Esquemaizar el fenómeno real, un gráfico que muesre un objeo que cae. c Represenación Numérica: No es necesario conocer una expresión maemáica de la siuación real para represenar el comporamieno del fenómeno. Eso se puede lograr al generar una abla de valores de las relaciones de algunas de 50
las variables del sisema. quí podemos ener una abla en la cuál para cieros iempos se indique la disancia recorrida por el objeo al caer. d Represenación Gráfica: Es ora forma úil para describir el comporamieno del fenómeno de la siuación real. Para la abla de la represenación numérica puede asociarse una grafica que represene en sus ejes el iempo y la disancia recorrida del objeo al caer. La represenación gráfica es lo que forma pare de lo que Marínez E. 1992 llama un ruco profesional, el cual dice:...usan un ruco muy sencillo cuando quieren poner en evidencia endencias o leyes que sospechan que puedan esar rigiendo colecciones esadísicas de números. Los represenan gráficamene....el dibujar los problemas, razar gráficos y esquemas y apoyarse en ellos para razonar, es una de las desrezas clave que diferencian a los físicos formados de los esudianes. Pare de la venaja que disfruan los veeranos frene a los nuevos es que ven los problemas de manera jerárquica, son capaces de capar el orden general sin empananarse en los dealles. La represenación gráfica de la información es esencial para lograr ese ipo de imagen abarcane. e Represenación Simbólica: Esa es la forma más usual y direca de los ipos de expresiones maemáicas, son las fórmulas o ecuaciones donde paricipan las variables del fenómeno. Para nuesro caso: 2 d a, donde d es la disancia 51
recorrida y el iempo ranscurrido, y a el parámero deerminado según los daos. l decir de Marínez E. 1992,...al vez su insisene uso sea la clave de los rauámicos resulados de las enseñanzas de las ciencias exacas en el adolescene. Deberíamos dejarnos por algún momeno de recurrir de esas "fórmulas asusa chicos", y dar paricipación a graficas, ablas, pero no en forma ineres, sino ransiarlas mediane una simulación. Simulación de Modelos Explícios e Ieraivos Las ecuaciones que definen un fenómeno esableciendo una correspondencia enre las variables independienes v.i. y dependienes v.d., responden a la clasificación de modelo explício, pues deerminan las variables enre sí, al que para ciero valor de la v.i. se iene al valor de la v.d. Por oro lado, las fórmulas que indican el esado cambiane de las variables cuanificadas del fenómeno, se dicen modelos locales, y esán dadas por expresiones como las Ecuaciones Diferenciales o EED, esas úlimas ambién llamadas recursivas, razón por la cuál favorecen en gran medida la area de simular mediane ellas. No olvidemos que los cálculos punuales nos llevan a un raamieno discreo y que la discreización de una forma coninua, se logra mediane el Méodo de Euler, ciado en Juárez G., Navarro S. 2005, eso es cuando pasamos de una ecuación diferencial a una en diferencias. Por oro lado cuando pasamos de una forma explicia a una recurrene solo usamos la primera para 52
un argumeno mayor y luego idenificamos en su desarrollo la función para el argumeno sin variar. Realizaremos desde el puno de visa explício la simulación de una Caída libre y Tiro verical. Caída Libre y Tiro Verical Las fórmulas de caída libre y iro verical, resulan por demás frías y carenes de significado si preendemos dar un enfoque analíico usando solo la inerpreación algebraica: es decir qué represena gráficamene una parábola, con vérice hacia... Una forma apropiada es la inerpreación gráfica con valores volcados en una abla, obenidos de cálculos realizados según la fórmula. Lo que preendemos aquí es recorrer la "rayecoria" de la caída y del iro verical, mediane los valores conseguidos de las fórmulas y asenarlos en la abla. Esa manera de hacer una simulación nos llevará a asimilar el fenómeno inrínsecamene. dapando un ejemplo donde se combina dos fenómenos: caída libre y iro verical, dado por Mochón Cohen S. 2000, que expresa: En un circo un acróbaa se deja caer desde una plaaforma de,60[ m] 19. l mismo iempo, uno de sus compañeros es lanzado vericalmene desde abajo por un cañón con una velocidad inicial de,25[ m ] 12. qué alura llegan a enconrarse y s con qué velocidades? Usando las fórmulas de caída libre, y iro verical, juno a los daos dados de aluras y velocidades de cada uno de los acróbaas, realizaremos una abla indicando la disancia a la que 53
se encuenra, o sea la alura, y velocidad durane los dos primeros segundos y medios. Llamando al acróbaa que es lanzado desde la plaaforma, el cuál experimena una caída libre y B al que inicia su rayecoria desde el cañón, es decir, que realiza un iro verical, podemos escribir: lura del acróbaa : h 19,6 4,9 2 Velocidad del acróbaa : v 9, 8 lura del acróbaa B: h B 12, 25 4, 9 2 Velocidad del acróbaa B: v B 12, 25 9, 8 Se efecúan cálculos para 0 ; 0,5; 1 ; 1,5 ; 2 y 2,5 [s]. La lecura de la abla 1 nos lleva a inerprear el fenómeno de caída libre del primer acróbaa como un descenso con una velocidad incremenándose con lo cuál la alura disminuye cada vez más rápido. Por oro lado, la siuación del segundo acróbaa es la de ascender hasa que la velocidad disminuye y se anula, aún cuando eso no lo vemos en ésa abla, y en ese momeno deja de subir y comienza su descenso. También la velocidad aquí es variada. 54
Nuesro problema planea en donde se encuenran simuláneamene ambos acróbaas, según la abla enre el segundo y medio y los dos segundos se produce el encuenro. Tiempo cróbaa cróbaa B lura Velocidad lura Velocidad 0 19,6 0 0 12,25 0,5 18,38-4,9 4,9 7,35 1 14,7-9,8 7,35 2,45 1,5 8,57-14,7 7,35-2,45 2 0-19,6 4,9-7,35 2,5 --- --- 0-12,25 Tabla 1. Simulación de caída libre y iro verical lgebraicamene lo podemos hallar igualando las aluras y despejando el iempo, y con el iempo conocido lo aplicamos en cualquiera de las dos expresiones dadas a la alura. Ese cálculo da [] s 1, 6, pero si omáramos una simulación donde el iempo se incremene mas lenamene, como ser cada un décimo de segundo, endremos el valor calculado. Pero con sólo ener los valores de nuesra abla 1 podemos graficar y lograr esa conclusión, figura 1. 55
Figura 1: Sim ulación de la C aida Libre y Tiro V erical 25 20 15 lura 10 5 0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Tiem po cróbaa cróbaa B Eso lo podemos hacer con la ayuda de una planilla de cálculo o en una simulación con calculadora programable. Con la grafica de la abla anerior, aun cuando el valor no fuera calculado, nos podemos aproximar mucho con una esimación. Es decir, debemos valorar la información que puede aporar una gráfica, aun cuando los valores no sean calculados en su oalidad. Para ener una mejor información de las rayecorias de los acróbaas omamos la grafica de la simulación con incremeno de 0,1 de iempo, obenidos con la calculadora TI-85, y cuyos valores se hallan en la abla 2. 56
LTURS CROBT CROBT B 0 19,600 0,000 0,1 19,551 1,176 1,6 7,056 7,056 1,7 5.439 6,664 2,0 0,000 4,900 Tabla 2. Simulación de la alura recorrida por los acróbaas. Valores obenidos con TI-85. Méodo de Discreización Para ése problema debemos discreizar mediane el paso de la forma explicia a la recurrene mediane un cambio en la v.i, eso es, se puede ransformar la noación implícia a una forma recurrene. sí del problema de caída libre y las formulas dadas, podemos expresar: lura del acróbaa : Velocidad del acróbaa : lura del acróbaa B: h + 1 h 98, + 49, v + 1 v 9, 8 h + 1 h 9, 8 + 7, 35 B B 57
58 Velocidad del acróbaa B: v v B B 8 9 1, + Pero las noaciones aneriores deben complearse con los valores iniciales correspondienes, por lo que nuesro planeo es de un problema con valor inicial discreo, en adelane PVID. Resulado Como resulado se iene el Modelo mediane el PVID siguiene: + + + + + + 25 12 0 0 0 0 0 19 6 0 9 8 1 7 35 9 8 1 9 8 1 4 9 9 8 1,,,,,,,, B B B B B B v h v h v v h h v v h h Conclusión La simulación como écnica ha producido grandes cambios en la sociedad, jusificando en algunos casos modelos que ienen que ver con la Salud, la Economía, Seguridad, ec., promoviendo esudios eóricos de la simulación, enre los que se desacan los Sisemas Dinámicos. Denro de los simuladores, la
noación habiual es la recurrene por lo que resula inmediao conocer el manejo de las EED que requieren de un Álgebra elemenal para represenar Modelos Maemáicos discreos. 59
Referencia Bibliográfica [1] Buzzo Garrao, R. 1993. Tópicos de Física Conemporánea con ayuda del Microcompuador. VIII Reunión Nacional de Educación en Física. UNR. [2] Coss Bu, R. 1999. Simulación: un enfoque prácico. Ediorial Limusa. [3] Juárez G., Navarro S. 2005. Ecuaciones en Diferencias con plicaciones a Modelos en Sisemas Dinámicos. Caamarca. Ediorial Sarquís. [4] Marínez, E. 1992. Logarihmic Park: Dinosaurios y sus escalas. [5] Mochón Cohen, S. 2000. Modelos Maemáicos para odos los niveles. México. Ediorial Grupo Ediorial Iberoamérica. [6] Texas Insrumens TI-85 1996. Manual del Usuario. 60